6.4.2 向量在物理中的应用举例同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.2 向量在物理中的应用举例 【基础巩固】 1．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 2．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（ ）（重力加速度取） A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N 【答案】D 【解析】设每根绳子上的拉力大小为，则根据平衡条件可得，,解得． 所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N． 故选：D. 3．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直，由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故. 故选：D. 4．某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使船的航行距离最短，只需，合速度垂直于两岸，如图所示， 所以，其中，所以． 故选：C． 5．（多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（ ）参考数据： A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 【答案】AB 【解析】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为，， 当为钝角时， 当为锐角时， 当为直角时， 则当为钝角时，， 当为锐角时，， 所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确； 对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误； 对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短， 由下图可知，设，则， 此时，船的航行时间，故D错误； 故选：AB 6．一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为_______． 【答案】 【解析】由题意可得，，可得， 力对物体做的功． 故答案为：. 7．长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度 的大小为，如图，设和所成的角为，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则等于________. 【答案】 【解析】设船的实际速度为， 因为与所成的角为，北岸的点B在A的正北方向， 所以游船正好到达B处，则， 所以 故答案为： 8．设河宽，水流的速度，船在静水中的速度，则船必须朝哪个方向开，才能保证： (1)所走的路程最短？ (2)所用的时间最短？ 【答案】见解析 【解析】(1)根据题意，船在静水中的速度为，水流的速度为，设船的实际速度为，则. 如图1，在直角三角形中，，所以.此时，船的实际速度的方向与河岸垂直，路程最短. 所以，船朝着与水流方向成角的方向开，才能保证所走的路程最短. (2)如图2，当船头方向与河岸垂直时，行驶时间为为最短. 所以，船朝着与河岸垂直的方向开，才能保证所用的时间最短. 【能力拓展】 9．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】C 【解析】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误. 设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得. 已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误. 由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得. 将，代入，可得，C选项正确. 河宽米千米，合速度，可得. 将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误. 故选：C. 10．某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ） A．2m/s B．m/s C．4m/s D．m/s 【答案】B 【解析】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 则，设， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为m/s.故选：B. 11．如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为________ J. 【答案】 【解析】因为绳索长1.5 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m，斜面坡度为， 所以作用力与斜面之间所成的角度θ满足， 所以， 记沿斜面向上方向的单位向量为， 则位移，，故答案为：. 【素养提升】 12．一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】见解析 【解析】(1)设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. (2)由(1)知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.2 向量在物理中的应用举例 【基础巩固】 1．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（ ） A． B． C． D． 2．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（ ）（重力加速度取） A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N 3．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ） A． B． C． D． 4．某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（ ） A． B． C． D． 5．（多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（ ）参考数据： A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 6．一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为______. 7．长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度 的大小为，如图，设和所成的角为，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则等于________. 8．设河宽，水流的速度，船在静水中的速度， 则船必须朝哪个方向开，才能保证： (1)所走的路程最短？ (2)所用的时间最短？ 【能力拓展】 9．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 10．某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ） A．2m/s B．m/s C．4m/s D．m/s 11．如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为________ J. 12．一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $