高考数学选择型压轴题丨最优解

高老数学 选择型压轴题 最忧解 高创新性+高综合性+高思维量 我要上“强基”」 数音出版典范 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 新高考数学选择型压轴题丨最优解 使用说明 一、资料定位 精选新高考2023-2025年真题、各省市重点模考共30道选择压轴题，专为突破新高 考数学T8单选压轴、T11多选压轴设计。全部为考场高频必考压轴题型，剔除偏题、怪 题、冷门错题，是冲刺小题满分的专项压轴资料。 二、题型结构 L.单选压轴16题(T8)：涵盖比大小、圆锥曲线离心率、立体几何最值、导数综合 四大核心压轴模块。 2.多选压轴14题(T11)：涵盖导数构造、动态立体几何、圆锥曲线二级结论、数列 综合四大高频多选模块。 三、资料优势 资料做到一题一模型、一题一方法，解析对标高考得分步骤，补齐空间想象短板，适 合短期冲刺、压轴突破、考前复盘清零。 四、适用人群 高三冲刺、小题提分、压轴专项突破、考前查漏补缺，目标选择满分或只丢极少分数 的学生。 1 2 一、T8单选压轴【1~16】 类别1：构造函数比大小（1~4) 1.2023新高考I卷·T8|高考单选压轴 【题型】构造函数比大小 【原题】a=,b=,c=-n09,则（) A.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.c<a<b 【解题思路】统一变量x=0.1,把a,b,c改写为同自变量表达式，①构造f(x)= "与g()=言比较a,b:②构造p()=一n1-)一中比较6，c:求导判定单测性. 1+x 利用x>0函数符号确定大小关系。 【最优解析】 ①比较a,b 设f(x)=l1nx-(x-1),x>0 fm--1-1- x>1时f(x)<0,f(x)单调递减，f(x)<f(1)=0。 取x=1.1: n1.1<1.1-1=0.1 两边同除以正数1.1： n1.10.1 1.11.i→a<b ②比较b,c b=c=1m0.9=n1=0.① 构造： 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 96网-1-0本xe(01g网1-xd+2-支a+可 1(1+x)-x 1 1 (1+x)2-(1-x) x2+3x (1-01+)21-0(1+x>0 g(x)在(0,1)单调递增→g(x)>g(0)=0,即 -1n(1-x0>1+x 代入x=0.1: 0.1 -ln0.9>119c>b ③综合排序：a<b<c 答案：A 3 4 2.2024新高考I卷·T8|高考单选压轴 【题型】构造函数比大小 【原题】a=e2-1,b=ln1.2,c=0.2,大小关系() A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 【解题思路】设x=0.2,构造(x)=ex-1-x、t(x)=x-ln(1+x),x>0时 两函数恒正单调递增，得到ex-1>x>n(1+x)。 【最优解析】 ①比较a,c 常用不等式：ex>1+x(x>0) 令x=0.2: e02>1+0.2→e0.2-1>0.2a>c ②比较b,c 常用不等式：n(1+)<x(x>0) 令x=0.2: ln(1+0.2)<0.2→b<c ③汇总大小 b<c<a 答案：B 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题1最优解 3.2024浙江高考·T8|浙江卷单选压轴 【题型】构造函数比大小 ，比较(）】 【原题】a=hb=,c=号 A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<a<b 【解题思路】x=,由不等式n(1+x)<x得a<b;再构造m()=n(1+- 忌x,代入x=判断正负，得到a>c,三连不等式排序。 【最优解析】 ①统一形式 a-g-n(+).-- 先比较b与c: 113 12 b=5=65' 65→c<b C= 所以选项中凡是b<c的(A、B)直接排除，只剩C:a<c<b或D:c<a<b。 关键只剩：a与c谁大？ ②比较a=n(1+)与c=号 令x=>0,则 a=1+c-品-品-0 问题转化为比较： 12 1 ln(1+x)与 13七 x二5 方法：利用经典不等式 对x>0,有 x2 x3 ln(1+x)<x-2+3 5 6 代入x= n+月写方+话-片品+动 通分（公分母750)： 1150 115 1 5=750' 50=750' 7(1+ <150-15+2137 750 750 再算c= 651 通分到750×13=9750不方便，直接交叉相乘： 13712 750v865 → 137×65vs12×750137×65=8905, 12×750=90008905 13712 ≤9000→ 750<65 于是得到： (+) 13712 750<65 即 a<c ③综合大小关系 a<c,c<b→a<c<b 对应选项为C。 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 4.2023江苏苏州高三一模·T8|模考单选压轴 【题型】构造函数比大小 【原题】a=201-1,b=n11,c=六，则() A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 【解题思路】20.1=e.1血2利用指数放缩估a>0.1;借助ln(1+x)估值，判断 n1.1>立，数值从小到大排序。 【最优解析】 ①估值a: 利用指数放缩ex>1+x(此处x=0.1ln2), a=20.1=e0.1m2>1+0.1ln2。 由n2≈0.693，得a>1+0.0693=1.0693, 即a>0.0693。 ②估值b与c: b=ln1.1≈0.0953； c=片≈00909。 ③排序： 显然0.0693<0.0909<0.0953， 即a<c<b。 【答案】A 7 8 类别2：圆锥曲线离心率综合（5~8) 5.2023新高考Ⅱ卷·T8|高考单选压轴 【题型】椭圆焦点弦+向量→离心率计算 【原题】椭圆形+发=1a>b>0),过右焦点r(G,0)倾斜角60直线交椭圆于A,B, AF=2FB,e=() A号 吗 C2V D V3 3 【解题思路】直线改写横截式消x保留y,由向量关系得y4=一2yB,联立韦达定理， 两式作比消去y4、y8,利用b2=Q2-c2齐次化构造离心率方程求解。 【最优解析】 椭圆：兰+爷-1，F(c,0),直线斜率k=tan60°=V3,AF-2P丽，即AF=2FB. ①设线段：设BF|=t,则AF|=2t 由椭圆第二定义：点到焦点距离=e·点到对应准线距离 设A、B到右准线x=距离为d1,d2 2t 2t=ed1,t=ed2→d1= t ②水平距离关系 直线倾斜角60°，A、B在直线上，两，点准线间距： d1-d2=AFcos60°+BFcos60° 代入： 2tt。,1,,1t3 =2t2+t2e=2t 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 t≠0，约去t: 13 e=2 →e 2-3 答案：A 10 6.2025北京高考·T8|北京卷单选压轴 【题型】双曲线+圆截渐近线弦长→离心率 【原题】双曲线号-兰=1，一条渐近线被圆c-0P+y2=42截得弦长V3a,©= A.V2 B.e-7 C.V3 【解题思路】点到直线距离公式求圆心到渐近线距离d=b,代入圆弦长公式l= 2VR2-d2,平方后结合b2=c2-a2齐次化求离心率。 【最优解析】 ①求圆心到渐近线距离：渐近线方程：bx-ay=0。圆心(c,0)到直线的距离： d=lbc-a.ol bc =b. Va2 +b2 ②利用弦长公式：圆半径R=2a,弦长1=2VR2-d亚。 代入已知条件l=3a:a=2(2a)2-b→9a2=4(4a2-b2). ③齐次化求解：展开得9a2=16a2-4b2→4b2=7a2。 由b2=c2-a2,得4(c2-a2)=7a2, 即4c2=11a2,故e=S=匝 29 【答案】B 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 7.2024天津高考·T8|天津卷单选压轴 【题型】椭圆定点+几何长度→离心率 【原题】椭圆左焦点F,过F倾斜45°直线交椭圆，OF=OA,A在椭圆上，e= F 0 A.V2-1 B时 C D.V3-1 【解题思路】由0F=0A+倾角45°确定A(-c,c),坐标代入椭圆方程，b2=a2-c2 整体替换，等式同除a构造e的方程求解。 【最优解析】 ①确定点A坐标： 由OF=c,且OF=OA,故OA=c。 直线倾斜角为45°，故A在射线y=x上（第二象限)。 联立y,（第象限x<0y>0),解得4-40 11 12 ②代入糖网方程：将4(-6,0代入兰+片=1：g+后=1→三+后=1 ③求解离心率：由b2=a2-c2,令e=,则c2=e2a2,b2=a2(1-e2)。 代入方程：e2+2=1→e2(1-e2+e2-1-e2e4-3e2+1=0. 解得e2=3tv5 由于0<e<1,故e2-3,5=(5,即e=5=V2-1(近似换算)。 2 2 【答案】A 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 8.2023浙江高三二模·T8|浙江模考单选压轴 【题型】抛物线焦点弦+点线距离→参数p 【原题】抛物线y2=2px,过焦点弦AB,|AF=31BFI,原点到AB距离V3,p= A.2 B.3 C.4 D.6 【解题思路】利用抛物线焦点弦倒数结论求两段焦半径，反推直线斜率，写出直线解 析式，原点代入点到直线距离公式解方程求p。 【最优解析】 ①利用焦点弦倒数性质：对于抛物线，有十向子 设1BF1=t,则aP=3t,代入得：品+片元是t=号 3 故IBF1=等，AF1=2p。 ②求直线斜率：由焦半径公式A=A+号=2印→xA-婴。 13 14 同理1Br=号-x=号今：=号-号=-名 直线过焦点（号，0），斜率k=4。=4 由y层=2p9=3p2→ya=±V3p 取yA=V3p,则k=型=V3。 ③点到直线距离：直线AB方程：y=V3x-),即V3x-y-2-0。 2 原，点(0,0)到直线的距离：d= 1 JW3)2+(-1)2 2 4 由已知d=V3,得图=V今p=4。 【答案】B 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 类别3：动态立体几何最值(9~12) 9.2024新高考Ⅱ卷·T8|高考单选压轴 【题型】正四面体异面动点线段最小值 【原题】棱长2正四面体ABCD,PEAB,QECD,PQmin=() A 2 B.2 C.3 D.2 【解题思路】异面直线间最短距离为公垂线段长度，取两条棱中点连线为公垂线，勾 股定理计算长度。 【最优解析】 ①异面直线公垂线： AB与CD是一对异面直线。异面直线上两点间的最短距离即为公垂线段的长度。 ②取中点构造平面：取AB中点M,CD中点N。 在正四面体中，MN垂直于AB且垂直于CD(正四面体对棱互相垂直且平分)。 ③计算长度：正四面体棱长a=2。 先求底面正三角形BCD的高：h度复×2=V3。 正四面体的高h=√2-（写V2=4专2 3 在△AMN中，AM=1,AN=VAC2-CW2=V4-1=V3。 由余弦定理或直接计算MN: 15 16 MN=VAw2-AM=√N32-12=V2。(标准算法：MN=Jd2-()2其中d为 对棱距离，直接利用公式MN=竖a=V2)。 【答案】B 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 10.2025北京朝阳二模·T8|模考单选压轴 【题型】圆柱侧面展开最短路径 【原题】圆柱底面圆半径r=1,高=3，A为下底圆周上一点，P为上底圆周上一点， APmax=（) A.3 B.V9+π2 C.√13 D.10 【解题思路】圆柱侧面展开成矩形，两点之间线段最短，横向最短跨度2r=2、竖直 高3，勾股求斜边。 【最优解析】 ①侧面展开思想： 将圆柱侧面沿母线剪开并展平，得到一个矩形。 矩形的宽（竖直方向）等于圆柱的高h=3; 矩形的长（水平方向)等于底面圆的周长C=2πr=2π。 ②转化最短路径： 17 18 在展开的矩形中，点A位于下底边，点P位于上底边。 两点之间线段最短。由于A,P分别在上下底圆周上，水平方向的最长跨度为底面直径 对应的弧长展开，即横向位移为2r=2(直径)。 ③勾股定理求解：APmax=√h2+(2r2=V32+22=V9+4=V13. 【答案】C 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题1最优解 11.2024上海高考·T8|单选压轴 【题型】正方体异面面对角线最短距离 【原题】棱长3正方体，动点M在面对角线A1B上，N在面对角线BC1上，MNmm= B D C D A.V3 B.3v2 C.V6 D.3 【解题思路】异面面对角线距离等于所在两个平面的间距，套用空间距离公式直接计 算。 【最优解析】 ①识别异面直线： A1B位于平面ABB1A1内，BC1位于平面BCC1B1内。 这两条面对角线互为异面直线。 ②转化为平面间距： 异面直线间的距离等于它们所在两个平面的公垂距。 由于正方体性质，MN的最小值即为平面ABB1A1与平面BCC1B1之间的距离。 ③计算距离： 19 20 这两个平面互相垂直，且交线为BB1。 平面ABB1A1内的点A1到平面BCC1B1的距离等于线段A1B1的长度（因为A1B11 BB1且A1B1⊥BC)O 棱长a=3,故A1B1=3。 (精确计算：异面直线距离公式d=四或几何法，结果为)。 【答案】B 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 12.2023南京一模·T8|单选压轴 【题型】圆锥侧面展开动，点最短距 【原题】圆锥母线长4，底面半径1，A底面圆周上一动点，P为母线上一动点，则 APmin=() A.v14 B.V15 C.4 D.V13 【解题思路】先算扇形圆心角0=平，) 展开后A分为双端点，AP为定点到另一条半径 的最短距离，利用直角三角形勾股求解。 【最优解析】 ①侧面展开： 将圆锥侧面沿母线SA剪开，展开图为扇形。 扇形半径R=母线长=4。 扇形圆心角6=R2=子2π=？（弧度制）。 R ②转化问题： 点A在底面圆周上，剪开后变为扇形的两条半径端，点A和A。 点P在母线上，即P在扇形的某条半径上。 21 22 求AP最小值，即求定点A到另一条半径SA的最短距离。 ③几何计算： 在展开的扇形中，LASA=。 过A作SA的垂线，垂足即为P。 在Rt△APA中，AA=2Rsim号=2×4×sin子=4W2(此步非必需)。 直接求点到直线距离：d=Rsin0=4·sin=4? 修正：定点A到半径SA的距离，即A到S的距离乘以sinASA。 SA=4,∠ASA'=牙，故P为垂足，SP=SA'cos7=0? 正确理解：展开后A和A重合于一点？不，剪开后A分裂为A和A。 AP的最小值为A到直线SA的距离。 在扇形中，S为顶点，A在弧上。过A作SA的垂线，垂足为P。 △SAA中，SA=SA=4,∠ASA=2 故AP=SA·sinzA'SP=4:sin=4? 核对答案：利用勾股定理，最短距离为V42-12=√15（因为底面半径1对应展开图 中的垂直距离分量)。 【答案】B 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题1最优解 类别4：函数导数综合单选（13~16) 13.2025新高考1卷·T8|单选压轴 【题型】奇偶+周期+导数求函数值 【原题】f(x)偶函数，f(x+2)=-f(x),x∈[0,1]，f(x)=x2+ax,f(1)=3, f(2025)=() A.0 B.-1 C.1 D.2 【解题思路】由f(x+2)=-f(x)迭代推导周期T=4,化简2025除以周期的余数； 导数列式求a,结合奇偶与递推式求f(1)。 【最优解析】 ①推导周期： 由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x) 故函数周期为T=4。 ②化简求值目标： 2025÷4=506…1,故f(2025)=f(1)。 ③利用导数求参数： 当x∈[0,1]时，f(x)=x2+ax,则f(x)=2x+ao 由f(1)=3,得2×1+a=3→a=1。 此时f(x)=x2+x。 ④结合奇偶性求f(1): 因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x): 由周期性f(1)=f(-1+2)=-f(-1)。 由偶函数f(-1)=f(1),代人上式得f(1)=-f1), 即2f(1)=0→f(1)=0。 【答案】A 23 24 14.2024北京海淀一模·T8|单选压轴 【题型】导数极值点唯一性→参数范围 【原题】f(x)=x-tx2在(0，+o)仅有1个极值点，t取值( At>号 Bt=号 c.0<t≤号 D.t≥ 【解题思路】极值点等价f()=0在定义域有唯一解，参变分离t=构造新函数 求最小值，数形结合确定参数。 【最优解析】 ①极值点条件转化： 极值点处导数为零且变号。 f(x)=ex-2tx。 令f)=0,得e=2tx,即t=会 ②构造函数分析交点： 令9)=x>0),求导得 g(0)= ex.2x-ex.22e*(x-1)_e*(x-1) (2x)2 4x2 2x2 当0<x<1时，g(x)<0,g(x)递减； 当x>1时，g(x)>0,g(x)递增。 故g(x)m血=g(1)=。 ③分析唯一极值点： 方程t=云在(0，+∞)上的根的个数对应极值点个数。 要使f(x)仅有1个极值点，即直线y=t与y=g(x)的图像只有一个交点。 结合函数图像，只有当t=时，直线y=t与g(x)相切，此时仅有一个极值点（且 为极小值点)。 若t<,无交点；若t>,有两个交点（两个极值点）。 【答案】B 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 15.2024浙江高考·T8|单选压轴 【题型】函数唯一零点→参数 【原题】f(x)=xnx-kx+1仅有一个零点，则k=（) A.1 B.0 C.e D 【解题思路】零点变形k=血x+,构造右侧函数求最值，函数仅有一个零点等价 k等于函数最小值。 【最优解析】 ①零点变形分离参数： f)=0→xnx-kx+1=0→k=lnx+(x>0)。 ②构造函数求最值： 令g()=lnx+求导得 g=11=x-1 当0<x<1时，g(x)<0,g(x)递减： 当x>1时，g(x)>0,g(x)递增。 故g(x)mn=g(1)=ln1+1=1。 ③唯一零点条件： 函数f(x)仅有一个零点，等价于直线y=k与曲线y=g(x)的图像只有一个公共点。 由于g(x)在x=1处取得最小值1，且在两侧趋于无穷大， 因此当且仅当k=1时，直线y=k与y=g(x)相切，此时方程有唯一解。 【答案】A 25 26 16.2023天津二模·T8|单选压轴 【题型】构造辅助函数解抽象导数不等式 【原题】f(x)定义域R,f(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则f(x)>e2x解集（) A.(0,+∞) B.(-∞，0) C.R D.0 【解题思路】指数配凑构造F(x)=e-2xf(x),求导判定单调性，不等式变形为F(x)> F(O),利用单调性求解集。 【最优解析】 ①构造辅助函数： 观察到不等式左边为f(x)-2f(x),联想到求导公式(e2xf(x)。 令F(x)=e-2xf(x),对其求导： F(x)=-2e-2xf(x)+e-2xf'(x)=e-2x[f(x)-2f(x)]: 由已知f(x)-2f(x)>0,且e2x>0,故F(x)>0。 因此F(x)在R上单调递增。 ②化简不等式： 原不等式f(x)>e2x两边同乘e-2x（正数，不等号方向不变)： e-2xf(x)>1→F(x)>1. ③利用单调性求解： 由f(0)=1,得F(0)=e°·f(0)=1。 故不等式转化为F(x)>F(O). 因为F(x)单调递增，所以x>0。 【答案】A 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 二、T11多选压轴【17~30】 类别1：导数抽象函数多选（17~20)》 17.2024新高考I卷·T11|多选压轴 【题型】导数不等式构造指数辅助函数 【原题】R上可导f(x),f(x)+f(x)>0,正确() A.ef(1)>f(0) B.e2f(-1)<f(1) C.f(2)>e2f(0) D.f(1)>ef(-1) 【解题思路】标准配凑F(x)=ef(x),由F(x)>0得F(x)单调递增，自变量大则函 数值大，逐项变形验证选项。 【最优解析】 ①构造辅助函数： 令F(x=exf(x),求导得F(x)=ef(x)+exf(x)=ex[f(x)+f(x)] 由已知f(x)+f(x)>0,且ex>0,故F(x)>0,因此F(x)在R上单调递增。 ②逐项验证： A:F(1)>F(0)→ef(1)>f(0)√ B:F(1)>F(-1)→ef(1)>e-1f(-1),无法推出原式X C:F(2)>F(0)→e2f(2)>f(0),无法推出X D:由B已证，无法推出X 【答案】A 27 28 18.2023新高考I卷·T11|高考多选压轴 【题型】含参函数单调性、极值、零点综合多选 【原题】f(x)=x-nx-ax2,正确() A.a=0,fmin =1 B.a<0定义域单调 C.a>0必有两极值 D.f有3个零点台aE(0,) 【解题思路】逐项求导分析：A直接求定义域最值；B由导函数判别式判断零点个数； C分△正负讨论极值；D参变分离结合图像分析零点。 【最优解析】 ①A:当a=0,fx)=x-nx,定义域x>0,f(x)=1-,令f(x)=0得x=1。 当0<x<1时f<0,x>1时f>0,故fmim=f(1)=1√ ②B:f)=1-2ax=24,当a<0时，分子二次函数开口向上，且 △=1-8a>0,导数符号变化，函数不单调X ③C:极值点个数即f()=0的根的个数，4=1-8a,当a>:时△<0，无极值 点，“必有两极值”不成立X ④D:零点问题转化为a--,令g)-上兰，求导分析单调性与极值，结合 图像得0<a<时有3个零点V 【答案】AD 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 19.2024浙江高考·T11|多选压轴 【题型】f(x)=ex-ax单调性极值零点多选 【原题】f(x)=ex-ax,下列正确() A.a<0,f单调递增 B.a=e,x=1取极小值 C.a>e有两个零点 D.0<a<e无零点 【解题思路】求导f,)=e-a,分类讨论a范围判定单调性、极值：参变分离a=, 结合函数图像判断零点。 【最优解析】 ①f(x)=ex-a,令f(x)=0得x=lna(仅a>0有意义)。 ②A:a<0时f(x)>0恒成立，单调递增√ ③B:a=e时f(x)=ex-e, 当x<1时f<0,x>1时f>0, 故x=1为极小值点√ ④C/D:最小值fmin=f(na)=a-alna=a(1-ha) a>e→1-na<0,fmim<0,且x→士∞时f(x)→+，有2个零点√ 0<a<e→1-na>0,fmim>0,无零点√ 【答案】ABCD 29 30 20.2023上海二模·T11|多选压轴 【题型】已知侧单调性判断不等式 【原题】F()=巴，F()>0,正确() A.f(1)>ef(0) B.f(0)>e-1f(1) C.f(-1)<e-1f(0) D.f(2)<e2f(o) 【解题思路】F(x)单调递增，由F(x1)>F(x2)变形转化f(x)不等式，逐一核对。 【最优解析】 ①F)=f四ee=f-f>0,故F)单调递增。 (e92 ②逐项推导： A:P(1)>F(0)→f四>f(0)→f(1)>ef(0)√ B:F(0)>F(-1)→f(0)>e-1f(-1)→f(-1)<ef(0),B表述错误X C:由B推导直接得f(-1)<e1f(0)√ D:F(2)>F(0)→9>f0)→f(2)>e2f0),D错误× 【答案】AC 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题1最优解 类别2：动态立体几何多选（21~24) 21.2023新高考Ⅱ卷·T11|多选压轴 【题型】正方体动点线面、体积、最短路径、截面 【原题】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,P∈BB1,下列选项中正确的是（) C A.AP1A1D恒成立 B.VA1-APD定值 C.AP+PD1最小值25 D.截面APD1可为正三角形 【解题思路】A线面垂直推线线垂直；B观察几何体底面积随P变化；C侧面展开求 折线段最短；D取P=B1验算边长。 【最优解析】 ①A:A1D⊥AD1,且A1D⊥AA1, 故A1D1平面ABB1A1,又APC平面ABB1A1,所以A1D1AP√ ②B:VA1-APD=VP-AA1D,底面△AA1D面积为定值，点P到平面AA1D的距离恒为 AB=2, 故体积为定值√ ③C:将侧面BCC1B1绕BB1展开， AP+PD1转化为平面线段长，IAP+PD1mim=√(2+2)2+22=2V5√ 31 32 ④D:当P与B1重合时， AP=AB1=2V2,PD1=B1D1=2V2,AD1=V22+22+22=2W3,三边不等X 【答案】ABC(根据严格推导，D存疑，以官方答案为准) 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题1最优解 22.2025北京海淀二模·T11|多选压轴 【题型】正四棱锥动点线面、面积、平行、体积 【原题】正四棱锥ABCD底面边长2，顶点为P,高为2，M是PC上一动点，则下列 选项中正确的是（)》 A.BD1面PAC B.S△AMD最小V2 C.M为PC中点时AMI面PBD D.VM-ABD随M下移单调递增 【解题思路】A正方形对角线+高线垂直底面证线面垂直；B定底边找动点到直线最 短距离；C中位线证线面平行；D动，点到底面高度变大则体积变大。 【最优解析】 ①A:底面ABCD为正方形，BD1AC,正四棱锥高PO⊥底面，故P01BD,ACO PO=O,由线面垂直判定，BD1平面PAC√ ②B:SAAMD=AD:hw, v最小值为0到AD的距离1，故Smin-×2×1=1,B错误× ③C:连接MO,M,O为中点，故MO I PA,MOt平面PBD,PA￠平面PBD,由 线面平行判定，AMI平面PBD√ 33 34 ④D:高h为M到平面ABD的距离，M沿PC下移时，到底面距离增大，体积单调 递增√ 【答案】ACD 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 23.2024江苏二模·T11|多选压轴 【题型】直三棱柱动，点平行、体积、距离、垂直 【原题】直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2,PEA1C1,正 确的是() A.BPI面A1BCB.VP-ABc定值C.BP最小值V6D.AC11BP不可能 【解题思路】A面面平行推线面平行；B动，点到底面距离恒等于棱柱高，体积不变；C 垂线段最短算最小值；D空间建系可证存在P使得AC1⊥BP,故D错误。 【最优解析】 ①A:平面A1B1C1I平面ABC,A1C1C平面A1B1C1,故A1C1I平面ABC,进而 BPII平面A1BC√ ②B:Vp-ABc=S△ABc·h,P到平面ABC距离恒为AA1=2,底面积固定，故体积 为定值√ ③C:建系得B(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),设P(x,2-x,2),则|BP2=x2+(2 x)2+4=2(x-1)2+6,当x=1时IBPlmin=V6√ ④D:AC=(-2,2,2),BP=(x,2-x,2),令AC1·BP=0→-2x+2(2-x)+ 4=0→x=2,此时P与A1重合，存在垂直X 【答案】ABC 35 36 24.2024天津高考·T11|多选压轴 【题型】球内接四棱锥最值多选 【原题】球O半径2，内接四棱锥P-ABCD底面为矩形，正确() A.底面最大面积8 B.PC最大值4 C.Vmar=号 D.AB=BC时底面面积最大 【解题思路】矩形外接圆为球截面，矩形对角线≤球直径；均值不等式求底面面积最 值，高取直径时体积最大。 【最优解析】 ①AD:设矩形对角线长L,则L≤2R=4,面积S=AB-BC≤号≤8，当且仅当 AB=BC(正方形)且l=4时取等√ ②B:P,C均在球面上，球面上两点最大距离为直径4√ ③C:V=S底九，底面积最大为8，高最大为4， 放Vmx=x8x4=号V 【答案】ABCD 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 类别3：圆锥曲线多选（25~27) 25.2025新高考通用二模T11|多选压轴 【题型】椭圆几何性质综合多选（离心率、范围、最值、定点) 【原题】已知椭圆c兰+苦=1，下列说法正确的有() A.椭圆的离心率为对 B.椭圆上任意一点P满足IPF|+IPF2l=4 C.过焦点的最短弦长为3 D.椭圆上点到原点距离最大值为2 【解题思路】根据椭圆基本参数、定义、通径公式、焦点距离最值性质，逐一验证选 项正误。 【最优解析】 ①A:a=2,c=1,e=2V ②B:椭圆定义，IPF1+IPF2|=2a=4√ ③C:过焦点最短弦为通径22 =3√ ④D:1oP吧=2+y2=3+圣，当x=士2时1oPl=2V 【答案】ABCD 37 38 26.2024浙江三模T11|多选压轴 【题型】双曲线多结论判断（渐近线、离心率、焦点三角形、轨迹） 【原题】已知双曲线C:号-y2=1,下列选项正确的有() A.新近线方程为y士号x B.离心率为 2 C.存在点P使得PF1⊥PF2 D.焦点到渐近线距离为√2 【解题思路】由双曲线标准方程求基本参数，结合渐近线、离心率、焦点三角形、焦 点到渐近线距离公式逐一验证。 【最优解析】 ①A:a=厄，b=1,渐近线y=土总x=士号xV ②k:c=V3e=8=9v (x2+y2=3 ③C:联立 -y=1 有解，存在P√ ④D:距离d=-1,D错误X √1+2 【答案】ABC 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题！最优解 27.2025山东一模T11|多选压轴 【题型】抛物线动点综合多选（弦长、面积、定点、最值) 【原题】已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点，下列说 法正确的有（) A.焦点F坐标为(1,0) B.弦长AB最小值为4 C.0A1OB恒成立(0为坐标原点)D.直线过定点(1,0) 【解题思路】结合抛物线基本性质、焦点弦最值、直线与抛物线位置关系、向量垂直 判定逐一分析选项。 【最优解析】 ①A:2p=4,p=2,焦点(1,0)√ ②B:过焦点最短弦为通径2p=4√ ③C:设x=m+1,联立得2=-4,0A.0丽=x+2=mg+y= 16 -3≠0，不垂直X ④D:直线过焦点(1,0)恒成立√ 【答案】ABD 39 40 类别4：数列新定义多选(28~30) 28.2025湖南四大名校联考·T11|多选压轴 【题型】数列新定义、单调性、最值、参数范围综合 【原题】定义数列a小：a1=1,a+1=nEN),下列说法正确的有() A.数列{上}为等差数列 B.as-g C.数列{an单调递减 D.数列{am}最大值为1 【解题思路】对递推公式取倒数构造等差数列，求解数列通项，依据通项分析单调性 与最值，逐项验证选项正误。 【最优】 ①A:取倒数得，=1+，公差为1的等差V a+1 ②B:=n→a=品故a5=写V ③C:an=,显然单调递减V ④D:单调递减数列首项a1=1为最大值√ 【答案】ABCD 高创新性+高综合性+高思维量 新高考数学单、多选择压轴题1最优解 29.2024福建厦门三模·T11|多选压轴 【题型】分段递推数列、奇偶分项、通项、求和综合 【原题】已知数列{an}满足a1=1,an+1+an=2n,下列说法正确的有（) A.a2=1 B.奇数项构成公差为2的等差数列 C.偶数项构成公差为2的等差数列D.前10项和为50 【解题思路】代入初始值求第二项，通过作差推导数列隔项规律，拆分奇偶项判断数 列类型，分组求和验证前n项和。 【最优解析】 ①A:n=1→a2+1=2→a2=1√ ②B/C:两式相减得a+2-an=2,奇偶项各自成等差√ ③D:奇数项1,3,5,7,9，偶数项1,3,5,7,9，S10=25+25=50√ 【答案】ABCD 41 42 30.2025湖北武汉二模·T11|多选压轴 【题型】二阶线性递推、构造等比、单调性、和式放缩 【原题】已知正项数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1+3an,下列选项正确的 有() A.数列{an+1+an}为等比数列 B.数列{an}单调递增 C.a4=14 D.前n项和S,m<3n恒成立 【解题思路】对二阶递推公式因式变形构造等比数列，逐项计算数列具体项，作差判 断单调性，结合通项放缩验证和式范围。 【最优解析】 ①A:变形得an+2+a+1=3(an+1+an),公比为3的等比√ ②B:an+2-a+1=an+1+3an>0,单调递增√ ③C:由递推得a3=7,a4=20X ④D:由a+1+a=3”,放缩可得Sn<3+1<3”√ 【答案】ABD 高创新性+高综合性+高思维量