专题02分式的运算同步讲义（知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题02分式的运算同步讲义 【题型01 分式乘法运算】.........................................3 【题型02 分式除法运算】.........................................5 【题型03 分式乘除混合运算】.....................................6 【题型04 分式乘方运算】.........................................8 【题型05 含乘方的乘除混合运算】................................10 【题型06 同分母分式加减】......................................12 【题型07 异分母分式加减】......................................14 【题型08 整式与分式加减】......................................16 【题型09 由分式恒等式确定分子或分母】..........................18 【题型10 分式加减混合运算】....................................21 【题型11 分式加减实际应用】....................................23 【题型12 分式四则混合运算】....................................26 【题型13 分式化简求值】........................................28 【 解答题6题】.................................................30 ★知识梳理★ 本节核心是掌握分式的乘、除、乘方、加、减运算法则及混合运算顺序，所有运算结果需化为最简分式或整式。 知识点01:分式的乘除（含乘方） 1. 乘法法则 法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 公式：：（b、d 均不为 0） 关键步骤：分子、分母是多项式时，先分解因式，再约分，最后相乘。 示例：==x−1 2. 除法法则 法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（即除以一个分式等于乘它的倒数）。 公式：​（b、c、d 均不为 0） 特殊情况：除式是整式时，将整式看成分母为 1 的分式运算。 示例：÷==​ 3. 乘方法则 法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方。 公式：()n=(（b0，n 为正整数） 示例：()3= 知识点02:分式的加减 1. 同分母分式加减 法则：分母不变，分子相加减。 公式：±（C0） 示例：；​ 2. 异分母分式加减 法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 公式：（b、d 均不为 0） 通分关键：找最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积）。 步骤：约分→通分→分子相加减→化简分子→化为最简。 示例：+=​ 知识点03:分式的混合运算 1. 运算顺序 (1)先乘方，再乘除，最后加减。 (2)有括号时，先算括号内（小→中→大）。 (3)同级运算，从左到右依次进行。 2. 运算技巧 乘除混合统一为乘法，便于约分。 灵活运用运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算。 每一步运算后及时约分，结果必为最简分式或整式。 知识点04:核心注意事项 1.运算时分母不为 0，先确定定义域。 2.分子、分母是多项式，先因式分解再运算。 3.结果必须是最简分式（分子、分母无公因式）或整式。 4.符号处理：负号在分子、分母、分式前可灵活移动，注意变号规则。 【题型1.分式乘法运算】1. 【典例】计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘法运算，掌握运算法则是解本题的关键，先把分子分解因式，再约分即可． 【详解】解：； 故答案为： 【跟踪专练1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式，约分，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先平方，后约分即可． 【详解】解： 故选：A． 【跟踪专练2】计算：_____． 【答案】 【分析】把被除式的分子分母分别因式分解，然后除变乘颠倒除式的分子分母进行约分，即可得到答案． 【详解】解： = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除法的运算法则，分解因式进行约分． 【跟踪专练3】已知有一组代数式满足（n为正整数）的数量关系，如：，我把满足这种数量关系的代数式称为“衍生式”，现有一组“衍生式”，其中，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】题目主要考查代数式的规律问题，乘法运算及加减运算，理解题意，找出规律是解题关键 通过计算前几项发现周期性，利用周期性简化计算即可 【详解】解：∵ ∴ 由此发现周期为6， ， ∴每6项乘积为1， ∴前24项为4个完整周期，乘积为， 第25项为， 故总乘积为， ∵余3， ∴， ∴， 故选：C 【题型2.分式除法运算】 【典例】化简：______． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的除法运算，把除法化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解：； 故答案为： 【跟踪专练1】若，则_________上的分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据被除式=商×除式求解即可． 【详解】解：∵， ∴________上的分式是：． 故选A． 【点睛】本题考查了分式的除法运算，两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，再按乘法法则计算即可． 【跟踪专练2】已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则． 【详解】解：依题意这个分式为： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】若运算的结果为整式，则“□”中的式子可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将分式除法化为乘法并化简，再根据“结果为整式”的条件，判断“□”中的式子必须是含有因式的整式，从而选出正确选项．需要注意因式的定义：把一个整式写成几个整式的积的形式，这几个相乘的整式就叫做这个整式的因式． 【详解】解：设“□”中的式子为， ， 原式， 原式， 运算结果为整式， 需要为含有因式的整式． 故选：． 【题型3.分式乘除混合运算】 【典例】化简的结果是（　　　） A．a B． C． D．a2 【答案】B 【分析】根据分式的乘除混合运算求解，遇到除法先化成乘法计算，即除以一个数等于乘以这个数的倒数．该题应先把除化成乘以，然后按照运算法则的顺序求解即可 ． 【详解】解：原式= 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式的乘除混合运算，属于基础题型，对于计算题型，应熟练掌握运算法则，正确把握运算顺序是解题的关键． 【跟踪专练1】已知（其中，），则表示的分式是__________． 【答案】 【分析】利用等式的性质表示，再根据分式的除法运算法则化简计算即可得到的表达式． 【详解】解：由， 根据等式的性质，得， ∴， 解得． 【跟踪专练2】下列各计算过程中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题的关键．分式乘除运算时，除法需转化为乘法并注意约分，根据分式的乘除运算依次计算判断即可． 【详解】解：对于A：，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：，故D正确； 故选：D． 【跟踪专练3】有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是_______（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则依次计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：①， 故①计算结果错误； ②， 故②计算结果错误； ③， 故③计算正确； ④， 故④计算结果错误． 故答案为：③． 【题型4.分式乘方运算】 【典例】的结果是___ 【答案】 【分析】将分式的乘方变成分子中整式的乘方和分母中整式的乘方，再根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的乘方的计算，计算过程中注意不要漏掉分母的符号． 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘方运算；将分式的分子、分母分别乘方，并注意负数的奇次幂为负． 【详解】解：， 故选：B． 【跟踪专练2】____． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘除，乘方，熟练掌握法则是解题的关键； 应用指数运算规则，先分别计算两个分式的乘方，再将除法转化为乘法运算，最后化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的乘方．熟练掌握分式乘方的法则，幂乘方法则，是解决问题的关键．分式乘方等于分子分母分别乘方，幂乘方底数不变，指数相乘． 运用分式乘方的法则和幂乘方的法则逐一判定，即得． 【详解】A、，∴A不正确； B、，∴B不正确； C、，∴C不正确； D、，∴D正确． 故选：D． 【题型5.含乘方的乘除混合运算】 【典例】计算：________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式乘方和分式乘法的运算法则是解题关键． 先算乘方，然后再算乘法． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的分式乘法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算分式乘方，再计算乘法和约分即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【跟踪专练2】计算：______． 【答案】 【分析】按照分式的乘方、乘除运算法则逐步化简，即可解答． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘方与乘除混合运算，熟练掌握分式乘方、除法变乘法、约分的法则是解题的关键． 【跟踪专练3】关于代数式的值，以下结论不正确的是（    ） A．当取互为相反数的值时，的值相等 B．当取互为倒数的值时，的值相等 C．当时，越大，的值就越大 D．当时，越大，的值就越大 【答案】D 【分析】根据相反数的性质，倒数的性质以及不等式的性质来解决代数式的值即可； 【详解】当a取互为相反数的值时，即取m和-m，则-m+m=0， 当a取m时，① ，当a取-m时，② ， ①=②，故A正确； B、当a取互为倒数的值时，即取m和 ，则 ， 当a取m时，①，当a取时，② ①=②，故B正确； C、可举例判断，由＞1得，取a=2，3（2＜3） 则＜ ， 故C正确； D、可举例判断，由得，取a=，（＞） ， 故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，不等式的性质和代数式求值的知识，正确理解题意是解题的关键． 【题型6.同分母分式加减】 【典例】化简的结果是________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的加减运算法则． 两个分式分母相同，直接合并分子后化简． 【详解】解： = = = 1其中， 故答案为：1． 【跟踪专练1】若，恒成立，若“”表示运算符号，则“”是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过代入运算符号测试，发现只有加法使等式恒成立． 本题考查了分式的四则运算，掌握同分母分式的加法法则是解题的关键． 【详解】∵ ，且 时分母不为零， ∴ 等式恒成立. 其他运算不满足恒成立条件． 故选：． 【跟踪专练2】已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 【答案】1，3，4 【分析】本题考查分式的加法运算，分式的求值，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，为正整数，， ∴能被2整除，且（此时） ∴ ∴或或； 故答案为：1，3，4． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的加减法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意； 故选：D． 【题型7.异分母分式加减】 【典例】化简的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了异分母的分式的减法运算，数量掌握知识点是解题的关键． 先通分，再进行分子加减，最后要化为最简分式． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．根据分式的加减法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：对于选项A：，故本选项错误，不符合题意； 对于选项B：，故本选项错误，不符合题意； 对于选项C：，故本选项错误，不符合题意； 对于选项D：，故本选项正确，符合题意． 故选：D 【跟踪专练2】已知，则的值为______． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了分式的求值． 由已知条件得到，然后代入所求分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练3】若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，涉及知识点：分式的通分、因式分解、分式的除法．解题方法是先对括号内的分式通分，化简后根据 “因数=积÷另一个因数”求W；解题关键是正确分解因式并通分，易错点是符号处理或因式分解错误．解题思路：对括号内的分式通分，化简后求其倒数得W． 【详解】解：∵原式为， 其中，且， ∴括号内可写为． 通分后：． 约去公因式（∵）：． ∴方程化为， 解得，且由分母不为零，需． ∴W等于，且． 故选C． 【题型8.整式与分式加减】 【典例】计算的结果是 ____________________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，通分是解答的关键．首先通分，然后进行分式的减法运算即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质、分式的加减运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的性质，分式的运算法则，熟练掌握分式的性质与运算法则是解题的关键． 【跟踪专练2】化简：_______________. 【答案】 【分析】利用分式的通分原则计算即可 【详解】解： = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练进行分式的通分是解题的关键． 【跟踪专练3】由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可． 【详解】解：， 当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，，故C选项正确，符合题意； 当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 【题型9.由分式恒等式确定分子或分母】 【典例】已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 【答案】B 【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键． 【跟踪专练1】为常数，如果，那么_____， 【答案】6 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值，即可求解代数式的值． 【详解】解：， ∴。 ∴， ， 解得 故， 故答案为：． 【跟踪专练2】如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【答案】A 【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵， ∴原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 【跟踪专练3】已知，其中，，，为常数，则______． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 【题型10.分式加减混合运算】 【典例】计算＝ _____． 【答案】1 【解析】略 【跟踪专练1】在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（    ） 甲同学： 乙同学： A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错 【答案】D 【解析】根据分式的运算法则求解． 【详解】解：∵ = =， ∴甲乙两人都做错了， 故选：D ． 【点睛】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 【跟踪专练2】计算：=． 【答案】 【详解】试题分析：原式＝ ＝． 故答案为． 【跟踪专练3】对分式（）进行如下操作：将与1相加，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与相加，结果记为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与2相加，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与相加，结果记为，称为第四次操作；将第四次操作的结果与3相加，结果记为，称为第五次操作；将第五次操作的结果与相加，结果记为，称为第六次操作，…，以此类推，下列三个说法：①第七次操作的结果；②；③第二十次操作的结果．其中正确的说法有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据题意找规律，再进行分式的运算求解． 【详解】解：①根据题意得：第七次操作的结果为，故①正确； ②根据题意得：， ∴，故②正确； 根据题意得：， ， ， ， …… 由此发现，，故③正确， ∴正确的说法有3个． 故选：D 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，根据题意找出数字的变化规律式解题的关键． 【题型11.分式加减实际应用】 【典例】学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读__________页． 【答案】 【分析】此题考查分式加减的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的关系．根据题意列出算式，根据分式的减法法则计算，得到答案． 【详解】平均每天比原计划要多读的页数新工作效率原工作效率． 解：按原计划每天读页，实际每天读页， 故每天比原计划多读的页数是：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键．先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可． 【详解】解：由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为， 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B． 【跟踪专练2】两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了______千米/小时．(结果化为最简形式) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用、列代数式等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据题意表示出提速前后火车的速度，然后作差并运算即可解答． 【详解】解：由题意可得： 提速前火车速度为：，提速前火车速度为：， 提速后火车比原来速度快了． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为和．则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．是的倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．先利用平均数的定义得到，，再计算和，从而可得到正确答案． 【详解】解：根据题意得，， ， ， ， ， 即，所以选项正确； ， ，所以选项错误． 故选：． 【题型12.分式四则混合运算】 【典例】化简的结果是____． 【答案】 【分析】先计算括号内的减法，再计算乘法即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的四则混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． 【跟踪专练1】已知则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字的变化规律与分式的混合运算．先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出，据此得出其循环规律，再进一步求解可得． 【详解】解： 由此得到序列每3项重复一次， ∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”） 【答案】 李明 【分析】本题考查了分式混合运算的应用，理解题意是解题的关键． 根据时间路程速度，求出张华从甲地到乙地所用的时间；再求出李明从甲地到乙地所用的时间，利用作差法比较两人所用时间的多少，用时较少的即可先到达乙地． 【详解】解：张华从甲地到乙地所用的时间为； 李明从甲地到乙地所用的时间为， ， ∵，，， ∴，即张华所用的时间大于李明所用的时间， ∴先到达乙地的是李明． 故答案为：；李明． 【跟踪专练3】小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的变形与求解，核心是通过逆向推导还原被撕去的表达式；解题的关键是利用等式性质，将已知部分变形为方程并求解未知项；设撕坏的部分为未知数（即 ■），根据图片信息列出方程，求解即可． 【详解】解：设撕坏的一角 ■，则原式可表示为： 故选A． 【题型13.分式化简求值】 【典例】已知，求值：=_______________ 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算化简求值，先对分子和分母因式分解，将除式的分子、分母交换位置将除法转化为乘法，然后约分、化简，再通分化简，把已知变形为整体代入计算即可．熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 【详解】解： ∵， ∴ ∴原式． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则（   ） A．或1 B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解法，分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，需分别解出分子为零的条件，再排除使分母为零的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴或， 又∵，即， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，分式的化简求值，整体代入是解题的关键，由已知条件可得，即，代入所求分式化简即可． 【详解】解：由，得，即， 所以， 则． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则以及运用整体代入的思想．由可得，再将分式化简后整体代入求解即可． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【解答题】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的混合运算． （1）先计算分式的乘方，再计算乘除法即可； （2）把分式的除法变为乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式= ； （2）解：原式= 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先进行括号内的分式加减运算，同时将分子分母进行因式分解，并将除法化为乘法，结果化为最简分式，代值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 3．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算除法，再计算加法即可； （2）先计算括号内的，再计算除法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分母不变，分子相减，计算即可； （2）先通分，再进行减法运算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 5．一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决． (1)用简便方法计算下题：； (2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出升水，第2次倒出升的，第3次倒出升的，第4次倒出升的……第n次倒出的水量是升的……，按照这种倒水的方法，这1升水可以倒完吗？为什么？ 【答案】(1) (2)倒不完，理由见解析 【分析】（1）裂项相消法进行计算即可； （2）根据题意，列出算式求出倒出去的水的和，利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：倒不完，理由如下： ； 故倒不完． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02分式的运算同步讲义 【题型01 分式乘法运算】.........................................3 【题型02 分式除法运算】.........................................3 【题型03 分式乘除混合运算】.....................................3 【题型04 分式乘方运算】.........................................4 【题型05 含乘方的乘除混合运算】.................................4 【题型06 同分母分式加减】.......................................5 【题型07 异分母分式加减】.......................................5 【题型08 整式与分式加减】.......................................6 【题型09 由分式恒等式确定分子或分母】...........................6 【题型10 分式加减混合运算】.....................................6 【题型11 分式加减实际应用】.....................................7 【题型12 分式四则混合运算】.....................................8 【题型13 分式化简求值】.........................................9 【 解答题6题】..................................................9 ★知识梳理★ 本节核心是掌握分式的乘、除、乘方、加、减运算法则及混合运算顺序，所有运算结果需化为最简分式或整式。 知识点01:分式的乘除（含乘方） 1. 乘法法则 法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 公式：：（b、d 均不为 0） 关键步骤：分子、分母是多项式时，先分解因式，再约分，最后相乘。 示例：==x−1 2. 除法法则 法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（即除以一个分式等于乘它的倒数）。 公式：​（b、c、d 均不为 0） 特殊情况：除式是整式时，将整式看成分母为 1 的分式运算。 示例：÷==​ 3. 乘方法则 法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方。 公式：()n=(（b0，n 为正整数） 示例：()3= 知识点02:分式的加减 1. 同分母分式加减 法则：分母不变，分子相加减。 公式：±（C0） 示例：；​ 2. 异分母分式加减 法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 公式：（b、d 均不为 0） 通分关键：找最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积）。 步骤：约分→通分→分子相加减→化简分子→化为最简。 示例：+=​ 知识点03:分式的混合运算 1. 运算顺序 (1)先乘方，再乘除，最后加减。 (2)有括号时，先算括号内（小→中→大）。 (3)同级运算，从左到右依次进行。 2. 运算技巧 乘除混合统一为乘法，便于约分。 灵活运用运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算。 每一步运算后及时约分，结果必为最简分式或整式。 知识点04:核心注意事项 1.运算时分母不为 0，先确定定义域。 2.分子、分母是多项式，先因式分解再运算。 3.结果必须是最简分式（分子、分母无公因式）或整式。 4.符号处理：负号在分子、分母、分式前可灵活移动，注意变号规则。 【题型1.分式乘法运算】1. 【典例】计算的结果为______． 【跟踪专练1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：_____． 【跟踪专练3】已知有一组代数式满足（n为正整数）的数量关系，如：，我把满足这种数量关系的代数式称为“衍生式”，现有一组“衍生式”，其中，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2.分式除法运算】 【典例】化简：______． 【跟踪专练1】若，则_________上的分式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为_______． 【跟踪专练3】若运算的结果为整式，则“□”中的式子可以是（    ） A． B． C． D． 【题型3.分式乘除混合运算】 【典例】化简的结果是（　　　） A．a B． C． D．a2 【跟踪专练1】已知（其中，），则表示的分式是__________． 【跟踪专练2】下列各计算过程中，正确的是（） A． B． C． D． 【跟踪专练3】有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是_______（填序号）． 【题型4.分式乘方运算】 【典例】的结果是___ 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】____． 【跟踪专练3】化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5.含乘方的乘除混合运算】 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】化简等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：______． 【跟踪专练3】关于代数式的值，以下结论不正确的是（    ） A．当取互为相反数的值时，的值相等 B．当取互为倒数的值时，的值相等 C．当时，越大，的值就越大 D．当时，越大，的值就越大 【题型6.同分母分式加减】 【典例】化简的结果是________． 【跟踪专练1】若，恒成立，若“”表示运算符号，则“”是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型7.异分母分式加减】 【典例】化简的结果是________． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则的值为______． 【跟踪专练3】若，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型8.整式与分式加减】 【典例】计算的结果是 ____________________． 【跟踪专练1】下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简：_______________. 【跟踪专练3】由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【题型9.由分式恒等式确定分子或分母】 【典例】已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 【跟踪专练1】为常数，如果，那么_____， 【跟踪专练2】如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【跟踪专练3】已知，其中，，，为常数，则______． 【题型10.分式加减混合运算】 【典例】计算＝ _____． 【跟踪专练1】在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（    ） 甲同学： 乙同学： A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错 【跟踪专练2】计算：=． 【跟踪专练3】对分式（）进行如下操作：将与1相加，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与相加，结果记为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与2相加，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与相加，结果记为，称为第四次操作；将第四次操作的结果与3相加，结果记为，称为第五次操作；将第五次操作的结果与相加，结果记为，称为第六次操作，…，以此类推，下列三个说法：①第七次操作的结果；②；③第二十次操作的结果．其中正确的说法有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型11.分式加减实际应用】 【典例】学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读__________页． 【跟踪专练1】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【跟踪专练2】两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了______千米/小时．(结果化为最简形式) 【跟踪专练3】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为和．则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．是的倍 【题型12.分式四则混合运算】 【典例】化简的结果是____． 【跟踪专练1】已知则等于（   ） A． B． C． D．1 【跟踪专练2】张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”） 【跟踪专练3】小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（   ） A． B． C． D． 【题型13.分式化简求值】 【典例】已知，求值：=_______________ 【跟踪专练1】若，则（   ） A．或1 B．0 C． D．1 【跟踪专练2】若，则_____． 【跟踪专练3】已知，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．计算： (1) (2) 2．先化简，再求值：，其中． 3．化简： (1) (2) 4．计算： (1)； (2)． 5．一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决． (1)用简便方法计算下题：； (2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出升水，第2次倒出升的，第3次倒出升的，第4次倒出升的……第n次倒出的水量是升的……，按照这种倒水的方法，这1升水可以倒完吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $