专题11 等差数列的概念 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题11 等差数列的概念 一、知识梳理 （1）等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数时，就称这个数列为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d来表示． an＋1－an＝d (n∈N*) （2）等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)． 二、题型精练 题型1 等差数列的概念 【典例1】．下列数列不是等差数列的是（   ） A．，，，， B．，，，， C． D．，，，， 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义逐项验证即可. 【详解】由等差数列的定义得，A项，，故是等差数列； B项，，故是等差数列；C项，，故是等差数列； D项，，故不是等差数列． 故选：D. 【典例2】．数列：3，，9，，（   ），，⋯，按这个数列的规律，括号内的数是（   ） A．15 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】观察数列中每一个数字绝对值以及符号的规律进行求解. 【详解】这个数列的奇数项均为正数，偶数项均为负数． 又数列3，6，9，12，是等差数列，公差为3， 括号内的数是． 故选：A. 【典例3】．下列等差数列中，公差d为3的是（    ） A．1，1，1，1 B．1，4，7，10 C．2，4，6，8 D．，，1， 【答案】B 【分析】根据等差数列的公差定义依此计算可得结果. 【详解】根据公差的定义依次计算可得，选项A 公差为0；选项B公差为3；选项C公差为2；选项D 公差为， 故选：B. 【典例4】．已知，.若，，三个数成等差数列，则（ ） A．10 B．5 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据等差中项求解即可； 【详解】因为，，三个数成等差数列， 所以， 故选：B 题型2 等差数列的通项公式 【典例1】．数列的通项公式为，则数列是（    ）. A．公差为2的等差数列 B．公差为5的等差数列 C．首项为5的等差数列 D．公差为n的等差数列 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义即可得解. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列. 故选：A. 【典例2】．在等差数列中，首项，公差，则（ ） A．4025 B．4026 C．4050 D．4051 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式，即可代入求解. 【详解】因为等差数列中，首项，公差， 所以. 故选：C. 【典例3】．76是等差数列4，7，10，13，…的（    ） A．第25项 B．第26项 C．第27项 D．第28项 【答案】A 【分析】先求出公差，再由首项和公差得到通项公式，令，求解n即可. 【详解】由题意得，等差数列首项为4，公差为3， 则通项公式为， 令，解得. 故选：A. 【典例4】．在等差数列中，已知，则（    ） A．27 B．12 C．6 D．0 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式，可求出首项和公差，进而即可求的值. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，即，解得：， 所以， 故选：D. 【典例5】．在等差数列中，第一个负数项是（    ） A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项 【答案】C 【分析】根据题意得到等差数列的通项公式，再令即可得解. 【详解】依题意，设该等差数列为，则， 所以等差数列的通项公式为， 令，解得， 因为为正整数，所以最小的正整数解为15，即第一个负数项为第15项 故选：C. 三、知识检测 1．等差数列中，，则公差d=（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】等差数列中，，则. 进而. 故选：D. 2．在等差数列中，，则的值为（   ） A．18 B．8 C．9 D．7 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求解. 【详解】∵等差数列中，， ∴由，得，解得. 故选：C. 3．已知数列中，，，则等于（     ） A． B．12 C． D．16 【答案】A 【分析】等差数列的定义可知数列是等差数列，进而由通项公式求解即可. 【详解】数列中，，，即， 所以数列为等差数列，公差为， 所以，所以． 故选：A 4．在等差数列中，已知，则的值是（    ） A．15 B．30 C．31 D．64 【答案】A 【分析】由等差数列的性质即可得解. 【详解】在等差数列中， . 故选：A. 5．设是等差数列，且，则（   ） A．5 B．6 C．16 D．32 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列的性质即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，因为， 可得，解得， 又由， 故选：. 6．在等差数列中，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质即可得出结果. 【详解】在等差数列中，已知， 则， 故选：B. 7．已知等差数列，，，则数列的前100项和（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等差数列的通项公式求出，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】因为为等差数列且，， 故， 故， 故数列的前100项和为： ， 故选：A． 8．设是等差数列，且，，则的通项公式为_______. 【答案】 【分析】设等差数列的公差为d，结合等差数列的通项公式可得，已知，从而可得d 的值，结合通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d，因为， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 9．一个等差数列共有项，首项为，公差为，末项为，则____________． 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式求解即可 【详解】由题意，等差数列共有项，首项为，公差为， 可得等差数列的通项公式为， 令，即，解得， 故答案为：． 10．已知等差数列的通项公式为，则公差_______. 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式求基本量即可得解. 【详解】因为等差数列的通项公式为， 所以，，故公差. 故答案为：. 11．在等差数列中，______ 【答案】 【分析】根据数列是等差数列先求公差易得答案. 【详解】因为等差数列,, 所以, 所以. 故答案为:. 12．在等差数列中，已知，则____. 【答案】30 【分析】利用等差数列的性质即可得解. 【详解】由等差数列的性质可得，. 故答案为：30. 13．在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)判断96是不是数列中的项？ 【答案】(1)； (2)不是． 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，而，于是得，， 所以数列的通项公式是． （2）由（1）知，，由得：不是正整数，所以96不是数列中的项． 14．已知等差数列满足． (1)求首项及公差； (2)求的通项公式； 【答案】(1)首项4，公差2 (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式计算基本量即可. （2）代入等差数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，所以． 又因为，所以，故， 所以首项为4，公差为2. （2）因为，， 所以． 15．三个数成等差数列，它们的和为12，积为48，求这三个数. 【答案】2，4，6或6，4，2 【分析】设这三个数为，，，根据条件列方程求解即可. 【详解】设这三个数为，，， ∵它们的和为12，∴，解得， ∵它们的积为48，∴，即， ∴，∴. 当时，这三个数分别为2，4，6； 当时，这三个数分别为6，4，2； ∴这三个数为2，4，6或6，4，2. 16．在中，已知三个内角，，成等差数列，且a，c是方程的两个根.求： (1)b的大小； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的性质可以先求出角B，再结合余弦定理即可求解； （2）根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）∵内角，，成等差数列， ， . a、c是方程的两个根， ，， ， . （2）a、c是方程的两个根， ， 的面积. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 等差数列的概念 一、知识梳理 （1）等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数时，就称这个数列为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d来表示． an＋1－an＝d (n∈N*) （2）等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)． 二、题型精练 题型1 等差数列的概念 【典例1】．下列数列不是等差数列的是（   ） A．，，，， B．，，，， C． D．，，，， 【典例2】．数列：3，，9，，（   ），，⋯，按这个数列的规律，括号内的数是（   ） A．15 B． C．16 D． 【典例3】．下列等差数列中，公差d为3的是（    ） A．1，1，1，1 B．1，4，7，10 C．2，4，6，8 D．，，1， 【典例4】．已知，.若，，三个数成等差数列，则（ ） A．10 B．5 C．1 D． 题型2 等差数列的通项公式 【典例1】．数列的通项公式为，则数列是（    ）. A．公差为2的等差数列 B．公差为5的等差数列 C．首项为5的等差数列 D．公差为n的等差数列 【典例2】．在等差数列中，首项，公差，则（ ） A．4025 B．4026 C．4050 D．4051 【典例3】．76是等差数列4，7，10，13，…的（    ） A． 第25项 B．第26项 C．第27项 D．第28项 【典例4】．在等差数列中，已知，则（    ） A．27 B．12 C．6 D．0 【典例5】．在等差数列中，第一个负数项是（    ） A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项 三、知识检测 1．等差数列中，，则公差d=（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．在等差数列中，，则的值为（   ） A．18 B．8 C．9 D．7 3．已知数列中，，，则等于（     ） A． B．12 C． D．16 4．在等差数列中，已知，则的值是（    ） A．15 B．30 C．31 D．64 5．设是等差数列，且，则（   ） A．5 B．6 C．16 D．32 6．在等差数列中，已知，则（   ） A． B． C． D． 7．已知等差数列，，，则数列的前100项和（    ） A． B． C． D． 8． 设是等差数列，且，，则的通项公式为_______. 9． 一个等差数列共有项，首项为，公差为，末项为，则____________． 10． 已知等差数列的通项公式为，则公差_______. 11． 在等差数列中，______ 12． 在等差数列中，已知，则____. 13．在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)判断96是不是数列中的项？ 14．已知等差数列满足． (1)求首项及公差； (2)求的通项公式； 15． 三个数成等差数列，它们的和为12，积为48，求这三个数. 16．在中，已知三个内角，，成等差数列，且a，c是方程的两个根.求： (1)b的大小； (2)的面积. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $