第六章 计数原理(讲义）-2025--2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学人教A版选择性必修第三册 第六章 计数原理 高频考点 高频考点一两个计数原理 [例1]　(1)某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　) A．14　　　　　　　　　 B．16 C．20 D．48 (2)一个地区分为5个行政区域(如图所示)，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法有________种．(用数字作答) [集训冲关] 1.甲与四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(　　) A．5 B．24 C．32 D．64 2．[多选]某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表： 乘坐站数x 0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9 票价/元 2 3 4 现有小花、小李两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是(　　) A．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有9种 B．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有18种 C．若小花、小李两人共花费6元，则小花、小李下地铁的方案共有27种 D．若小花、小李两人共花费6元，则小花比小李先下地铁的概率为 高频考点二 排列与组合 [例2]　(1)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的四位数．(用数字作答) (2)五位老师和五名学生站成一排， ①五名学生必须排在一起共有多少种排法？ ②五名学生不能相邻共有多少种排法？ ③老师和学生相间隔共有多少种排法？ [集训冲关] 1．从字母a，b，c，d，e，f中选出4个字母排成一排，其中一定要选出a和b，并且必须相邻(a在b的前面)，则排列方法共有(　　) A．36种　　　　　　　　 B．72种 C．90种 D．144种 2．(2022·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 (　 ) A．12种　　 B．24种　　 C．36种　　 D．48种 高频考点三二项式定理及应用 [例3]　(1)(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 (2)8的展开式的常数项是________． 2．求二项展开式特定项的步骤 　　 [集训冲关] 1．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 2．设2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2＝________. 　　　 一、选择题 1．(x3＋x2＋x＋1)(y2＋y＋1)(z＋1)展开后的不同项数为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有(　　) A．63种 B．31种 C．8种 D．7种 3．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有(　　) A．7种 B．8种 C．6种 D．9种 4．将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中，每间宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有(　　) A．252种 B．112种 C．70种 D．56种 5．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　) A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　) A．144 B．120 C．72 D．24 二、填空题 7．(2025·天津高考)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为________． 8．5n＋13n(n∈N)除以3的余数是________. 9．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答) 三、解答题 10．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血共有9人，AB型血共有3人． (1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ (2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 11．已知二项式n展开式中各项系数之和比二项式系数之和大240. (1)求n； (2)求展开式中含x项的系数； (3)求展开式中所有含x的有理项． 12．已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7. (1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数； (2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版选择性必修第三册 第六章 计数原理 高频考点 高频考点一两个计数原理 [例1]　(1)某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　) A．14　　　　　　　　　 B．16 C．20 D．48 (2)一个地区分为5个行政区域(如图所示)，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法有________种．(用数字作答) [解析]　(1)分两类. 第1类，甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人来自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理，得N1＝2×6＝12； 第2类，3人全来自其余4家企业，有N2＝4种情况． 综上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16种情况． (2)因为区域1与其他4个区域都相邻，首先考虑区域1，有4种涂法． 若区域2,4同色，有3种涂法，此时区域3,5均有2种涂法，涂法总数为4×3×2×2＝48； 若区域2,4不同色，先涂区域2，有3种方法，再涂区域4有2种方法，此时区域3,5都只有1种涂法，涂法总数为4×3×2×1×1＝24. 因此，满足条件的着色方法共有48＋24＝72种． [答案]　(1)B　(2)72 [方法技巧] 应用两个计数原理应遵循的原则 (1)应用分类加法计数原理，应准确进行“分类”，明确分类的标准：每一种方法必属于某一类(不漏)，任何不同类的两种方法是不同的方法(不重)，每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情”． (2)应用分步乘法计数原理，应准确理解“分步”的含义，完成这件事情，需要分成若干步骤，只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成． [集训冲关] 1.甲与四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(　　) A．5 B．24 C．32 D．64 解析：选D　5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8(种)． 第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4(种)； 第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4(种)，共计4＋4＝8. 根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数共有 8×8＝64. 2．[多选]某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表： 乘坐站数x 0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9 票价/元 2 3 4 现有小花、小李两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是(　　) A．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有9种 B．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有18种 C．若小花、小李两人共花费6元，则小花、小李下地铁的方案共有27种 D．若小花、小李两人共花费6元，则小花比小李先下地铁的概率为 解析：选BCD　若小花、小李两人共花费5元，则两人中1人花费2元，1人花费3元，小花、小李下地铁的方案共有2×3×3＝18(种)，A错误，B正确；若小花、小李两人共花费6元，则两人中1人花费2元，1人花费4元，或2人都花费3元，小花、小李下地铁的方案共有2×3×3＋3×3＝27(种)，C正确；其中小花比小李先下地铁有3×3＋3＝12(种)，概率p＝＝，D正确． 高频考点二 排列与组合 [例2]　(1)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的四位数．(用数字作答) (2)五位老师和五名学生站成一排， ①五名学生必须排在一起共有多少种排法？ ②五名学生不能相邻共有多少种排法？ ③老师和学生相间隔共有多少种排法？ [解析]　(1)不含有0的四位数有CCA＝720(个)． 含有0的四位数有CCCA＝540(个)． 综上，组成没有重复数字的四位数的个数为720＋540＝1 260. 答案：1260 (2)①先将五名学生“捆绑”在一起看作一个与五位老师排列有A种排法，五名学生再内部全排列有A种，故共有A·A＝86 400种排法． ②先将五位老师全排列有A种排法，再将五名学生排在五位老师产生的六个空位上有A种排法，故共有A·A＝86 400种排法． 可用图表示：□○□○□○□○□○□(○表示老师所在位置，□表示中间的空当)． ③排列方式只能有两类，如图所示： ○□○□○□○□○□ □○□○□○□○□○ (□表示老师所在位置，○表示学生所在位置) 故有2A·A＝28 800种排法． [方法技巧] 解决排列组合应用题的原则 (1)特殊优先的原则：这是解有限制条件的排列组合问题的基本原则之一，对有限制条件的元素和有限制条件的位置一定要优先考虑． (2)正难则反的原则：对于一些情况较多、直接求解非常困难的问题，我们可以从它的反面考虑，即利用我们平常所说的间接法求解． (3)相邻问题“捆绑”处理的原则：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看成一个元素与其他元素排列，然后将相邻元素进行排列． (4)不相邻问题“插空”处理的原则：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端插入． 5指标问题采用“隔板法”：即问题转化为把n个相同元素分成m个组的分法，这相当于n个相同元素的每两个元素之间共n－1个空，任插m－1个板子的插法数，即C种. 6先取后排的原则：对于较复杂的排列组合问题，常采用“先取后排”的原则，即先取出符合条件的元素，再按要求进行排列. 7定序问题倍缩、空位插入原则：定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理. 8小集团问题先整体后局部原则：小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其他策略进行处理. [集训冲关] 1．从字母a，b，c，d，e，f中选出4个字母排成一排，其中一定要选出a和b，并且必须相邻(a在b的前面)，则排列方法共有(　　) A．36种　　　　　　　　 B．72种 C．90种 D．144种 解析：选A　由于a，b已经选出，故再从剩余的4个字母中选出2个，方法有C＝6(种)．将a，b看作一个整体，与选出的2个字母进行排列，∵a在b前面，∴排列方法有A＝6(种)，根据分步乘法计数原理求得所有的排列方法共有6×6＝36(种)，故选A. 2．(2022·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 (　 ) A．12种　　 B．24种　　 C．36种　　 D．48种 解析：选B　先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24（种），故选B. 高频考点三二项式定理及应用 [例3]　(1)(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 (2)8的展开式的常数项是________． [解析]　(1)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C×22＝40. (2)由题意，得 Tr＋1＝C·()8－r·r＝C·r·x. 令＝0，得r＝2. 因此T3＝C×2＝7. [答案]　(1)C　(2)7 [方法技巧] 1．对于二项式系数问题，应注意以下几点 (1)求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； (2)关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)证明不等式时，应注意运用放缩法． 2．求二项展开式特定项的步骤 　　 [集训冲关] 1．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 解析：选A　法一：(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C＋2C＝12. 法二：∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12. 2．设2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2＝________. 解析：设f(x)＝2n，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1)(a0＋a2＋a4＋…＋a2n＋a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＝f(－1)·f(1) ＝2n·2n＝2n＝n. 答案：n 　　　 一、选择题 1．(x3＋x2＋x＋1)(y2＋y＋1)(z＋1)展开后的不同项数为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 解析：选D　分三步：第一步，从(x3＋x2＋x＋1)中任取一项，有4种方法；第二步，从(y2＋y＋1)中任取一项，有3种方法；第三步，从(z＋1)中任取一项有2种方法．根据分步乘法计数原理得不同项数为4×3×2＝24. 2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有(　　) A．63种 B．31种 C．8种 D．7种 解析：选D　由题意知，可以开2盏、4盏、6盏灯照明，不同方法有C＋C＋C＝7(种)． 3．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有(　　) A．7种 B．8种 C．6种 D．9种 解析：选A　要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7种． 4．将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中，每间宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有(　　) A．252种 B．112种 C．70种 D．56种 解析：选B　分两类：甲、乙两间宿舍中一间住4人、另一间住3人或一间住5人、另一间住2人，所以不同的分配方案共CA＋CA＝35×2＋21×2＝112(种)． 5．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　) A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 解析：选B　当五位数的万位数字为4时，个位数字可以是0,2，此时满足条件的偶数共有CA＝48(个)；当五位数的万位数字为5时，个位数字可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有CA＝72(个)，所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．故选B. 6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　) A．144 B．120 C．72 D．24 解析：选D　先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个空当，再把三人带椅子插放在四个空当中，即共有A＝24种坐法． 二、填空题 7．(2025·天津高考)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为________． 解析：(x－1)6展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r·(－1)r， 当r＝3时，T4＝Cx3·(－1)3＝－20x3， 即(x－1)6的展开式中x3项的系数为－20. 答案：－20 8．5n＋13n(n∈N)除以3的余数是________. 解析：5n＋13n＝(6－1)n＋(12＋1)n＝C6n(－1)0＋C6n－1(－1)1＋…＋C60(－1)n＋C12n＋C12n－1＋…＋C120. 当n为奇数时，C60(－1)n＋C120＝0，故5n＋13n能被3整除，余数为0. 当n为偶数时，C60(－1)n＋C120＝2，故5n＋13n被3除余数为2. 答案：0或2 9．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答) 解析：由已知条件可得第1块地有C种种植方法，则第2～4块地共有A种种植方法，由分步乘法计数原理可得，不同的种植方案有CA＝120种． 答案：120 三、解答题 10．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血共有9人，AB型血共有3人． (1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ (2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法． (1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法． (2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以由分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法． 11．已知二项式n展开式中各项系数之和比二项式系数之和大240. (1)求n； (2)求展开式中含x项的系数； (3)求展开式中所有含x的有理项． 解：(1)由已知得，4n－2n＝240,2n＝16，n＝4. (2)二项展开式的通项为 C(5x)4－rr＝C54－r(－1)rx4－r， 令4－r＝1⇒r＝2， 所以含x项的系数为C52(－1)2＝150. (3)由(2)得，4－r∈Z(r＝0,1,2,3,4)，即r＝0,2,4. 所以展开式中所有含x的有理项为： 第1项625x4，第3项150x，第5项x－2. 12．已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7. (1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数； (2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 解：(1)根据题意得，C＋C＝7，即m＋n＝7，① f(x)中的x2的系数为 C＋C＝＋＝. 将①变形为n＝7－m代入上式得，x2的系数为 m2－7m＋21＝2＋， 故当m＝3或m＝4时，x2的系数最小． 当m＝3，n＝4时，x3的系数为C＋C＝5； 当m＝4，n＝3时，x3的系数为C＋C＝5. (2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3 ≈C＋C×0.003＋C＋C×0.003≈2.02. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $