专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.米勒最大张角（视角）模型 6 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 12 19 1471年，德国数学家‌约阿希姆·米勒‌（又称雷吉奥蒙塔努斯 Regiomontanus）向他的老师—数学教授克里斯托夫·诺德尔（Christian Roder）提出一个看似简单却极富深意的问题：“在地球表面的什么位置观察一根垂直悬挂的杆子，才能使它看起来最长？” 换句话说，‌从哪个位置看这根杆子，视角最大？‌ 这个问题看似属于视觉感知，实则蕴含深刻的几何极值思想。它被后人称为“‌雷奇奥莫塔努斯极大值问题‌”（Regiomontanus' Maximum Problem），并被载入《100个著名初等数学问题—历史和解》一书中，成为‌世界数学史上第一个被正式记录的极值问题‌。 有趣的是，米勒当时提出这个问题，并非为了考试或竞赛，而是源于对‌美术欣赏角度‌的思考：如何站在最佳位置欣赏一幅高挂在墙上的画作，使视觉效果最优？这一灵感后来也广泛应用于壁画观赏、雕塑欣赏等场景。 “探照灯模型”这个生动的名字，并非出自教科书或学术论文，而是‌由一线教师和学生在解题实践中口口相传而来‌。探照灯模型的精妙之处，在于它巧妙融合了‌隐形圆思想与最值原理‌。虽然题干中从不提“圆”，但解法核心却是构造一个过动点的外接圆，利用圆的性质分析弦长变化。 （2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 【答案】（1）甲自己射门好，理由见解析；（2）C；（3）米 【详解】解：（1）甲自己射门好，理由如下： 如图，记与过两点的圆的交点为，连接，，， ，，甲自己射门好； （2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接， 由勾股定理得：， ∴，∴A，B，D，E四点共圆，∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C （3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N， ∵，∴米， ∵米，，∴米，米， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∴四边形，四边形，四边形为矩形， ∴米，米，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形， ∴米，∴米，米， ∵为圆O的切线，∴，∴为等腰直角三角形， 连接，设圆O的半径为r，则，∴， ∵，，∴， 解得：或（舍去），∴米， ∴米． （2025·广东广州·一模）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，作，垂足分别为点，，，， ，，，，， ，，，，，， 在中，， 设的半径为，则，，， ，，，外接圆半径的最小值为．故答案为：． 1）米勒最大张角（视角）模型 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 证明：如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 因为∠ACB＞∠ADB，所以∠ACB＞∠AC’D， 2）定角定高模型（探照灯模型） 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 模型1.米勒最大张角（视角）模型 例1（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点A时，同伴乙已经助攻冲到点B，此时甲有两种进攻方式：①直接射门；②将球传给乙，让乙射门．仅从射门角度的大小考虑，应选择第_____________种进攻方式比较好（填写序号）． 【答案】② 【详解】解：设与的交点为C，连接，则； 由圆周角定理知：；所以；因此选择第二种射门方式更好．故答案为：②． 例2（2025·四川绵阳·校考一模）如图，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点、作，点与轴相切于点时，最大， 连接、、，作轴于，如图， 点、的坐标分别是、，，， ，，，与轴相切于点，轴， 四边形为矩形，，， 在中，，点坐标为，．故选：B． 例3（2025·河南商丘·三模）如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，当最大时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：过点P作于点F，则，由旋转知，， ∴点P是在以点A为圆心，以长为半径的上运动， 当最大时，与相切，∴， ∵正方形中，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 解得，∴， 当点F在上时，，∴； 当点F在延长线上时，，∴． ∴的长为或．故答案为：或． 例4（25-26九年级上·陕西西安·期末）【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空：设点是上任意一个异于C的点， 是的外角，______（填“、或”）， 又______，．眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 【答案】米勒定理∶，；问题解决∶ 围栏放在距离墙壁米位置最合适 【详解】米勒定理 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于C的点， 是的外角，，（填“、或”）， 又，，， 眼睛位于点C处时，最大，故答案：，； 问题解决∶解：如图，过作交于， 四边形是矩形，，，， ，， ，，， 在中，，， 故围栏放在距离墙壁米位置最合适． 例5（24-25九年级上·江苏镇江·期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是． （1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出最大射门角的度数． 【理解应用】（1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点        B．点或点          C．线段（异于端点）上一点     D．线段（异于端点）上一点 （2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度． 【答案】[提出问题] 甲自己射门好，理由见解析；[经验感知]（1）作图见解析；（2）；[理解应用] （1）C；（2） 【详解】[提出问题]解：甲自己射门好，理由如下： 如图2，记与过两点的圆的交点为，连接， ∵，∴， ∵，∴，∴甲自己射门好； [经验感知]（1）如图4，即为所求； （2）如图4，连接，于，∵是的切点，∴， ∵，，∴四边形是矩形， ∵，∴， ∴，∴是等边三角形，， ∵，∴，∴最大射门角的度数为； [理解应用]（1）解：如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，，由勾股定理得，， ∴，∴四点共圆，如图5，∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C； （2）解：∵，，，∴， 如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角， ∴，，， ∵，∴，∴，， ∴，， 由题意知，，， ∴均为等腰直角三角形，∴，， 设的半径为，则，，∴， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴射门角（）最大，此时的长度为米． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 例1（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：当△OAB是等腰三角形（OA=OB）时，AB的长最小； 设三角形△OAB的高为h，其外接圆半径为r，根据定角定高（探照灯）模型易得：r+rcos∠AOB≥h， 当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin∠AOB； ∵O到直线l的距离是4，且cos∠AOB=，∴r≥，sin∠AOB=，∴BC≥4。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W． 在Rt△中，AB=，∴的值最小时，AB的值最小， ∵OA+OB=OA+≥，∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小， ∵直线l'垂直平分线段，∴TB=，∴∠ =∠， ∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB， ∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k， ∴AH==4k，∴AB=，   ∵，∴，解得k=， ∴AB的最小值，故选：D． 例2（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【答案】 【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r， 根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos≥h，即， 当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：， 此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：. 法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，      ∵垂直平分，∴， ∴周长 ∵在中，，∴，当点D与点M重合时，， ∴周长，∴周长的最小值， ∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，， ∴，∴周长的最小值，故答案为：． 例3（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    【答案】 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，    ，，，， 设的半径为，则，，， ，，解得：，， ，的面积的最小值为，故答案为：. 例4（2025·广东深圳·二模）【问题提出】（1）如图1，在边长为6的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】（3）如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中E、F分别在、边上（不与点B、C、D重合），且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）  （2）15  （3）存在一个面积最小的，其最小面积为 【详解】解：（1）如图1所示，过点A作于E， ∵是边长为6的等边三角形，∴，，∴， ∵，∴；故答案为：； （2）如图2所示，延长到G使得，连接， ∵四边形是正方形，∴，， ∴（SAS），∴，， ∵，∴，∴，∴， 又∵，∴（SAS），∴，， 又∵，∴； （3）存在一个面积最小的；理由如下： 把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，∴， ∵，∴，过点E作于M，作于N，则四边形是矩形， ∴，∴，∴，∴， ∴当的面积最小时，的面积最小； 如图3所示，作的外接圆，圆心为O，连接，，，过点O作于H，设， ∴，∴，∴， ∵，∴当r最小时，的面积最小， ∵，∴，∴，∴当A、O、H三点共线时，r有最小值，最小值为， ∴， ∴存在一个面积最小的，其最小值为． 例5（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出（1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个； 问题探究（2）如图②，在中，，点C到的距离为6，求的最小值； 问题解决（3）碳纤维复合材料具有密度低，抗拉强度高的特点，近年来被广泛使用于民用汽车和大型飞机，既能增加美观性，又能降低自重达到减少耗油量的目的，如图③，四边形是一块碳纤维复合材料制成的板材，其中，由于高强度撞击导致P点出现小孔，经过测量点P与点A之间的距离为，且点P在的平分线上，工人为了不浪费这块板材，沿过点P的直线（分别在上）裁掉一个后，求五边形板材面积的最大值．（结果保留根号） 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）如答案图①，即为所求；（答案不唯一）； （2）如答案图②，作的外接，连接，， ，，是等腰直角三角形， 过点O作于点E，，， ，当取得最小值时，取得最小值， ，，即，， 当点共线时，即点E与点D重合时，取到最小值， 的最小值为； （3）如答案图③，连接，过点P分别作的垂线，垂足记为， ，点P在的平分线上，且，， ，同理可得， ． 要使剩余板材的面积最大，则裁下的板材的面积需要取得最小值， 如答案图③，将绕点P逆时针旋转得到，作的外接圆，连接，过点O作于点M，设的半径为r， 为定值，为定值，板材的面积取得最小值时，值最小， ， ，，，， 如答案图④，当且仅当三点共线时，即点G与M重合时，取得最小值， ，， ， 五边形板材面积的最大值为． 1．（24-25·广东珠海·九年级统考期末）如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】解：如图所示，∵， ∴最大，∴小明将球传给丁球员射门较好，故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ． 【答案】 【详解】解：，，， 在和中，，， 于点，，点在以中点为圆心以为直径的圆上， 如下图所示，以点的中点为圆心，线段为半径作，当与相切时最大， 设的半径为，则有，，，， 在中，，．故答案为： ． 3．（24-25九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点． 已知点 ，，是的外接圆．（1）点P的横坐标为 ；（2）若最大时，则 ． 【答案】 3 【详解】解：（1）∵三角形的外接圆的圆心为三边中垂线的交点上，∴点在的中垂线上， ∵，，∴点的横坐标为；故答案为：3； （2）如图：当与轴相切于点时，的度数最大，理由如下： 若过点点，连接，交与轴相切且过点的圆于点，连接，则：， 又∵，∴， ∴当与轴相切于点时，的度数最大，则：轴， ∵，，点的横坐标为；∴， 连接，过点作，则：，，， ∴；故答案为：． 4.（2022·广西·统考中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米．    【答案】 【详解】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，      ∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m， ∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF， 又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切线，切点为E， ∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，此时OP＝m，故答案为：． 5.（2025·广东深圳·模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ___． 【答案】/ 【详解】解：由题意，，∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，如图，过点B作于点H． ∵，∴，∵．，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴；故答案为：． 6.（25-26·重庆·九年级校考期中）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是边BC、CD上的动点，则△AEF面积的最小值为________. 【解析】“大角含半角+有相等且共端点的边”识别出“半角模型”，通过截长补短构造△AEF的全等三角形△AEF'，在△AEF'中，∠F'AE=45°，AB为定高，通过定角定高模型结论求出最值。 延长CD至点G，使DG=BE，连结AG，易证△ABE≌△ADG(SAS) ∴BE=DG，∠BAE=∠DAG ∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=45°=∠EAF则△AEF'≌△AGF(SAS)， 作△AGF的外接圆圆心为O，连接OA、OG、OF，过得O作OH⊥GF于H， 则∠FOG＝2∠FOH=2∠FAG＝90°，设△AGF的外接圆的半径为R， 则GF＝R，OH＝R，由题意得，OA+OH≥AD，即R+R≥4，解得，R≥8﹣， ∴△AGF的面积≥××（8﹣）×4＝16﹣16，∴△AFE的面积的最小值为16-16． 7．（2025·河南南阳·一模）为了提高中考体育加试足球项目成绩，加强备战意识．某校举行了足球比赛，在其中一场比赛中，一名中场队员带球奔向对方球门，同时，同队的甲、乙两个前锋分别冲到了A点和B点（点B在所对的优弧上，点A在所对优弧内） (1)仅从射门角度越大，进球机会就越大考虑，该中场球员将球传给甲还是乙？为什么？（运用所学的数学知识写出理由） (2)若，，．求点A到球门的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1)将球传给甲，理由见解析(2) 【详解】（1）解：将球传给甲．理由如下：延长与圆交于点C，连接， 与同对．， ，，∴将球传给甲； （2）解：过点A作于点D，设为， 在中，，， 在中，，，，解得：， 答：点A到球门的距离约为． 8．（2025·湖南永州·二模）问题探究与应用实践 （一）问题探究：如图（1），已知直线与水平视线互相垂直，，在上，在上，∠ACB叫做“视角”，点叫做“视点”，⊙是过，，三点的圆.当视点在直线上移动时，视角∠ACB的大小会发生改变,可以证明：当视点恰是⊙的切点时，视角最大，此时观察的效果最佳.当视角最大时：分别以直线，为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图（2）.      (1)如果此时点A的坐标为，点B的坐标为，试求圆心M的坐标及的值； (2)如果此时点A，的坐标分别为（0，a），（0，），请求出视点的坐标.（用a，的代数式表示） （二）应用实践：应用上述结论，让我们解决如下问题： (3)如图（3），是广场上挂的一个大屏幕电视，直线是水平视线，屏幕最高点A和最低点到水平视线的距离分别为8米和4米.小明在水平视线上观看电视节目，当他的视角最大时，视点（在水平视线上）到直线的距离约是多少？（结果保留一位小数，参考数据：） 【答案】(1)(2)(3)约是米 【详解】（1）解：连接，，，并过M作于N，则四边形为矩形，因而有， 因为，所以点N的坐标为，则M的纵坐标，即； 又，由垂径定理得，在中，由勾股定理得： ，故点M的坐标为（2，）； 又由圆周角定理可知，所以 ==.    （2）解：由于点A，B的坐标分别为，所以点N的坐标为（0，  ）， , , ,所以 所以，故点C的坐标为（，0）. （3）解：由题意，根据上述（2）的结论，可得小明视角最大时，视点到直线的距离为≈（米）．   9．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）观赏展品时视角越大越理想．如图所示，墙壁上一副展品距地面最高处为点、最低处为点，人观看展品时眼睛可以在水平线上移动． (1)请证明：当过三点的圆与水平线相切于点时，视角最大． (2)若展品距地面最高、最低，小明身高，他站在与墙水平距离多远处，观赏展品最理想？ 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：过点水平线上取异于点的，连接交圆于点，连接，， ， ∵是的外角，∴，又∵，∴， ∴在点处视角最大，即视角最大； （2）解：∵由题意得：，，设与交于点，圆心为 由题意知：，∴，， 连接，过点作于点， ， ∵与水平线相切于点，∴， 又∵，，∴四边形是矩形，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，在中，，∴， 即站在与墙水平距离处最理想． 10．（2025·陕西商洛·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，在正方形中，点分别在边上，连接，延长到点，使，连接．若，则可证__________； 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若，求面积的最小值； 【问题解决】（3）如图②，是一条笔直的公路，村庄离公路的距离是5千米，现在要在公路上建两个快递转运点，且，为了节约成本，要使得之和最短，求的最小值．    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 又∵，∴，故答案为：； （2）由（1）可得，则的面积等于面积． 如图，作的外接圆，连接，过点作于点，设的半径为． ，∴，． 在中，，．． 又，，，． 当时，取得最小值即． 的最小面积为．的最小面积为．    （3）如图，在上分别截取，，连接，∴， ∵，， ∴，∴；∴， 作的外接圆，分别过点作于点，于点，由已知得． 连接，设的半径为，由可得， 则．， ，，，即， 当四点共线时，取最小值10，此时，∴． ，的最小值为．    11．（2025九年级·广东·专题练习）【经验感知】如图①，为球门，直线l是足球场的底线，直线，垂足为C．若，球员丙带球沿直线m向底线l方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是．请用尺规，作经过A，B两点并且与直线m相切于点S的（不写作法，保留作图痕迹）． 【理解应用】如图②，矩形是足球场的部分示意图，其中宽，球门，且．P，Q分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点P处带球，沿方向跑动．球员戊在上何处才能使射门角（）最大？请直接写出此时的长度． 【答案】【经验感知】见解析 【理解应用】当经过A，B两点的圆与相切于点S时，球员戊在上的S处射门时射门角（）最大，此时的长度为 【详解】解：【经验感知】如图①，即为所求． 【理解应用】作出经过，两点的圆，当经过，两点的圆与相切于点时，球员戊在上的处射门时射门角（）最大，如图②，延长交于点． ，为等腰直角三角形，． ，且，． 由题意，得与相切于点．连接并延长交于点，连接， ． ，，即，解得， ． 12．（2025·广东深圳·一模）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？ 【解决问题】（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下： 如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知， ∵是的外角，∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”）， ∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”）； 【问题探究】（2）如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）    【答案】（1）＜，＜；（2），理由见解析；（3）15米 【详解】解：（1）如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，∵是的外角，∴，∴， （2），理由如下：如图所示，设与交于点G，连接，    ∵，∴，∵是的外角，∴，∴． （3）如图所示，由（2）可得，当经过A，B的与相切时，最大， 过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F， ∴，∴， ∵，，，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∵，设的半径， ∴，即，∴，∴， ∴在中，，∴， 整理得：，解得：，（不合题意，舍去） ∴，∴． 答：的长度为米． 13．（24-25九年级下·广东·专题练习）问题提出：如图1：在中，且，点O为的外心，则的外接圆半径是 ． 问题探究：如图2，正方形中，E、F分别是边两边上点且，请问线段有怎样的数量关系？并说明理由． 问题解决：如图3，四边形中，，，点E、F分别是射线上的动点，并且，试问的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由． 【答案】问题提出：；问题探究：，见解析；问题解决： 【详解】问题提出：如图1，作出的外接圆， ∵，∴，∵，∴，故答案为：． 问题探究：，理由如下：如图2，延长，使，连接， ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴； 问题解决：存在最小值，如图3，延长，使， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，∵，边上的高， 画的外接圆，作于M，∵，∴， 设，，，， ∵，∴，∴，∴的最小值为， ∴的最小值为． 14．（2025·陕西渭南·统考二模）问题探究：（1）如图1，中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接，则的长为_______； （2）如图2，在中，，为边上的高，若，试判断的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； 问题解决（3）如图3，是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中，，边上的点为休息区，米，米，两条观光小路和（小路宽度不计，在边上，在边上）拟将这个展示区分成三个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，，并且要求四边形的面积尽可能大，那么是否存在满足条件的四边形？若存在，请求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在最小值是；理由见解析；（3）存在，最大值是平方米． 【详解】解：（1）如图1，根据旋转可知：，，， 根据勾股定理，得，∴， 在中，根据勾股定理，得：，故答案为：； （2）的面积存在最小值，最小值是；理由如下： 如图2，作的外接圆，连接，，，过点作于， 设，∵，∴． ∵，∴，∵，∴，． ∵，∴，∴，∴，即的最小值是2． ∵，∴的最小值是，此时， ∴的面积存在最小值，最小值是； （3）存在，如图3，过点作于，则， ∵，，∴，∴． ∵，∴，将绕点顺时针旋转得到， ∴，∴，∴，，三点共线． ∵，当的面积最小时，四边形的面积最大， 作的外接圆，连接，，，过点作于， 设米，∵，， ∴，∴，∴． ∵，∴是等边三角形，∴，． ∵，∴，∴，此时的最小值是， ∴（平方米）， ∴四边形的面积的最大值是平方米． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图1，是的弦，直线与相交于点两点，是直线上异于点，的两个点，则、、的大小关系是______（用“”连接）．（2）如图2，是的弦，直线与相切于点，点是直线上异于点的任意一点，请在图2中画出图形，试判断，的大小关系，并证明． 问题解决：（3）某儿童游乐场的平面图如图3所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大．已知，米，米，问在上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）  （2）   （3）， 【详解】（1）如图,延长 交于, 连接, 是的外角，， ，，故答案为:； （2）画出图形如图所示， 证明: 连接, 是 的外角，， ，； （3）如图中, 当经过的与相切于时, 的值最大， 作于, 交于,连接.设， ，， ， ，，， ，， 整理得：，， 或 (舍弃),， ，，， ，． 16．（2025·山东·校考一模）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式．(2)点为第一象限抛物线上的一点，连接，交于点，连接，求与面积的比值的最大值．(3)点为抛物线对称轴上的一动点，连接、，当最大时，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴把、代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作，交于， ∵抛物线的解析式为，与轴交于、两点，∴令，则， 解得∶（为点横坐标），，∴，，设直线的解析式为， 把、代入得：，解得：，∴直线的解析式为， ∵点为第一象限抛物线上的一点，∴设点（）， ∵，交于，∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴把代入得：，整理得：， ∴点的横坐标，∴点的横坐标点的横坐标， ∵的边上的高与的边上的高相同，∴， ∵，∴，，∴， ∴，∴， ∴当时，取得最大值， ∴与面积的比值的最大值为； （3）解：如图，作经过点、，圆心在轴上方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴上方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接， ∵，∴，∴当点在点的位置时，最大， ∵，，抛物线的解析式为，与抛物线对称轴相切与点， ∴点的横坐标，抛物线对称轴为，，∴， ∴点的纵坐标点的纵坐标，∴点的坐标为； 如图，作经过点、，圆心在轴下方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴下方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接， ∵，∴，∴当点在点的位置时，最大， ∵，，抛物线的解析式为，与抛物线对称轴相切与点， ∴点的横坐标，抛物线对称轴为，， ∴，∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴点的坐标为；综上所述，当最大时，点的坐标为或． 17．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图所示， 【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为，若将摄像头安装在墙的处，，是摄像头与墙壁的交点，如图图所示，阴影部分为摄像头的盲区．               (1)假设探照灯的有效照射角度为，河宽米， 米的时候照射的面积最小，最小值为 ； (2)若米，米，在线段是否存在点，当摄像头在点转动时，摄像头的盲区不变，若存在，等于多少，摄像头的盲区面积为多少？ (3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面的中点为为原点建立如图所示的坐标系，，马路距离墙面的最小距离为，请写出符合条件的摄像头的坐标． 【答案】(1)，；(2)，盲区的面积不会变化，为；(3)，． 【详解】（1）作的外接圆，连接，，， 过点作于点，         的面积，不变, 要使面积最小则最小，设圆的半径为，不变， ∴不变，，当最小时，最小， ， ∴当、、 共线时最小，的面积最小，此时，，， 故答案为：，； （2）设，当摄像头如图所示，盲区面积为， 当摄像头转动的角度为时，盲区减少的面积为，增加的面积为， 当盲区增加的面积与减少的面积相等时，， 盲区的面积不会变化，此时，面积为初始面积等于，故，盲区的面积不会变化，为； （3）以为直径以为圆心做圆, 交公路与点，, ∴坐标为，． 18．（2025·江苏淮安·校考二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？ (1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________． (2)当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：解：作的外接圆，作于H，设 (3)请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示） (4)如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)8，16(2)(3)(4) 【详解】（1）解：，，当和点重合时，，此时最小为4， ，最小，故答案为：8，16； （2）解：如图1，作的外接圆，作于，设，， ，，， ，，， 当点在上时，，此时最小，； （3）解：如图2，作的外接圆，作于，设，， ，，，，， ，，， 当点在上时，，此时，，故答案为：； （4）解：如图3，作，交于， ，，， ，，，， ，由（2）知：，， ，，，，， 同理，， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.米勒最大张角（视角）模型 6 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 12 19 1471年，德国数学家‌约阿希姆·米勒‌（又称雷吉奥蒙塔努斯 Regiomontanus）向他的老师—数学教授克里斯托夫·诺德尔（Christian Roder）提出一个看似简单却极富深意的问题：“在地球表面的什么位置观察一根垂直悬挂的杆子，才能使它看起来最长？” 换句话说，‌从哪个位置看这根杆子，视角最大？‌ 这个问题看似属于视觉感知，实则蕴含深刻的几何极值思想。它被后人称为“‌雷奇奥莫塔努斯极大值问题‌”（Regiomontanus' Maximum Problem），并被载入《100个著名初等数学问题—历史和解》一书中，成为‌世界数学史上第一个被正式记录的极值问题‌。 有趣的是，米勒当时提出这个问题，并非为了考试或竞赛，而是源于对‌美术欣赏角度‌的思考：如何站在最佳位置欣赏一幅高挂在墙上的画作，使视觉效果最优？这一灵感后来也广泛应用于壁画观赏、雕塑欣赏等场景。 “探照灯模型”这个生动的名字，并非出自教科书或学术论文，而是‌由一线教师和学生在解题实践中口口相传而来‌。探照灯模型的精妙之处，在于它巧妙融合了‌隐形圆思想与最值原理‌。虽然题干中从不提“圆”，但解法核心却是构造一个过动点的外接圆，利用圆的性质分析弦长变化。 （2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． （2025·广东广州·一模）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ． 1）米勒最大张角（视角）模型 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 证明：如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 因为∠ACB＞∠ADB，所以∠ACB＞∠AC’D， 2）定角定高模型（探照灯模型） 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 模型1.米勒最大张角（视角）模型 例1（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点A时，同伴乙已经助攻冲到点B，此时甲有两种进攻方式：①直接射门；②将球传给乙，让乙射门．仅从射门角度的大小考虑，应选择第_____________种进攻方式比较好（填写序号）． 例2（2025·四川绵阳·校考一模）如图，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 例3（2025·河南商丘·三模）如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，当最大时，的长为 ． 例4（25-26九年级上·陕西西安·期末）【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空：设点是上任意一个异于C的点， 是的外角，______（填“、或”）， 又______，．眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 例5（24-25九年级上·江苏镇江·期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是． （1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出最大射门角的度数． 【理解应用】（1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点        B．点或点          C．线段（异于端点）上一点     D．线段（异于端点）上一点 （2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 例1（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 例2（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    例3（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    例4（2025·广东深圳·二模）【问题提出】（1）如图1，在边长为6的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】（3）如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中E、F分别在、边上（不与点B、C、D重合），且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 例5（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出（1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个； 问题探究（2）如图②，在中，，点C到的距离为6，求的最小值； 问题解决（3）碳纤维复合材料具有密度低，抗拉强度高的特点，近年来被广泛使用于民用汽车和大型飞机，既能增加美观性，又能降低自重达到减少耗油量的目的，如图③，四边形是一块碳纤维复合材料制成的板材，其中，由于高强度撞击导致P点出现小孔，经过测量点P与点A之间的距离为，且点P在的平分线上，工人为了不浪费这块板材，沿过点P的直线（分别在上）裁掉一个后，求五边形板材面积的最大值．（结果保留根号） 1．（24-25·广东珠海·九年级统考期末）如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ． 3．（24-25九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点． 已知点 ，，是的外接圆．（1）点P的横坐标为 ；（2）若最大时，则 ． 4.（2022·广西·统考中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米．    5.（2025·广东深圳·模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ___． 6.（25-26·重庆·九年级校考期中）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是边BC、CD上的动点，则△AEF面积的最小值为________. 7．（2025·河南南阳·一模）为了提高中考体育加试足球项目成绩，加强备战意识．某校举行了足球比赛，在其中一场比赛中，一名中场队员带球奔向对方球门，同时，同队的甲、乙两个前锋分别冲到了A点和B点（点B在所对的优弧上，点A在所对优弧内） (1)仅从射门角度越大，进球机会就越大考虑，该中场球员将球传给甲还是乙？为什么？（运用所学的数学知识写出理由） (2)若，，．求点A到球门的距离．（结果精确到．参考数据：） 8．（2025·湖南永州·二模）问题探究与应用实践 （一）问题探究：如图（1），已知直线与水平视线互相垂直，，在上，在上，∠ACB叫做“视角”，点叫做“视点”，⊙是过，，三点的圆.当视点在直线上移动时，视角∠ACB的大小会发生改变,可以证明：当视点恰是⊙的切点时，视角最大，此时观察的效果最佳.当视角最大时：分别以直线，为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图（2）.      (1)如果此时点A的坐标为，点B的坐标为，试求圆心M的坐标及的值； (2)如果此时点A，的坐标分别为（0，a），（0，），请求出视点的坐标.（用a，的代数式表示） （二）应用实践：应用上述结论，让我们解决如下问题： (3)如图（3），是广场上挂的一个大屏幕电视，直线是水平视线，屏幕最高点A和最低点到水平视线的距离分别为8米和4米.小明在水平视线上观看电视节目，当他的视角最大时，视点（在水平视线上）到直线的距离约是多少？（结果保留一位小数，参考数据：） 9．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）观赏展品时视角越大越理想．如图所示，墙壁上一副展品距地面最高处为点、最低处为点，人观看展品时眼睛可以在水平线上移动． (1)请证明：当过三点的圆与水平线相切于点时，视角最大． (2)若展品距地面最高、最低，小明身高，他站在与墙水平距离多远处，观赏展品最理想？ 10．（2025·陕西商洛·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，在正方形中，点分别在边上，连接，延长到点，使，连接．若，则可证__________； 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若，求面积的最小值； 【问题解决】（3）如图②，是一条笔直的公路，村庄离公路的距离是5千米，现在要在公路上建两个快递转运点，且，为了节约成本，要使得之和最短，求的最小值．    11．（2025九年级·广东·专题练习）【经验感知】如图①，为球门，直线l是足球场的底线，直线，垂足为C．若，球员丙带球沿直线m向底线l方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是．请用尺规，作经过A，B两点并且与直线m相切于点S的（不写作法，保留作图痕迹）． 【理解应用】如图②，矩形是足球场的部分示意图，其中宽，球门，且．P，Q分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点P处带球，沿方向跑动．球员戊在上何处才能使射门角（）最大？请直接写出此时的长度． 12．（2025·广东深圳·一模）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？ 【解决问题】（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下： 如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知， ∵是的外角，∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”）， ∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”）； 【问题探究】（2）如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）    13．（24-25九年级下·广东·专题练习）问题提出：如图1：在中，且，点O为的外心，则的外接圆半径是 ． 问题探究：如图2，正方形中，E、F分别是边两边上点且，请问线段有怎样的数量关系？并说明理由． 问题解决：如图3，四边形中，，，点E、F分别是射线上的动点，并且，试问的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由． 14．（2025·陕西渭南·统考二模）问题探究：（1）如图1，中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接，则的长为_______； （2）如图2，在中，，为边上的高，若，试判断的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； 问题解决（3）如图3，是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中，，边上的点为休息区，米，米，两条观光小路和（小路宽度不计，在边上，在边上）拟将这个展示区分成三个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，，并且要求四边形的面积尽可能大，那么是否存在满足条件的四边形？若存在，请求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 15．（2025·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图1，是的弦，直线与相交于点两点，是直线上异于点，的两个点，则、、的大小关系是______（用“”连接）．（2）如图2，是的弦，直线与相切于点，点是直线上异于点的任意一点，请在图2中画出图形，试判断，的大小关系，并证明． 问题解决：（3）某儿童游乐场的平面图如图3所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大．已知，米，米，问在上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数，如果不存在，请说明理由． 16．（2025·山东·校考一模）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式．(2)点为第一象限抛物线上的一点，连接，交于点，连接，求与面积的比值的最大值．(3)点为抛物线对称轴上的一动点，连接、，当最大时，求点的坐标． 17．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图所示， 【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为，若将摄像头安装在墙的处，，是摄像头与墙壁的交点，如图图所示，阴影部分为摄像头的盲区．               (1)假设探照灯的有效照射角度为，河宽米， 米的时候照射的面积最小，最小值为 ； (2)若米，米，在线段是否存在点，当摄像头在点转动时，摄像头的盲区不变，若存在，等于多少，摄像头的盲区面积为多少？ (3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面的中点为为原点建立如图所示的坐标系，，马路距离墙面的最小距离为，请写出符合条件的摄像头的坐标． 18．（2025·江苏淮安·校考二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？ (1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________． (2)当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：解：作的外接圆，作于H，设 (3)请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示） (4)如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $