专题7.2.3平行线的性质【六大考点+六大题型】-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦平行线的性质这一核心知识点，系统梳理同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的基本性质及平行传递性等推论，搭建从基础性质到延伸应用的学习支架，衔接平行线判定知识，形成完整知识脉络。 该资料亮点在于题型设计融合生活实例（如体育场方位、教练车拐弯问题），培养数学眼光观察现实世界，通过探究两平行线间点的角度关系发展推理能力，课中辅助分层教学，课后高分演练覆盖选择、填空、解答题，帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

专题7.2.3平行线的性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点1、平行线的核心性质（重点） 性质1（同位角相等） 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单记：两直线平行，同位角相等。 几何表示：∵ a∥b，∴ ∠1 = ∠2（∠1与∠2为同位角，在截线同侧，被截线同方向）。 性质2（内错角相等） 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单记：两直线平行，内错角相等。 几何表示：∵ a∥b，∴ ∠2 = ∠3（∠2与∠3为内错角，在截线两侧，被截线之间）。 性质3（同旁内角互补） 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（和为180°）。 简单记：两直线平行，同旁内角互补。 几何表示：∵ a∥b，∴ ∠2 + ∠4 = 180°（∠2与∠4为同旁内角，在截线同侧，被截线之间）。 知识点2、平行线性质的推论（延伸应用） 1、平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行的传递性）。 几何表示：∵ a∥b，b∥c，∴ a∥c。 2、 垂直于同一条直线的两条直线互相平行（同一平面内）。 几何表示：∵ a⊥c，b⊥c，∴ a∥b。 3、两条平行线被第三条直线所截，邻补角互补（结合平角定义，可由性质3推导）。 4、 一个结论：平行线间的距离处处相等。 【题型归纳】 题型一：平行线的性质 【例1】．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．根据两直线平行，同位角相等即可判定． 【详解】解：， ，故选项D符合题意， 、、均不符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角等知识，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，则． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴，，， ∴选项一定成立， 由折叠可得，，由条件无法判断和相等，故无法确定， ∴不一定成立， 故选：． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案． 【详解】解： ， ． ， ，故正确； ， ，故正确； ， ． ， ，故正确； 不能证明， 故答案为：B 题型二：根据平行线性质求角的大小 【例2】．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）如图所示，，直线分别交、于点、．平分，平分，．则______． 【答案】30 【分析】先根据角平分线的定义求得，再利用平行线的性质求得，然后利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 2．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，若，，，那么_________．    【答案】/150度 【分析】本题考查平行线的性质．根据平行线的性质求得，再根据整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·期末）如图①所示的是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图②是其正面结构示意图，其中桌面与底座平行，等长的支架，交于它们的中点，液压杆．若，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解． 【详解】解：等长的支架交于它们的中点E，， ， ， ， ， . 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质． 题型三：根据平行线性质探究角的关系 【例3】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ______________ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 【举一反三】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，过点作，过点作，则，由平行线的性质可得出，，，再得出，，用再结合即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ， ， ． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示，_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，，则，由平行线的性质可得，，，再结合几何图形分析即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 依据平行线的性质得出，，进而得到，，据此可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型四：平行线性质在生活应用问题 【例4】．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的应用、方位角等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：由题意可得：，，，过C作，则，由平行线的性质可得，；再根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：，，， 如图，过C作，则， ∴，， ∴． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质，车辆两次拐弯后保持原方向平行，需满足两次拐弯形成的角为内错角且相等，或同旁内角互补．选项B满足内错角相等，两次拐弯后路径平行于原方向． 【详解】解：A：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反，但角度不等，无法形成内错角相等或同旁内角互补，方向改变． B：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反且角度相等，形成内错角相等，路径平行． C：两次左拐，总偏转角度为，方向与原方向相反，不平行． D：两次左拐，总偏转角度为，方向明显改变，不平行． 故选：B 2．（24-25七年级下·山东德州·月考）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质的应用；由得，进而求得；再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 题型五：平行线的判定和性质求角度问题 【例5】．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 【详解】（1）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴，． （2）证明：∵， ∴． 由（1），得， ∴． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，，平分，平分． (1)证明：； (2)若，求的度数．【详解】（1）证明：平分 ； （2）解： ， 平分 ． 3．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 题型六：平行线的判定和性质的综合问题 【例6】．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作， ， ， ， ， 即； （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）线段与线段互相平行，是平面内的一点，且点不在直线，上，连接，．射线，分别是和的平分线． (1)若点在线段上，如图所示． ①依题意补全下图； ②判断与的位置关系，并证明． (2)是否存在点，使？若存在，写出，需要满足的关系，并证明满足这种关系时，；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析； (2)存在，，证明见解析． 【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②根据平行线的性质及判定进行论证即可； （2）根据平行线的性质及判定进行论证即可． 【详解】（1））解：①先连接，再在上取一点，然后分别作和的平分线，如图①所示： ②； 证明：平分，平分， ，． ， ， ， ； （2）答：当点在直线上，位于与两平行线之外， 时，， 证明：如图②所示， ， ， ，，平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级上·贵州·期末）已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是 ． (2)作平分，交于点M． 如图2，过点G作，交直线于点N，求证：． 如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：， ，． 平分， ， ． 故答案为：． （2）解：①∵平分， ． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ② ，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ， ． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 【详解】（1）证明：过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （2）解：，理由如下： 过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）的结论可知，， ∵， ∴ 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ， 根据题意，得，， ∴， ∵直尺对边互相平行， ∴． 2．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 4．（25-26七年级下·全国·期中）如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板上画的两条平行线a，b上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，即两直线平行，同位角相等以及互余的两角，正确掌握知识点是解题的关键；先根据平行线的性质求出的同位角，再由两角互余的性质求出 的度数即可； 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵三角板的直角顶点放在b上， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 6.（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段 分别为前叉、下管和立管(点E在上)，为后下叉．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：C. 8．（25-26七年级下·全国·期末）如图，若，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先，由平行线的性质得到；然后利用角平分线的定义来求的度数． 【详解】解：， ， 又平分， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质．解决本题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”求得的度数． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和互补，．设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理推论，掌握以上知识点是解题的关键． 先根据同旁内角互补，两直线平行得到，同位角相等两直线平行得到，再根据平行公理推论得到，最后根据平行线的性质即可得到、、之间的关系； 一题多解：延长至，由解法一可知，然后根据平行线的性质，结合邻补角的性质即可得到、、之间的关系． 【详解】解：和互补，即， ． ， ， ， ，， ． 一题多解如图，延长至点． 由解法一可知， ， ． 二、填空题 10．（25-26七年级上·河南南阳·期末）小明与小亮要到科技馆参观．小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，由图可知，科技馆位于小明家的南偏西方向，则科技馆位于小亮家的________． 【答案】南偏东的方向 【分析】本题考查方位角的概念及平行线的性质，关键是利用南北方向直线互相平行的性质，结合已知角度推导目标方位角． 【详解】解：如图，射线为正北方向， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴科技馆位于小亮家的南偏东方向． 故答案为：南偏东方向． 11．（25-26七年级下·全国·周测）一副三角板按图①所示的方式摆放，把绕顶点顺时针旋转至图②，此时，则的度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了三角板的固定角度、平行线的性质、三角形外角的性质，掌握平行线内错角相等，三角形外角等于不相邻两内角之和是解题的关键． 先明确三角板的固定角度，利用的平行线性质得到内错角相等，再结合三角形外角性质或角度和差求出的度数． 【详解】解：∵三角板为等腰直角三角形， ∴ ∵三角板为含角的直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∵是的外角， ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，已知，，，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，由平行线的性质可得，再证明，得到，进而根据角的和差关系即可求解，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·全国·周测）如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且， ，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质，结合与，建立角的等式关系，最终推导出的值． 【详解】解：过点作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 已知，， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质和辅助线的构造．解题关键是通过构造平行线，将分散的角关联起来，再结合已知等式进行角度代换与计算． 三、解答题 14．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，四边形中，点是射线上一点，连接交线段于点，若． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角互补，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据邻补角的定义得到，结合已知可得，由内错角相等，两直线平行即可得出结论； （2）由（1）知，推出，结合已知可得推出，则，即可作答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，根据平行线得到角度关系是解题的关键． （1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，再结合即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合求出． 【详解】（1）证明：，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ． 17．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换求解即可． （2）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换证明即可． （3）设，，则，，，同理，再列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 解得， ∴． 18．（25-26七年级下·全国·月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①，已知，点在直线，之间，请写出与，之间的关系，并证明； 【解决问题】（2）如图②所示的是一盏可调节台灯，图③为其示意图．固定支撑杆于点，与是分别可绕点，旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，求的度数； 【拓展应用】（3）如图④，已知，和分别平分和．若，求的度数． 【答案】（1）   见解析 （2） （3） 【分析】（1）过点作平行线，将“非基本图形”转化为“两条平行线被第三条直线所截”的基本图形，利用平行线的性质推导角的关系； （2）利用（1）中得到的“铅笔头”模型角的关系，结合题目给出的平行条件与垂直条件，推导的度数； （3）分别过点、作平行线，结合角平分线的定义，利用（1）的模型建立关于、与的关系式，代入已知条件求解． 【详解】解：（1）如图①，过点作直线． ， ， ，， ， 即． （2）如图②，延长，交于点，过点作． ， ， ，． ，， ， ． ， ， ， ． （3）如图③，分别过点，作，，则． ，，． ． 同理可得，． 和分别平分和， ，． ， ， ，即． 故的度数为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2.3平行线的性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点1、平行线的核心性质（重点） 性质1（同位角相等） 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单记：两直线平行，同位角相等。 几何表示：∵ a∥b，∴ ∠1 = ∠2（∠1与∠2为同位角，在截线同侧，被截线同方向）。 性质2（内错角相等） 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单记：两直线平行，内错角相等。 几何表示：∵ a∥b，∴ ∠2 = ∠3（∠2与∠3为内错角，在截线两侧，被截线之间）。 性质3（同旁内角互补） 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（和为180°）。 简单记：两直线平行，同旁内角互补。 几何表示：∵ a∥b，∴ ∠2 + ∠4 = 180°（∠2与∠4为同旁内角，在截线同侧，被截线之间）。 知识点2、平行线性质的推论（延伸应用） 1、平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行的传递性）。 几何表示：∵ a∥b，b∥c，∴ a∥c。 2、 垂直于同一条直线的两条直线互相平行（同一平面内）。 几何表示：∵ a⊥c，b⊥c，∴ a∥b。 3、两条平行线被第三条直线所截，邻补角互补（结合平角定义，可由性质3推导）。 4、 一个结论：平行线间的距离处处相等。 【题型归纳】 题型一：平行线的性质 【例1】．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：根据平行线性质求角的大小 【例2】．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）如图所示，，直线分别交、于点、．平分，平分，．则______． 2．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，若，，，那么_________．    3．（25-26七年级下·全国·期末）如图①所示的是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图②是其正面结构示意图，其中桌面与底座平行，等长的支架，交于它们的中点，液压杆．若，则的度数为____________． 题型三：根据平行线性质探究角的关系 【例3】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ______________ ． 【举一反三】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为_______． 2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示，_______． 3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 题型四：平行线性质在生活应用问题 【例4】．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 2．（24-25七年级下·山东德州·月考）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 题型五：平行线的判定和性质求角度问题 【例5】．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，，平分，平分． (1)证明：； (2)若，求的度数．【详解】（1）证明：平分 3．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 题型六：平行线的判定和性质的综合问题 【例6】．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）线段与线段互相平行，是平面内的一点，且点不在直线，上，连接，．射线，分别是和的平分线． (1)若点在线段上，如图所示． ①依题意补全下图； ②判断与的位置关系，并证明． (2)是否存在点，使？若存在，写出，需要满足的关系，并证明满足这种关系时，；若不存在，说明理由． 2．（25-26八年级上·贵州·期末）已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是 ． (2)作平分，交于点M． 如图2，过点G作，交直线于点N，求证：． 如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系，并说明理由． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·期中）如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板上画的两条平行线a，b上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6.（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段 分别为前叉、下管和立管(点E在上)，为后下叉．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·全国·期末）如图，若，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和互补，．设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26七年级上·河南南阳·期末）小明与小亮要到科技馆参观．小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，由图可知，科技馆位于小明家的南偏西方向，则科技馆位于小亮家的________． 11．（25-26七年级下·全国·周测）一副三角板按图①所示的方式摆放，把绕顶点顺时针旋转至图②，此时，则的度数为_________． 12．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，已知，，，，则_____． 13．（25-26七年级下·全国·周测）如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且， ，，则的度数为____________． 三、解答题 14．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，四边形中，点是射线上一点，连接交线段于点，若． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的大小． 15．（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 16．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若，请直接写出的度数． 18．（25-26七年级下·全国·月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①，已知，点在直线，之间，请写出与，之间的关系，并证明； 【解决问题】（2）如图②所示的是一盏可调节台灯，图③为其示意图．固定支撑杆于点，与是分别可绕点，旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，求的度数； 【拓展应用】（3）如图④，已知，和分别平分和．若，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $