第七章 数列（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的单元测试卷，主要考查数列的通项公式、数列前n项和、等差、等比数列的性质、{an}与{Sn}的关系、求数列和的方法。 第七章 数列 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 如果一个数列既是等差数列又是等比数列，则此数列（    ） A．为常数数列 B．为非零的常数数列 C．存在且唯一 D．不存在 【答案】B 【分析】本题主要考查等差数列和等比数列的定义。 【详解】如果一个数列既是等差数列又是等比数列，则它必须满足等差数列和等比数列的定义。对于等差数列，通项为 an=a1+(n−1)d；对于等比数列，通项为 an=a1⋅qn−1（通常要求 a1≠0且 q≠0）。联立可得，当且仅当公差 d=0且公比 r=1时成立，此时数列为非零常数数列（若 a1=0，则等比数列无定义）。因此，这样的数列存在且为非零常数数列，但并非唯一（如常数列1,1,1,…和2,2,2,…均满足）。故正确选项为B。 故选：B 2．在等差数列{an}中，a1=4，且a1，a5，a13成等比数列，则{an}的通项公式为（ ） A．an=3n+1 B．an=n+3 C．an=3n+1或an=4 D．an=n+3或an=4 【答案】D 【分析】本题考查的是将等比数列的条件（等比中项）转化为关于等差数列基本量（公差 d）的方程，体现了等差与等比两种数列定义的综合运用。 【详解】设等差数列 {an}的公差为 d，首项 a1=4，则a5=a1+4d=4+4d,a13=a1+12d=4+12d. 由 a1,a5,a13成等比数列，得(4+4d)2=4×(4+12d).化简得16(1+d)2=16+48d  ⟹  (1+d)2=1+3d, 即1+2d+d2=1+3d  ⟹  d2−d=0  ⟹  d(d−1)=0.解得 d=0或 d=1.当 d=0时，an=4； 当 d=1时，an=4+(n−1)×1=n+3，因此，{an}的通项公式为 an=4或 an=n+3，故D选项正确 故选：D. 3．已知a，b，c成等比数列，且x，y分别为a与b，b与c的等差中项，则+的值为（ ） A． B．-2 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查的是等比数列和等差数列的定义及性质，以及代数式的化简与求值。 【详解】已知 a,b,c成等比数列，设公比为 q，则 b=aq，c=aq2。 x是 a与 b 的等差中项，即 x=；y是 b与 c的等差中项，即 y=。计算 +：==​ 代入 b=aq，c=aq2：==，==​相加得： +=+==2，因此，所求值为 2。故C选项正确。 故选：C. 4. 若等差数列{an}的前15项和S15=90，则a8=（ ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查等差数列的前 n 项和公式及其性质，特别是当项数为奇数时，中间项等于前 n 项和除以项数。 【详解】在等差数列中，前15项的和 S15=90，由于项数为奇数，中间项为第8项，且 S15=15×a8，因此 a8==6。.故A选项正确. 故选：A 5.在数列{an}中，已知an=an-1+3(n≥2)，且a1=-2，则a3=（ ） A．3 B．-8 C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是等差数列的定义及递推关系的应用，通过逐项推导或通项公式求指定项。 【详解】由递推关系 an=an−1+3可知数列是等差数列，公差为3。已知 a1=−2，则 a2=a1+3=−2+3=1，a3=a2+3=1+3=4。因此 a3=4，故选项D正确 故选：D. 6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=2n+3(n∈N∗)，则S20=（ ） A．115 B．120 C．480 D．580 【答案】C 【分析】本题考查的是是等差数列的通项公式与前n项和公式。 【详解】由 an=2n+3可知，数列是等差数列，首项 a1=5，公差 d=2。 前 n 项和公式为 Sn=(a1+an)，则S20=×(a1+a20)=10×[5+(2×20+3)]=10×(5+43)=10×48=480.因此，S20=480，故选项C正确。 故选：C 7.已知两个数的等差中项是10，等比中项是8，则这两个数是（ ） A．3和15 B．4和16 C． 4和9 D．3和7 【答案】B 【分析】本题考察的是等差中项与等比中项的概念及其应用。 【详解】已知两个数的等差中项为10，则两数之和为20；等比中项为8，则两数之积为64。设两数为x和y，则x+y=20，xy=64，解得x=4，y=16或x=16，y=4。因此这两个数是4和16，故选项B正确。 故选：B 8.已知三个数成等差数列，它们的和为m，则中间数为（ ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查的是等差数列的性质：三个数成等差数列时，中间数等于它们的算术平均数。 【详解】设三个数分别为 a−d,a,a+d，则它们的和为 (a−d)+a+(a+d)=3a=m，解得中间数 a=，故选项B正确。 故选：B 9.已知数列{an}是等比数列，且an>0，若a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，则a3+a5=（ ） A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】A 【分析】本题考察的是等比数列的性质（下标和相等时项的乘积相等）及完全平方公式的应用。 【详解】已知等比数列 {an}中 an>0，且 a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25。 由等比数列性质，a2·a4=，a4·a6=，代入得： +2a3a5+=(a3+a5)2=25.因为 an>0，所以 a3+a5=5，故选项A正确。 故选：A. 10.在等比数列{an}中，已知an+1=an(n∈N∗)，且a1=2，则该数列的前5项和S5=（ ） A．- B． C．- D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等比数列的通项公式及前 n 项和公式的应用。 【详解】已知等比数列 {an}满足 an+1=an，即公比 q=，首项 a1=2。 前n 项和公式为 Sn=，代入 n=5得：S5==.故选项B正确。 故选：B. 11.在等比数列{an}中，已知a1+a2=30，a3+a4=120，则a5+a6=（ ） A．600 B．480 C．360 D．240 【答案】B 【分析】本题考查等比数列的通项公式及整体代换思想。 【详解】在等比数列 {an}中，设首项为 a1，公比为 q，则 a1+a2=a1(1+q)=30，a3+a4=a1q2(1+q)=120.将第一个等式代入第二个，得 30·q2=120，解得 q2=4。 于是a5+a6=a1q4(1+q)=[a1(1+q)]·q4=30×(q2)2=30×16=480.因此，a5+a6=480，故B选项正确。 故选：B 12.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（ ） A．1 B． 2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是等比数列的基本性质与通项公式的灵活应用。 【详解】因为是等比数列，公比 q=2，所以通项公式为： an=a1·qn−1=a1·2n−1那么：a3=a1·22=a1·4，a11=a1·210=a1·1024所以： a3a11=(a1·4)(a1·1024)=a12·4096，因为a3a11=16，代入得：a12·4096=16，解得： a12==，因为数列各项都是正数，所以 a1>0 ，故：a1=，a5=·25−1=1，故选项A正确。 故选：A. 13.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前3项和为21，则a3+a4+a5=（ ） A．33 B．72 C. 84 D. 189 【答案】C 【分析】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和公式以及整体代换的思想。 【详解】在等比数列中，首项 a1=3，前三项和 a1+a2+a3=21，即3+3q+3q2=21⇒1+q+q2=7⇒q2+q−6=0.解得 q=2或 q=−3（舍去，因为各项为正）。 则a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=3×4×7=84.故选项C正确 故选：C 14.已知数列-1，a1，a2，-4成等差数列，-1，b1，b2，b3，-4成等比数列，则的值为（ ） A． B.- C．或- D． 【答案】A 【分析】本题考察的是等差、等比数列的基本量运算（公差、公比求解及项的计算），体现了对数列通项公式及整体思想的灵活运用。 【详解】设等差数列的公差为 d，则−1,a1,a2,−4 成等差数列  ⟹  a1=−1+d,a2=−1+2d,−4=−1+3d,解得 d=−1，从而 a1=−2，a2=−3，故a2−a1=−3−(−2)=−1.设等比数列的公比为 q，则 −1,b1,b2,b3,−4 成等比数列  ⟹  b1=−q,b2=−q2,b3=−q3,−4=−q4,由 q4=4得 q2=2，所以 b2=−q2=−2.因此==. 故选：A. 15.已知数列{an+1-pan}为等比数列，且an=2n+3n，则p的值为（ ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或3的倍数 【答案】C 【分析】等比数列通项的结构特征以及指数型数列的线性组合性质。 【详解】由 an=2n+3n，得an+1−pan=(2n+1+3n+1)−p(2n+3n)=(2−p)2n+(3−p)3n.要使该数列为等比数列，需其通项为单一指数形式，故系数 (2−p)和 (3−p)必有一个为零，解得 p=2或 p=3，故选项C正确。 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．在等差数列{an}中，已知a1=2，a4=11，则an=______. 【答案】3n−1(n∈N∗) 【分析】本题主要考查等差数列的通项公式及其应用。 【详解】由等差数列通项公式 an=a1+(n−1)d，已知 a1=2，a4=11，则 a4=2+3d=11  ⟹  3d=9  ⟹  d=3.所以an=2+(n−1)×3=3n−1. 17. 已知等差数列{an}的前n项和Sn=2n2-3(n∈N∗)，则a6=______. 【答案】22 【分析】本题主要考查等差数列前 n项和公式的应用及项与和的关系。 【详解】由等差数列前n项和公式，a6=S6−S5。已知 Sn=2n2−3，则 S6=2×62−3=72−3=6，S5=2×52−3=50−3=47，所以a6=69−47=22. 18.已知{an}是等比数列，a2，a4是方程x2-10x+9=0的两个根，则a2·a3·a4=______. 【答案】±27 【分析】本题考察等比数列的性质（等比中项 a32=a2a4）、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）以及整体代入求值的思想。 【详解】在等比数列中，由等比中项性质得 a32=a2·a4 。 解方程 x2−10x+9=0，得两根为 1 和 9，即 a2·a4=9，所以 a3=±3。 则 a2·a3·a4=(a2· a4)·a3=9×(±3)=±27. 19. 在等比数列{an}中，已知q=-，其前6项和S6=7(1-)，则首项a1=______. 【答案】1 【分析】本题主要考查等比数列前 n 项和公式的直接应用，并结合了负指数幂的计算与分母有理化技巧。 【详解】由等比数列前 n 项和公式 Sn=，代入 q=−，n=6，得 S6==，已知 S6=7(1−)，所以=7(1−).两边除以 7 得=1−，即 a1=−(1+)(1−)=−(1−2)=1. 20.已知a，b，c三个数成递增的等比数列，它们的和是13，积是27，则公比q=______. 【答案】3 【分析】本题主要考查等比数列的对称设元法及方程思想。 【详解】由题意，设三个数分别为 a,aq,aq2（q>1 递增）。 积：a·aq·aq2=a3q3=27，得 aq=3，即中间项 b=3。 和：a+aq+aq2=+3+3q=13，整理得 +3q=10，两边乘 q：3+3q2=10 q，即 3q2−10q+3=0。 解得 q=​，即 q=3或 q=（舍去，不满足递增）。故公比 q=3。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+4n(n∈N∗)，求该数列的通项公式an. 【答案】an=2n+3(n∈N∗) 【分析】本题主要考查数列前 n项和 Sn与通项an的关系。 【详解】当n=1时，a1=S3=12+4×1=5； 当n≥2(n∈N∗)时，an=Sn-Sn-1=n2+4n-[(n-1)2+4(n-1)]=2n+3. 将n=1代入，可得2n+3=2×1+3=5=a1 故该数列的通项公式an=2n+3(n∈N∗) 22．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-9，S3=-21. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 求Sn，并求出Sn的最小值. 【答案】(1)2n−11；(2)-25 【分析】本题考查的是等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并结合二次函数性质求最值。 【详解】设等差数列 {an}的公差为 d，由 a1=−9，S3=−21得 S3=3a1+3d=−27+3d=−21⇒3d=6⇒d=2.所以通项公式为an=a1+(n−1)d=−9+2(n−1)=2n−11. (2) 前 n 项和Sn=[2a1+(n−1)d]=[−18+2(n−1)]=n(n−10)=n2−10n.这是关于 n 的二次函数，开口向上，对称轴为 n=5，故当 n=5时 Sn取得最小值S5=52−10×5=25−50=−25.因此，Sn的最小值为 −25. 23．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项. (1) 求{an}的公比 (2) 若a1=1，求数列{nan}的前n项和. 【答案】(1)-2；(2)- 【分析】本题主要考查等比数列公比，并利用错位相减法求出数列和。 【详解】(1)设{an}的公比为q，由题设2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a2q2，所以q2+q-2=0，解q=1(舍)或q=-2，故公比q=-2； (2)Sn记为数列{nan}的前n项和，由(1)及题设可得an=(-2)n-1， Sn=1+2×(-2)+⋯+n(-2)n-1 ① -2Sn= 1×(-2)+2×(-2)2+⋯+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n ② ①-②可得：3Sn=1+(-2)+(-2)2+⋯+(-2)n-1-n(-2)n=-n(-2)n 所以，Sn=- 24．某企业今年的销售利润为100万元，若保证销售利润的年增长率5%不变，那么该企业从今年起5年内的销售总利润预期是多少（精确到0.1万元）? 【答案】552.6万元​ 【分析】本题考查的是将实际问题中的固定增长率转化为等比数列模型，并运用前n项和公式进行近似计算的能力。 【详解】该企业今年的利润为100万元，年增长率为5%，则未来5年的利润构成等比数列，首项 a1=100，公比 q=1.05，项数 n=5。5年内的总利润为S5==.计算 1.055≈1.2762815625，则S5==100×5.52563125=552.563125≈552.6 万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的单元测试卷，主要考查数列的通项公式、数列前n项和、等差、等比数列的性质、{an}与{Sn}的关系、求数列和的方法。 第七章 数列 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如果一个数列既是等差数列又是等比数列，则此数列（    ） A．为常数数列 B．为非零的常数数列 C．存在且唯一 D．不存在 2．在等差数列{an}中，a1=4，且a1，a5，a13成等比数列，则{an}的通项公式为（ ） A．an=3n+1 B．an=n+3 C．an=3n+1或an=4 D．an=n+3或an=4 3．已知a，b，c成等比数列，且x，y分别为a与b，b与c的等差中项，则+的值为（ ） A． B．-2 C．2 D．不确定 4. 若等差数列{an}的前15项和S15=90，则a8=（ ） A．6 B． C．12 D． 5. 在数列{an}中，已知an=an-1+3(n≥2)，且a1=-2，则a3=（ ） A．3 B．-8 C．8 D．4 6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=2n+3(n∈N∗)，则S20=（ ） A．115 B．120 C．480 D．580 7. 已知两个数的等差中项是10，等比中项是8，则这两个数是（ ） A．3和15 B．4和16 C． 4和9 D．3和7 8. 已知三个数成等差数列，它们的和为m，则中间数为（ ） A． B． C． D．以上答案都不对 9. 已知数列{an}是等比数列，且an>0，若a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，则a3+a5=（ ） A．5 B．10 C．15 D．25 10. 在等比数列{an}中，已知an+1=an(n∈N∗)，且a1=2，则该数列的前5项和S5=（ ） A．- B． C．- D． 11. 在等比数列{an}中，已知a1+a2=30，a3+a4=120，则a5+a6=（ ） A．600 B．480 C．360 D．240 12. 公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（ ） A．1 B． 2 C．4 D．8 13. 在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前3项和为21，则a3+a4+a5=（ ） A．33 B．72 C． 84 D. 189 14. 已知数列-1，a1，a2，-4成等差数列，-1，b1，b2，b3，-4成等比数列，则的值为（ ） A． B.- C．或- D． 15.已知数列{an+1-pan}为等比数列，且an=2n+3n，则p的值为（ ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或3的倍数 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．在等差数列{an}中，已知a1=2，a4=11，则an=______。 17. 已知等差数列{an}的前n项和Sn=2n2-3(n∈N∗)，则a6=______。 18. 已知{an}是等比数列，a2，a4是方程x2-10x+9=0的两个根，则a2·a3·a4=______。 19. 在等比数列{an}中，已知q=-，其前6项和S6=7(1-)，则首项a1=______。 20. 已知a，b，c三个数成递增的等比数列，它们的和是13，积是27，则公比q=______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+4n(n∈N∗)，求该数列的通项公式an. 22. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-9，S3=-21. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 求Sn，并求出Sn的最小值. 23. 设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项. (1) 求{an}的公比 (2) 若a1=1，求数列{nan}的前n项和. 24．某企业今年的销售利润为100万元，若保证销售利润的年增长率5%不变，那么该企业从今年起5年内的销售总利润预期是多少（精确到0.1万元）? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $