第七章 数列（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的考点梳理卷，主要梳理和考查了数列的通项公式、数列前n项和、等差、等比数列的性质、{an}与{Sn}的关系、求数列和的方法等常见考点。 第七章 数列 目录 考点一 数列的通项公式 1 考点二 数列前n项和 2 考点三 知三求二 3 考点四 等差、等比数列的性质 3 考点五 求{an}的通项公式 4 考点六 证明数列是等差数列或等比数列 4 考点七 {an}与{Sn}的关系 5 考点八 求数列和的方法——分组求和 5 考点九 求数列和的方法——错位相减 6 考点十 求数列和的方法——裂项相消 7 考点一 数列的通项公式 1．数列-1，，-，，⋯的通项公式是 . 【答案】an=(-1)n 【分析】本题主要考查数列的通项公式，可对它从符号变化规律、分子变化规、分母变化规律三个方面进行分析，从而发现项与项数之间的关系。 【详解】通项的符号规律为(-1)n，将第一项看作-，则分子分母的规律为：分母3,5,7,9，⋯每项比前一项多2，故通项为2n+1,分子3,8,15,24,⋯的通项为(n+1)2-1,把分子、分母和符号规律统一起来，得an=(-1)n 。 2. 已知数列{an}的通项公式是an=-n2+n+110. (1) 求a1，a3，a5； (2) 验证20是不是数列中的项； (3) 当n为何值时，an=0. 【答案】(1)a1=110，a3=104，a5=90；(2)证明无答案；(3)n=11。 【分析】本题主要考查数列的通项公式，验证某项为该数列的项，将数值带入计算求n即可。 【详解】(1)因为an=-n2+n+110，所以a1=-12+1+110=110，a3=-32+3+110=104，a5=-52+5+110=90； (2) 令an=-n2+n+110=20，解得n=-9或n=10，因为n∈N∗，所以n=10.故20是该数列中的第10项； (3)令an=-n2+n+110=0，解得n=-10或n=11，因为n∈N∗，所以n=11，故当n=11时，an=0。 考点二 数列前n项和 3. 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列的通项公式. (1)Sn=2n2-3n； (2)Sn=n2+1. 【答案】(1)an=4n-5；(2)an= 。 【分析】本题主要考查已知Sn求an时，要先分n=1和n≥2两种情况进行计算，然后验证能否统一。 【详解】(1)当n=1时，a1=S1=-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5，由于a1也适合此等式，因此an=4n-5； (2)当n=1时，a1=S1=1+1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1.由于a1不适合此等式，因此an= 。 4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且S2n-1=4n2-2n+1，则Sn=（ ） A. n2+n B. n2+n+1 C. 4n2+1 D. 4n2-2n 【答案】B 【分析】本题可从函数角度看待，可参考已知f(2n-1)=4n2-2n+1，求f(n)的方法. 【详解】令m=2n-1，则n=，所以Sm=4×()2-2×+1=m2+m+1，即Sn=n2+n+1故选项B正确. 故选：B． 考点三 知三求二 5. 在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，求a8及S10. 【答案】a8=16，S10=85. 【分析】本题主要考查在等差数列中，a1、an、d、n、Sn这五个基本量知三求二的运算。 【详解】因为a6=10，S5=5，所以，解方程得a1=-5，d=3，所以a8=16，S10==85. 6.  在等比数列{an}中，已知a1=3，q=2，n=6，求an及Sn 【答案】a6=96，Sn=189. 【分析】本题主要考查等比数列中，a1、an、q、n、Sn这五个基本量知三求二的运算。 【详解】因为an=a1qn-1，所以a6=a1q6-1=3×25=96；Sn===189. 考点四 等差、等比数列的性质 7.在等差数列{an}中，已知a3+a8=5，则S10= 【答案】S10=25 【分析】本题主要考查等差数列的性质a3+a8=a1+a10。 【详解】因为a3+a8=5，a3+a8=a1+a10=5，所以S10==25. 8.在等比数列{an}中，已知a1=-16，a4=8，则a7= 【答案】a7=-4 【分析】本题主要考查等比数列的性质q3=。 【详解】因为q3==-，所以a7=a1q7-1=-16×(q3)2=-16×(-)2=-4. 考点五 求{an}的通项公式 9. 已知等差数列{an}中，a2=8，前10项和S10=185，求数列{an}的通项公式an. 【答案】an=3n+2 【分析】本题主要考查求等差数列{an}的通项公式. 【详解】，所以，所以an=3n+2. 10. 已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a2+a3=6，求{an}的通项公式. 【答案】an=2n-1 【分析】本题主要考查等比数列{an}的通项公式。 【详解】，所以，所以an=2n-1. 考点六 证明数列是等差数列或等比数列 11. 已知a1=1且{an}满足：an-2an·an+1=an+1，求证{}是等差数列，并求{an}的通项公式. 【答案】an= 【分析】本题主要考查根据定义法进行等差数列的证明。 【详解】证明：由an-2an·an+1=an+1，得-2= ，所以-=2，故{}是首项为=1，公差为2的等差数列，所以=+(n-1)·2=1+2n-2=2n-1，所以an= . 12. 已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+1求证{an+1}是等比数列，并求{an}的前n项和 【答案】Sn=2n+1-(n+2) 【分析】本题主要考查根据定义法进行等比数列的证明。 【详解】证明：由an+1=2an+1，得an+1+1=2(an+1)，所以=2，故{an+1}是以a1+1=2为首项为，公比为2的等比数列，所以an+1=2n，所以an=2n-1，Sn=an+an+⋯+an=2-1+22-1+⋯+2n-1=2n+1-(n+2) . 考点七 {an}与{Sn}的关系 13.已知等差数列{an}中，前n项和Sn=n2+2n. (1)求{an}的通项公式； (2)求a2+a4+⋯+a30. 【答案】(1)an=2n+1；(2)495. 【分析】本题主要考查{an}与{Sn}的关系，根据通项公式来求Sn. 【详解】由Sn=n2+2n，得n=1时，a1=S1=3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n-1+2=2n+1.n=1时，也满足此式，所以an=2n+1. a2+a4+⋯+a30=×15=×15=495. 14. 设数列{an}的前n项和Sn=2an-a1且a1，a2+1，a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{an}的前n项和为Tn，求Tn.. 【答案】(1)an=2n；(2)Tn=2n+1-2 【分析】本题主要考查{an}与{Sn}的关系。 【详解】(1)当n>1时，an=Sn-Sn-1=2an-a1-(2an-1-a1)=2an-2an-1，所以an=2an-1，即有=2,为定值，a2=2a1，a3=2a2=4a1.因为a1，a2+1，a3成等差数列，所以2(a2+1)=a1+a3，2(2a1+1)=a1+4a1解得a1=2，所以数列{an}的通项公式为an=2·2n-1=2n. (2) Tn===2n+1-2. 考点八 求数列和的方法——分组求和 15. 求数列1，2，3，4⋯的前n项和. 【答案】 - 【分析】本题主要考查分组求和法，适用于等差±等比或等比±等差。 【详解】1=1+，2=2+，3=3+，4=4+ ，设所求为Sn，Sn=(1+)+(2+)+(3+)+(4+)+⋯+(n+)=(1+2+3+4+⋯+n)+(++++⋯+)=+= - . 16. 已知数列{an}满足an=2n-1+2n-1，求数列{an}的前n项和Sn. 【答案】2n-1+n2 【分析】本题主要考查分组求和方法，一般通项为Cn=an±bn型求和。 【详解】Sn=(20+1)+(21+3)+⋯+(2n-1+2n-1) =(20+21+⋯+2n-1)+(1+3+⋯+2n-1) =+ =2n-1+n2. 考点九 求数列和的方法——错位相减 17. 已知数列{an}和{bn}满足an=3n-1，bn=2n+1，求Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn的值. 【答案】n·3n 【分析】本题主要考查错位相减法，通项型如：乘型anbn. 【详解】因为anbn=(2n+1)·3n-1， Tn=3×30+5×31+⋯+(2n+1)·3n-1 ① 3Tn= 3×31+5×32+⋯+(2n+1)·3n-1+(2n+1)·3n ② 所以由 ①-②得：-2Tn= 3×30+2×31+⋯+2·3n-1-(2n+1)·3n =3+ - (2n+1)3n =-2n·3n 所以Tn=n·3n. 18. 已知数列{an}满足an=n·()n，求数列{an}的前n项和Tn. 【答案】-(n+)×()n 【分析】本题主要考查错位相减法，通项型如：除型. 【详解】Tn=1×()1+2×()2+⋯+n·()n ① Tn= 1×()2+2×()3+⋯+(n-1)·()n+n·()n+1 ② 所以由 ①-②得：Tn= ()1+()2+⋯+()n-n·()n = - n·()n+1 = - ×()n-n·()n+1 所以Tn=-(n+)×()n. 考点十 求数列和的方法——裂项相消 19. 已知数列an=2n-13，令bn=，求数列{bn}的前n项和Sn. 【答案】 【分析】本题主要考查等差数列裂项相消法，配凑系数。 【详解】bn===(-)， 所以Sn=[--(]+[--(]+⋯+(-) =(-) = . 20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+4=2an. (1) 求{an}的通项公式 (2) 求数列{}的前n项和Tn. 【答案】(1)an=2n+1；(2)Tn= 【分析】本题主要考查裂项相消法，本题为指数型通项公式，要进行合理配凑。 【详解】(1)当n=1时，由S1+4=2a1，得a1=4，当n≥2时，因为Sn+4=2an，所以Sn-1+4=2an-1，两式相减得an=2an-2an-1，即an=2an-1，故{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，从而an=4×2n-1=2n+1. (2)由(1)可知==- ， 则Tn=-+-+⋯+-=-= . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的考点梳理卷，主要梳理和考查了数列的通项公式、数列前n项和、等差、等比数列的性质、{an}与{Sn}的关系、求数列和的方法等常见考点。 第七章 数列 目录 考点一 数列的通项公式 1 考点二 数列前n项和 2 考点三 知三求二 2 考点四 等差、等比数列的性质 2 考点五 求{an}的通项公式 3 考点六 证明数列是等差数列或等比数列 3 考点七 {an}与{Sn}的关系 3 考点八 求数列和的方法——分组求和 4 考点九 求数列和的方法——错位相减 4 考点十 求数列和的方法——裂项相消 4 考点一 数列的通项公式 1．数列-1，，-，，⋯的通项公式是 . 2. 已知数列{an}的通项公式是an=-n2+n+110. (1) 求a1，a3，a5； (2) 验证20是不是数列中的项； (3) 当n为何值时，an=0. 考点二 数列前n项和 3. 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列的通项公式. (1)Sn=2n2-3n； (2)Sn=n2+1. 4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且S2n-1=4n2-2n+1，则Sn=（ ） A. n2+n B. n2+n+1 C. 4n2+1 D. 4n2-2n 考点三 知三求二 5. 在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，求a8及S10. 6. 在等比数列{an}中，已知a1=3，q=2，n=6，求an及Sn. 考点四 等差、等比数列的性质 7. 在等差数列{an}中，已知a3+a8=5，则S10= . 8. 在等比数列{an}中，已知a1=-16，a4=8，则a7= . 考点五 求{an}的通项公式 9. 已知等差数列{an}中，a2=8，前10项和S10=185，求数列{an}的通项公式an. 10. 已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a2+a3=6，求{an}的通项公式. 考点六 证明数列是等差数列或等比数列 11. 已知a1=1且{an}满足：an-2an·an+1=an+1，求证{}是等差数列，并求{an}的通项公式. 12.已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+1求证{an+1}是等比数列，并求{an}的前n项和. 考点七 {an}与{Sn}的关系 13.已知等差数列{an}中，前n项和Sn=n2+2n. (1)求{an}的通项公式； (2)求a2+a4+⋯+a30. 14. 设数列{an}的前n项和Sn=2an-a1且a1，a2+1，a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{an}的前n项和为Tn，求Tn. 考点八 求数列和的方法——分组求和 15. 求数列1，2，3，4⋯的前n项和. 16. 已知数列{an}满足an=2n-1+2n-1，求数列{an}的前n项和Sn. 考点九 求数列和的方法——错位相减 17. 已知数列{an}和{bn}满足an=3n-1，bn=2n+1，求Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn的值 18. 已知数列{an}满足an=n·()n，求数列{an}的前n项和Tn. 考点十 求数列和的方法——裂项相消 19.已知数列an=2n-13，令bn=，求数列{bn}的前n项和Sn. 20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+4=2an. (1) 求{an}的通项公式 (2) 求数列{}的前n项和Tn 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $