6.3.2 二项式系数的性质(讲义）-2025--2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学人教A版选择性必修第三册 第六章 计数原理 6.3 二项式定理 6.3.2 二项式系数的性质 (一)教材梳理填空 二项式系数的性质 (二)基本知能小试 1．已知(a＋b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　) A．11　　　　　　　　 B．10 C．9 D．8 2.7的展开式中二项式系数最大的项是第________项． 题型一　求二项展开式中系数或二项式系数的最大项 [探究发现] 在二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Cbn中： (1)与C相等的二项式系数是展开式中的第几项？ (2)当n＝10时，展开式中的二项式系数最大的是哪一项？若n＝11呢？ [学透用活] [典例1]　(1)(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为(　　) A．第5项　　　　　 B．第6项或第7项 C．第6项 D．第7项 (2)10的展开式中，系数最大的项为(　　) A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 [对点练清] 1.2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为(　　) A．120 B．252 C．210 D．45 2．(1－x)13的展开式中系数最小的项为(　　) A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 3．在(x－)5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 题型二　求二项展开式的系数和 [学透用活] [典例2]　设(1－2x)2 026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 026·x2 026(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 026的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 025的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 026|的值． [对点练清] 1．[变设问]在本例条件不变的情况下，求下列各式的值． (1)a2＋a4＋a6＋…＋a2 026； (2)a1＋2a2＋3a3＋…＋2 026a2 026. 题型三　二项式系数性质的应用 [学透用活] [典例3]　已知n. (1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数； (2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． [对点练清] 已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值． 二、应用性——强调学以致用 2．若一个集合含有100个元素，你能计算出这个集合共有多少个子集吗？ 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________． 第1行　　　　　1　　1 第2行　　　　1　　0　　1 第3行　　　1　　1　　1　　1 第4行　　1　　0　　0　　0　　1 第5行　1　　1　　0　　0　　1　　1 [课下过关检测]　 1.11的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第8项 C．第5,6项 D．第6,7项 2．在n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为(　　) A．32 B．－32 C．0 D．1 3．若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 4．若(1－2x)2 020＝a0＋a1x＋…＋a2 020x2 020(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－1 5．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) A．212 B．211 C．210 D．29 6．(2024·上海高考)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为________． 7．(2024·全国甲卷)10的展开式中，各项系数中的最大值为________． 8．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________． 9．(1＋3x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 10．在(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和． 1．已知n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为(　　) A．5 B．10 C．20 D．40 2．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　) A. B. C. D. 3．若C＝C(n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________. 4．已知n的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小120，求第一个展开式中的第3项． 5．已知n展开式的二项式系数之和为256. (1)求n； (2)若展开式中常数项为，求m的值； (3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版选择性必修第三册 第六章 计数原理 6.3 二项式定理 6.3.2 二项式系数的性质 (一)教材梳理填空 二项式系数的性质 [微提醒]　求二项式系数的最大、最小值时，一定要搞清楚n是奇数还是偶数． [微思考]　系数最大的项一定是二项式系数最大的项吗？ 提示：系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致． (二)基本知能小试 1．已知(a＋b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　) A．11　　　　　　　　 B．10 C．9 D．8 解析：选D　第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8. 2.7的展开式中二项式系数最大的项是第________项． 解析：由n＝7为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第4项和第5项的二项式系数相等，且最大． 答案：4或5 题型一　求二项展开式中系数或二项式系数的最大项 [探究发现] 在二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Cbn中： (1)与C相等的二项式系数是展开式中的第几项？ 提示：与二项式系数C相等的二项式系数为C，应为展开式的第n－k＋1项． (2)当n＝10时，展开式中的二项式系数最大的是哪一项？若n＝11呢？ 提示：当n＝10时，中间的一项C为最大值．当n＝11时，中间的两项C与C相等，且同时为最大值． [学透用活] [典例1]　(1)(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为(　　) A．第5项　　　　　 B．第6项或第7项 C．第6项 D．第7项 (2)10的展开式中，系数最大的项为(　　) A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 [解析]　(1)T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C×25＝C×26⇒n＝8. 所以(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为第5项．故选A. (2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等． 由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝Cx5·5＝－C中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小． 而T5＝Cx64＝Cx2， T7＝Cx46＝Cx－2，且C＝C. 所以系数最大的项为第5项和第7项．故选D. [答案]　(1)A　(2)D [方法技巧] (1)根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r项、第r＋2项)的系数均不大于第r＋1项的系数，由此列不等式组可确定r的范围，再依据r∈N*来确定r的值，即可求出最大项． [对点练清] 1.2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为(　　) A．120 B．252 C．210 D．45 解析：选C　由题意，C＝C，易知n＝5， 由Tr＋1＝C()10－rr＝Cx， 令30－5r＝0，得r＝6，故其常数项为C＝210. 2．(1－x)13的展开式中系数最小的项为(　　) A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 解析：选C　展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选C. 3．在(x－)5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：选B　5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r·r＝(－a)rCx5－2r，令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C＝10. 题型二　求二项展开式的系数和 [学透用活] [典例2]　设(1－2x)2 026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 026·x2 026(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 026的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 025的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 026|的值． [解]　(1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 026＝(－1)2 026＝1.① (2)令x＝－1，得 a0－a1＋a2－…－a2 025＋a2 026＝32 026.② ①－②得 2(a1＋a3＋…＋a2 025)＝1－32 026， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝. (3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r， ∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 026| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 025＋a2 026＝32 026. [方法技巧] 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.　 [对点练清] 1．[变设问]在本例条件不变的情况下，求下列各式的值． (1)a2＋a4＋a6＋…＋a2 026； (2)a1＋2a2＋3a3＋…＋2 026a2 026. 解：(1)由 得2(a0＋a2＋…＋a2 026)＝32 026＋1， ∴a0＋a2＋…＋a2 026＝.又令x＝0得a0＝1， ∴a2＋a4＋a6＋…＋a2 026＝. (2)∵(1－2x)2 026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 026x2 026(x∈R)，∴两边分别求导得－4 052(1－2x)2 025＝a1＋2a2x＋…＋2 026a2 026x2 025(x∈R)， 令x＝1得，4 052＝a1＋2a2＋…＋2 026a2 026. 2．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求： (1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2. 解：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4， 令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， 所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1. (2)由(1)得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， ① 令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. ② 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2 ＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4) ＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625. 题型三　二项式系数性质的应用 [学透用活] [典例3]　已知n. (1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数； (2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． [解]　(1)由题意，得C＋C＝2C， ∴n2－21n＋98＝0，∴n＝7或n＝14. ①当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C×4×23＝，T5的系数为C×3×24＝70. 故展开式中二项式系数最大项的系数分别为，70. ②当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8， ∴T8的系数为C×7×27＝3 432. 故展开式中二项式系数最大项的系数为3 432. (2)由题意知C＋C＋C＝79， 解得n＝12或n＝－13(舍去)． 设展开式中第r＋1项的系数最大， 由于12＝12·(1＋4x)12， 则解得9.4≤r≤10.4. 又r∈{0,1,2，…，12}，∴r＝10， ∴系数最大的项为T11，且T11＝12·C·(4x)10＝16 896x10. [方法技巧] (1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决． (2)若展开式的系数为f(r)＝C·mg(r)的形式，如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用解出r，即得系数最大项． (3)若展开式的项数较少或转化为讨论较小项的系数的类型，可采用逐个作差(作商)比较确定． [对点练清] 已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解：令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n， 由题意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0.∴(2n＋31)(2n－32)＝0. ∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5. (1)由于n＝5为奇数， ∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝C()3(3x2)2＝90x6， T4＝C()2(3x2)3＝270x. (2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C3r·(x)5＋2r. 假设Tr＋1项系数最大，则有 ∴ ∴∴≤r≤， ∵r∈N，∴r＝4. ∴展开式中系数最大的项为T5＝C34x＝405x. [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值． 解：(a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCa5－kxk. 令k＝2，得a2＝(－1)2Ca3＝80， 解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5. 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. 二、应用性——强调学以致用 2．若一个集合含有100个元素，你能计算出这个集合共有多少个子集吗？ 解：分类计算：当不含元素，即为空集时，含有一个元素时，含有2个元素时，……，一直到含有100个元素时，利用组合知识可得到子集的个数共有： C＋C＋C＋C＋…＋C个子集， 由二项式系数的性质可得： C＋C＋C＋…＋C＝2100个． 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________． 第1行　　　　　1　　1 第2行　　　　1　　0　　1 第3行　　　1　　1　　1　　1 第4行　　1　　0　　0　　0　　1 第5行　1　　1　　0　　0　　1　　1 解析：观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第（2n－1）行；因为n＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共32个1，第61行共32个1. 答案：2n－1　32 [课下过关检测]　 1.11的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第8项 C．第5,6项 D．第6,7项 解析：选D　由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大． 2．在n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为(　　) A．32 B．－32 C．0 D．1 解析：选D　由题意得2n＝32，得n＝5.令x＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1. 3．若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 解析：选B　依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2(a4＋a2＋a0)，所以a0＋a2＋a4＝41，故选B. 4．若(1－2x)2 020＝a0＋a1x＋…＋a2 020x2 020(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－1 解析：选D　(1－2x)2 020＝a0＋a1x＋…＋a2 020x2 020，令x＝，则2 020＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1. 5．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) A．212 B．211 C．210 D．29 解析：选D　因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29. 6．(2024·上海高考)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为________． 解析：由题意得2n＝32，所以n＝5，则(x＋1)5的通项Tr＋1＝Cx5－r1r，令5－r＝2，得r＝3，所以展开式中x2的系数为C＝10. 答案：10 7．(2024·全国甲卷)10的展开式中，各项系数中的最大值为________． 解析：由题知，展开式通项为Tr＋1＝C10－rxr,0≤r≤10且r∈Z，设展开式中第r＋1项系数最大，则解得即≤r≤.又r∈Z，故r＝8. 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C2＝5. 答案：5 8．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________． 解析：展开式中含x3的项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121. 答案：－121 9．(1＋3x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 解：T6＝C(3x)5，T7＝C(3x)6， 依题意有C·35＝C·36⇒n＝7， ∴(1＋3x)7的展开式中，二项式系数最大的项为 T4＝C·(3x)3＝945x3， T5＝C·(3x)4＝2 835x4. 设第r＋1项系数最大，则有 ⇒5≤r≤6. ∵r∈{0,1,2，…，7}， ∴r＝5或r＝6. ∴系数最大的项为T6＝5 103x5，T7＝5 103x6. 10．在(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和． 解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29. (2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝1，y＝1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59， 将两式相加除以2可得：a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝， 即为所有奇数项系数之和． (4)法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| ＝a0－a1＋a2－…－a9＝59. 法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9展开式中各项系数和，令x＝1，y＝1得：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59. 1．已知n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为(　　) A．5 B．10 C．20 D．40 解析：选B　因为n的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5.所以5的二项展开式的第r＋1项Tr＋1＝C(x2)5－rr＝Cx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，故二项展开式中x4的系数为C＝10. 2．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　) A. B. C. D. 解析：选A　a＝C＝70，设b＝C2r， 则得5≤r≤6， 所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝. 3．若C＝C(n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________. 解析：由C＝C可知n＝4，令x＝－1， 可得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81. 答案：81 4．已知n的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小120，求第一个展开式中的第3项． 解：因为n的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n－1，而(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n－1，所以有2n－1＝22n－1－120，解得n＝4，故第一个展开式中第3项为T3＝C()22＝6. 5．已知n展开式的二项式系数之和为256. (1)求n； (2)若展开式中常数项为，求m的值； (3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况． 解：(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8. (2)设常数项为第r＋1项， 则Tr＋1＝Cx8－rr＝Cmrx8－2r. 令8－2r＝0，得r＝4，则Cm4＝， 解得m＝±. (3)易知m>0，设第r＋1项系数最大． 则 化简可得≤r≤. 由于只有第6项和第7项系数最大， 所以即 所以m只能等于2. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $