专题12 等差数列的前n项和 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题12 等差数列的前n项和 一、知识梳理 （1）等差数列的前n项和 Sn＝ na1＋d ＝ （2）等差数列的相关性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． ①若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ ap＋aq . ②am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. ③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． ④数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 二、题型精练 题型1 等差数列的前n项和 【典例1】．等差数列的前100项和是（   ） A．101 B．10100 C．5000 D．5050 【典例2】．等差数列中，，则的前9项和（    ） A．72 B．36 C．20 D．18 【典例3】．若数列为等差数列，，，，则n等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【典例4】．在等差数列中，前15项的和，则的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【典例5】．在等差数列中，，则（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 题型2 等差数列的相关性质 【典例1】．设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．45 B．32 C．47 D．54 【典例2】．已知数列为等差数列，若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【典例3】．在等差数列中，已知，则该数列前11项和等于（    ） A．58 B．88 C．143 D．176 三、知识检测 1．已知等差数列中，为其前n项的和，，，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．在等差数列中，，，则（   ） A．390 B．395 C．400 D．405 3．在等差数列 中，已知， 则前n项和等于（    ） A． B． C． D． 4．记等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．记为等差数列的前n项的和，若，，则（） A．3 B．4 C．5 D．6 6．在等差数列中，，则的值是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 7．等差数列的前n项和是，则公差（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．设为等差数列，，是方程的两个根，那么前项的和为（   ） A．8 B． C． D． 9． 等差数列中，若，则公差________. 10． 在等差数列中，_________． 11． 在等差数列中，前项的和为，前项的和为，则前的项的和为______. 12． 等差数列，，，2，…的前______项和是54. 13． 已知等差数列的前项和，若，则________；前项和的最大值为______. 14．已知在等差数列中，． (1)求此数列的第6项． (2)求此数列前6项的和． 15．设是等差数列，若． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和及其最值． 16．在等差数列中，． (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和，求的值． 17．在等差数列中， ， . (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)若数列满足， 求数列的通项公式及前项和. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 等差数列的前n项和 一、知识梳理 （1）等差数列的前n项和 Sn＝ na1＋d ＝ （2）等差数列的相关性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． ①若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ ap＋aq . ②am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. ③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． ④数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 二、题型精练 题型1 等差数列的前n项和 【典例1】．等差数列的前100项和是（   ） A．101 B．10100 C．5000 D．5050 【答案】D 【分析】根据题意，先求出等差数列的首项和公差，结合等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列， 所以该等差数列的首项为1，公差为1， 所以数列的前100项和是. 故选：D. 【典例2】．等差数列中，，则的前9项和（    ） A．72 B．36 C．20 D．18 【答案】A 【分析】由等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】等差数列中，， 则的前9项和. 故选：A. 【典例3】．若数列为等差数列，，，，则n等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】∵在等差数列中，，，， ∴， 即， 整理可得， 解得或（舍）， 则n等于8. 故选：D. 【典例4】．在等差数列中，前15项的和，则的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解. 【详解】在等差数列中，前15项的和， ，∴. 故选：C. 【典例5】．在等差数列中，，则（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和来求解. 【详解】在等差数列中，， 解得. 故选：B 题型2 等差数列的相关性质 【典例1】．设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．45 B．32 C．47 D．54 【答案】A 【分析】根据等差数列的片段和的性质即可求解. 【详解】由题可知：成等差数列， 所以， 又，所以. 故选：A. 【典例2】．已知数列为等差数列，若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意得，因为数列为等差数列，. ，则． 故选：D． 【典例3】．在等差数列中，已知，则该数列前11项和等于（    ） A．58 B．88 C．143 D．176 【答案】B 【分析】根据等差数列角标的性质与求和公式即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，且， 所以. 故选：B. 三、知识检测 1．已知等差数列中，为其前n项的和，，，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】先根据等差数列的前n项和公式求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求出即可. 【详解】由等差数列的前n项和公式得， ，解得； 由等差数列的通项公式可得， . 故选：C. 2．在等差数列中，，，则（   ） A．390 B．395 C．400 D．405 【答案】D 【分析】根据等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，， 所以. 故选：D. 3．在等差数列 中，已知， 则前n项和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的前n项和公式和等差数列的性质运算即可. 【详解】在等差数列 中， 已知， 则， 故选：D. 4．记等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列的通项公式和前项和即可得解. 【详解】设等差数列的公差为. 因为. 所以. 解得. 所以. . 故选:. 5．记为等差数列的前n项的和，若，，则（） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用等差数列的求和公式得到，进而求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】依题意，设等差数列的公差为， 由，得，即， 又因为，则，所以. 故选：D. 6．在等差数列中，，则的值是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【分析】由等差数列的求和公式可得，再根据等差数列的下标和性质可求解. 【详解】因为在等差数列中，， 所以，即， 所以. 故选：B 7．等差数列的前n项和是，则公差（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由数列中的关系分别求出，进而求公差即可. 【详解】因为等差数列的前n项和是， 所以，， 所以公差. 故选：B. 8．设为等差数列，，是方程的两个根，那么前项的和为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理求出的值，再由等差数列的性质结合前项和公式求值即可. 【详解】因为，是方程的两个根， 所以， 又为等差数列， 所以， 故选：C. 9．等差数列中，若，则公差________. 【答案】 【分析】利用等差数列前项和公式可求. 【详解】， ，，则， 则； 故答案为：. 10．在等差数列中，_________． 【答案】 【分析】根据等差数列的求和公式即可求解. 【详解】在等差数列中，， ， 所以. 故答案为： 11．在等差数列中，前项的和为，前项的和为，则前的项的和为______. 【答案】 【分析】根据等差数列片段和的性质即可得解. 【详解】由等差数列的性质， 可得成等差数列， 则， 所以. 故答案为：. 12．等差数列，，，2，…的前______项和是54. 【答案】9 【分析】根据题意求解首项和公差的值，再根据等差数列前n项和求解n的值即可. 【详解】该等差数列的首项为，公差为， 根据等差数列的前n项和公式，令， 即， 解得或（舍）. 故答案为:9. 13．已知等差数列的前项和，若，则________；前项和的最大值为______. 【答案】 16 【分析】根据等差数列的通项公式结合前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得. 所以，. 由二次函数的性质可得，当时，取最大值，最大值为. 故答案为：，16. 14．已知在等差数列中，． (1)求此数列的第6项． (2)求此数列前6项的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式易得答案； （2）根据等差数列的前项求和公式易得答案； 【详解】（1）因为等差数列中，， 所以； （2）数列前6项的和. 15．设是等差数列，若． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和及其最值． 【答案】(1) (2)数列的前项和为，最大值为，无最小值 【分析】（1）先求出公差，再根据等差数列的通项公式即可得解； （2）根据等差数列的前项和即可求出数列的前项和，再根据二次函数的性质即可求出最值. 【详解】（1）设公差为， 由， 得，解得， 所以； （2）设数列的前项和为， 则， 函数的对称轴为， 所以，无最小值. 16．在等差数列中，． (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和，求的值． 【答案】(1). (2)5或6. 【分析】（）设出等差数列的公差，根据列出方程求出公差即可得解. （）将代入等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由得， 解得， 由等差数列的通项公式得 所以的通项公式为． （2）因为数列的前项和， 又等差数列的前项和公式为， 所以， 解得或， 所以的值为5或6． 17．在等差数列中， ， . (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)若数列满足， 求数列的通项公式及前项和. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式即可得解； （2）由（1）知数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由， ，得：， 所以， . （2）由（1）知， 则， 所以 . 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $