10.1二元一次方程＆10.2二元一次方程组同步培优讲义（知识点+6大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

10.1二元一次方程＆10.2二元一次方程组同步培优讲义 （知识点+6大题型+过关检测） 【题型1 二元一次方程的定义】 2 【题型2 根据二元一次方程求参数】 3 【题型3 二元一次方程的解】 5 【题型4 判断是否是二元一次方程组】 6 【题型5 判断是否是二元一次方程组的解】 8 【题型6 已知二元一次方程组的解求参数】 10 1. 理解二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的核心特征，能准确判断一个方程是否为二元一次方程，纠正定义理解中的常见误区。 2. 掌握二元一次方程的解的概念，知道二元一次方程有无数个解，能检验一组数是否为方程的解，会求方程的简单整数解。 3. 理解二元一次方程组的定义，明确方程组的构成要求，能准确判断一组方程是否为二元一次方程组。 03 知识•梳理 （一）10.1 二元一次方程 1. 二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 三大核心判定条件（缺一不可）： · 整式方程：分母不含未知数，根号下不含未知数； · 两个未知数：方程中只能出现2个不同的未知数（常用x、y表示）； · 未知项次数为1：每个含未知数的项的次数都是1（未知数本身次数为1，无平方、乘积项）。 2. 二元一次方程的一般形式 （，，a、b、c为常数） 3. 二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解。 书写格式：（m、n为常数） 关键提醒：二元一次方程有无数组解，解是成对出现的，不能单独说x=2是方程的解。 （二）10.2 二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义 把含有两个相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 判定要点： · 方程组中总共含有两个未知数（单个方程可以是一元，但整体只能有2个未知数）； · 每个方程都是整式方程； · 未知项的最高次数为1。 2. 二元一次方程组的解 二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 关键提醒：方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程，缺一不可。 （三）常见易错点汇总 · 忽略“整式方程”：分母含未知数的方程不是二元一次方程； · 混淆“未知数个数”：出现3个及以上未知数，或只有1个未知数，都不属于二元范畴； · 误解“次数”：未知数乘积项（如xy）次数为2，含平方、立方的项次数不为1，均不符合； · 参数问题漏考虑：求参数时忽略系数不为0的限制条件； · 方程组解的理解：只满足一个方程的解，不是方程组的解。 04 题型•汇总 【题型1 二元一次方程的定义】 解题方法 1.先判断是否为整式方程（分母、根号无未知数）； 2.数未知数个数，必须是2个； 3.检查所有含未知数的项，次数均为1，无xy、x²、y³等高次项。 【典例1】．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个不同的未知数；②每个含有未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(分母不含未知数)． 【详解】解：A：方程中，含未知数的项是，其次数为2，不满足“含未知数的项的次数都是1”的条件，不是二元一次方程； B：方程含有两个未知数和，含未知数的项、的次数均为1，且方程是整式方程，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； C：方程中，含未知数的项是，其次数为，不满足次数为1的条件，不是二元一次方程； D：方程的分母中含有未知数，属于分式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程． 跟随训练1-1．方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， 解得，，即或， 又∵， ∴， ∴． 跟随训练1-2．下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项中的次数为2，是二元二次方程，不符合题意； C选项含有两个未知数、，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合题意； D选项中是分式，不是整式方程，不符合题意； 故选C． 【题型2 根据二元一次方程求参数】 解题方法 1.根据定义列不等式：未知数系数≠0； 2.根据定义列方程：未知项次数=1； 3.联立求解参数，最后检验参数是否满足限制条件。 【典例2】．若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 【答案】1 【分析】二元一次方程需含有两个未知数、含未知数的项的次数为1、未知数的系数不为0的条件，列不等式与方程求解即可． 【详解】解：因为方程是关于，的二元一次方程，根据二元一次方程的定义可得：， 由，解得或， 由，解得， 综上，的值为1． 跟随训练2-1．若是二元一次方程，则________，________． 【答案】 1 1 【分析】本题考查二元一次方程的定义，核心是明确二元一次方程需满足：含有两个未知数，且每个含未知数的项的次数均为1．先根据的项的次数为1列出关于的方程，求解得到的值；再将的值代入的项的次数为1的方程中，求解得到的值． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，即，解得； 且，即，解得； 故答案为：，． 跟随训练2-2．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，要求未知数的系数不能为零，因此需满足． 【详解】解：∵方程是关于,的二元一次方程， ∴的系数， ∴， 故选A． 【题型3 二元一次方程的解】 解题方法 检验解：将x、y的值代入方程左右两边，若左边=右边，就是方程的解，否则不是； 求方程的解：给定一个x值，代入方程求出对应y值，即为一组解；给定y值同理。 【典例3】．是关于、的方程的一个解，的值是（   ）． A．7 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程解的定义，将方程的解代入原方程，转化为关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得． 故选：B． 跟随训练3-1．若是二元一次方程的解，则满足条件的一组m、n的值可以是___________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．将给定的解代入二元一次方程，得到关于 m 和 n 的方程，再选取一组满足该方程的值，即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， 当时，， 即满足条件的一组 m、n 的值可以是，． 故答案为：，（答案不唯一） 跟随训练3-2．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的知识，根据二元一次方程解的定义，将各选项中未知数的值代入方程，验证等式是否成立即可求解，即可获得答案． 【详解】解：A.将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； B. 将代入， 左边，右边，左边=右边， ∴是该方程的解，本选项符合题意； C. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； D. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意． 故选：B． 【题型4 判断是否是二元一次方程组】 解题方法 1.整体看：方程组中只有两个未知数； 2.单个看：每个方程都是整式方程； 3.次数看：所有未知项的次数都是1。 【典例4】．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 跟随训练4-1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 二元一次方程组需满足两个条件：含有两个未知数，且每个方程均为一次整式方程，据此求解即可． 【详解】解：选项A：第二个方程含，次数为2，不是二元一次方程组； 选项B：第二个方程，次数为2，不是二元一次方程组； 选项C：两个方程均为一次方程，是二元一次方程组． 选项D：第二个方程含，不是整式方程，不是二元一次方程组； 故选：C． 跟随训练4-2．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 【题型5 判断是否是二元一次方程组的解】 解题方法 1.将这组x、y的值依次代入方程组的每一个方程； 2.若能使所有方程都成立（左边=右边），就是方程组的解； 3.只要有一个方程不成立，就不是方程组的解。 【典例5】．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】解：通过表1发现与表2中相同， 所以方程组的解是 故选：C． 跟随训练5-1．下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程，因此只需验证第二个方程的值是否匹配． 【详解】解：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程， 将代入各选项的第二个方程： ∵对于选项A：，不满足； 对于选项B：，不满足； 对于选项C：，满足； 对于选项D：，不满足． ∴只有选项C以为解． 故选：C． 跟随训练5-2．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 【题型6 已知二元一次方程组的解求参数】 解题方法 1.将方程组的解代入原方程组，得到关于参数的新方程（组）； 2.解这个含参数的方程（组），求出参数值； 3.回代检验，确保参数符合定义要求。 【典例6】．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，即方程组的解满足组内所有方程，先通过已知方程求出a的值得到完整的解，再将解代入各选项验证即可． 【详解】∵将代入， ∴，解得，即方程组的解为， A. 将代入，左边，不符合题意； B. 将代入，左边，不符合题意； C. 将代入，左边，不符合题意； D. 将代入，左边右边，符合题意． 故选：D． 跟随训练6-1．已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程组的解；将代入方程组得，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 整理，得， ，得． 故的值为1． 跟随训练6-2．已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键． 将代入得到，然后求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴ ∴得，． 故选：A． 05 过关•检测 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【详解】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的分析含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 2．把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出． 【详解】解：∵， ∴两边同乘3去分母，得， ∴移项，得， ∴合并同类项，得， ∴系数化为1，得，即． 故选：C． 3．已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将已知解代入方程得到关系式，再代入所求表达式，即可作答． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 则， 故选：B． 4．已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：． 5．已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将方程的解代入二元一次方程，得到关于、的关系式，再将该关系式整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：∵二元一次方程的一个解是， ∴将代入方程， 得，即， ∴． 6．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组”是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组即可． 【详解】解：二元一次方程组需满足：①有两个未知数；②每个方程都是整式方程且未知数的次数为. A、方程组含两个未知数和，且方程和均为一次方程，符合题意． B、方程中，为二次项，不符合一次方程条件，不符合题意； C．该方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程中，为分式，不符合一次方程条件，不符合题意； 故选：A． 7．下列表格中，表1中每对x，y的值都是方程的解，表2中每对x，y的值都是方程的解，所以方程组的解为（    ）． 表1 x 0 1 2 y 1 表2 x 0 1 16 y 1 11 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程组的解，掌握好方程的解的意义是关键． 通过对比表1和表2，找出一对同时满足两个方程的解，即该对解在表1和表2中均出现． 【详解】解： 表1中，当时，，满足方程； 表2中，当时，，满足方程； ∴方程组解为． 故选：C． 8．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解．将代入方程，即可求得被遮盖的的数值；将方程组的解代入，即可求得该处被遮盖的数值． 【详解】解：将代入方程，得 ． 解得：． 所以，方程组的解为． 将代入，得 ． 所以，被遮盖的前后两个数分别为5、1． 故选：C． 9．下列说法中，正确的是（　　） A．是二元一次方程组 B．方程的解只有 C．方程的解必是方程组的解 D．由方程组可得出与之间关系是 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的相关概念，等式的性质；根据二元一次方程组的概念及解对各选项进行判断． 【详解】A、是二元二次方程组，故A选项错误． B、二元一次方程的解有无数个，故此项错误． C、方程组的解必是方程的解，故此项错误． D、， 得：，即，故此项正确． 故选：D． 10．若二元一次方程，的部分解分别为表1、表2： 表1： 5 2 4 18 表2： 2 6 4 则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解需同时满足两个方程，即寻找两个方程解集的公共解，找到两个方程的公共解是是解此题的关键．根据方程组的概念进行求解即可得． 【详解】解：由表格数据可得两个方程的公共解是， 则方程组的解为， 故选：A． 11．试写一个二元一次方程，使它的解是这个方程可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，掌握将已知解代入方程的一般形式，通过赋值构造方程是解题的关键． 根据二元一次方程的解，构造一个以，为解的方程即可． 【详解】解：设二元一次方程为，其中，，为常数，且和不为． 将，代入，得． 取，，则，因此方程可为． 经验证，当，时，成立． 故答案为：（答案不唯一） 12．若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义；关键是将解代入方程求参数；将给定的解代入方程，通过求解一元一次方程得到的值. 【详解】解：将解代入方程， 得， 即， 解得， 故答案为：． 13．关于未知数x，y的一个二元一次方程组的解为则这个方程组可以是______（只要求填一个）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，注意对概念灵活应用是解决本题的关键．根据二元一次方程组的解可得到一个二元一次方程组． 【详解】解：关于未知数x，y的一个二元一次方程组的解为， 该方程组可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 14．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查求含参数的二元一次方程组中的参数． 由条件，代入原方程组，得到，消去，即可求解． 【详解】解：将代入方程组，得，即， ∴， 解得，． 故答案为：1． 15．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，平方差公式，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出，由进而得出答案． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 方程组中， ∴． 故答案为：． 16．若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键．先把新方程组变形为：，再根据关于x，y的方程组的解是，由此可得：，进而得出答案． 【详解】解：把新方程组变形为：， 关于x，y的方程组的解是， ， 解得： 故答案为： 17．已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 【答案】(1)； (2)； (3)千克 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，核心是利用“总价=单价×数量”的数量关系建立方程，并通过代入已知值求解未知量． （1）根据苹果和香蕉的各自总价之和等于总花费，直接列出二元一次方程； （2）将已知的值代入（1）中的方程，通过一元一次方程的求解步骤算出的值； （3）将已知的值代入（1）中的方程，解一元一次方程得到的值，即为购买香蕉的重量． 【详解】（1）解：∵苹果的单价为4元/，购买苹果的总价为元， 香蕉的单价为6元/，购买香蕉的总价为元，总花费为元， ∴可列二元一次方程为； （2）解：将代入方程中，得， 解得； （3）解：将代入方程中，得， 解得， 答：购买香蕉千克． 18．若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的变形，方程的解的概念，掌握将方程变形为指定形式，利用方程的解求参数是解题的关键． （1）将方程变形为的形式，通过系数化得到和的值，从而确定相伴系数对； （2）根据相伴系数对写出方程形式，再将已知解代入方程，解出的值，最后代入得到具体的二元一次方程． 【详解】（1）解：∵方程可变形为 ∴其“相伴系数对”为 （2）方程的“相伴系数对”为， 该方程为． 是该方程的一个解， ， 解得， 这个二元一次方程是． 19．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 【答案】 【分析】小刚看错了系数，但他的解仍然满足不含的方程①；小华没看错任何系数，他的解同时满足方程①和②．因此，我们可以将这两组解分别代入对应的方程，得到一个关于、、的三元一次方程组，解出、、的值后，再计算的平方根． 【详解】解：把代入①，得．③ 把代入①，得．④ ④③，得， 解得． 把代入③，得． 把代入②，得， 解得， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和三元一次方程组的解法，解题关键是理解“看错系数”的含义，即看错的系数不影响未看错的方程，从而将两组解代入正确的方程，建立新的方程组求解． 20．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 21．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用． （1）根据进行求解即可； （2）设，则关于s，t的方程组的解为，可得，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：设， ∴关于m，n的方程组即为关于s、t的方程组， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于s，t的方程组的解为， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1二元一次方程＆10.2二元一次方程组同步培优讲义 （知识点+6大题型+过关检测） 【题型1 二元一次方程的定义】 2 【题型2 根据二元一次方程求参数】 3 【题型3 二元一次方程的解】 3 【题型4 判断是否是二元一次方程组】 3 【题型5 判断是否是二元一次方程组的解】 4 【题型6 已知二元一次方程组的解求参数】 5 1. 理解二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的核心特征，能准确判断一个方程是否为二元一次方程，纠正定义理解中的常见误区。 2. 掌握二元一次方程的解的概念，知道二元一次方程有无数个解，能检验一组数是否为方程的解，会求方程的简单整数解。 3. 理解二元一次方程组的定义，明确方程组的构成要求，能准确判断一组方程是否为二元一次方程组。 03 知识•梳理 （一）10.1 二元一次方程 1. 二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 三大核心判定条件（缺一不可）： · 整式方程：分母不含未知数，根号下不含未知数； · 两个未知数：方程中只能出现2个不同的未知数（常用x、y表示）； · 未知项次数为1：每个含未知数的项的次数都是1（未知数本身次数为1，无平方、乘积项）。 2. 二元一次方程的一般形式 （，，a、b、c为常数） 3. 二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解。 书写格式：（m、n为常数） 关键提醒：二元一次方程有无数组解，解是成对出现的，不能单独说x=2是方程的解。 （二）10.2 二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义 把含有两个相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 判定要点： · 方程组中总共含有两个未知数（单个方程可以是一元，但整体只能有2个未知数）； · 每个方程都是整式方程； · 未知项的最高次数为1。 2. 二元一次方程组的解 二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 关键提醒：方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程，缺一不可。 （三）常见易错点汇总 · 忽略“整式方程”：分母含未知数的方程不是二元一次方程； · 混淆“未知数个数”：出现3个及以上未知数，或只有1个未知数，都不属于二元范畴； · 误解“次数”：未知数乘积项（如xy）次数为2，含平方、立方的项次数不为1，均不符合； · 参数问题漏考虑：求参数时忽略系数不为0的限制条件； · 方程组解的理解：只满足一个方程的解，不是方程组的解。 04 题型•汇总 【题型1 二元一次方程的定义】 解题方法 1.先判断是否为整式方程（分母、根号无未知数）； 2.数未知数个数，必须是2个； 3.检查所有含未知数的项，次数均为1，无xy、x²、y³等高次项。 【典例1】．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 跟随训练1-2．下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【题型2 根据二元一次方程求参数】 解题方法 1.根据定义列不等式：未知数系数≠0； 2.根据定义列方程：未知项次数=1； 3.联立求解参数，最后检验参数是否满足限制条件。 【典例2】．若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 跟随训练2-1．若是二元一次方程，则________，________． 跟随训练2-2．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【题型3 二元一次方程的解】 解题方法 检验解：将x、y的值代入方程左右两边，若左边=右边，就是方程的解，否则不是； 求方程的解：给定一个x值，代入方程求出对应y值，即为一组解；给定y值同理。 【典例3】．是关于、的方程的一个解，的值是（   ）． A．7 B．3 C． D． 跟随训练3-1．若是二元一次方程的解，则满足条件的一组m、n的值可以是___________． 跟随训练3-2．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【题型4 判断是否是二元一次方程组】 解题方法 1.整体看：方程组中只有两个未知数； 2.单个看：每个方程都是整式方程； 3.次数看：所有未知项的次数都是1。 【典例4】．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型5 判断是否是二元一次方程组的解】 解题方法 1.将这组x、y的值依次代入方程组的每一个方程； 2.若能使所有方程都成立（左边=右边），就是方程组的解； 3.只要有一个方程不成立，就不是方程组的解。 【典例5】．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 跟随训练5-1．下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练5-2．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【题型6 已知二元一次方程组的解求参数】 解题方法 1.将方程组的解代入原方程组，得到关于参数的新方程（组）； 2.解这个含参数的方程（组），求出参数值； 3.回代检验，确保参数符合定义要求。 【典例6】．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．已知是二元一次方程组的解，求的值． 跟随训练6-2．已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 05 过关•检测 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 4．已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 6．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 7．下列表格中，表1中每对x，y的值都是方程的解，表2中每对x，y的值都是方程的解，所以方程组的解为（    ）． 表1 x 0 1 2 y 1 表2 x 0 1 16 y 1 11 A． B． C． D． 8．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4 9．下列说法中，正确的是（　　） A．是二元一次方程组 B．方程的解只有 C．方程的解必是方程组的解 D．由方程组可得出与之间关系是 10．若二元一次方程，的部分解分别为表1、表2： 表1： 5 2 4 18 表2： 2 6 4 则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 11．试写一个二元一次方程，使它的解是这个方程可以是____________． 12．若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是_____． 13．关于未知数x，y的一个二元一次方程组的解为则这个方程组可以是______（只要求填一个）． 14．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 15．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 16．若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是______． 17．已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 18．若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 19．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 20．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 21．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $