专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级下册

专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.米勒最大张角（视角）模型 6 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 12 19 1471年，德国数学家‌约阿希姆·米勒‌（又称雷吉奥蒙塔努斯 Regiomontanus）向他的老师—数学教授克里斯托夫·诺德尔（Christian Roder）提出一个看似简单却极富深意的问题：“在地球表面的什么位置观察一根垂直悬挂的杆子，才能使它看起来最长？” 换句话说，‌从哪个位置看这根杆子，视角最大？‌ 这个问题看似属于视觉感知，实则蕴含深刻的几何极值思想。它被后人称为“‌雷奇奥莫塔努斯极大值问题‌”（Regiomontanus' Maximum Problem），并被载入《100个著名初等数学问题—历史和解》一书中，成为‌世界数学史上第一个被正式记录的极值问题‌。 有趣的是，米勒当时提出这个问题，并非为了考试或竞赛，而是源于对‌美术欣赏角度‌的思考：如何站在最佳位置欣赏一幅高挂在墙上的画作，使视觉效果最优？这一灵感后来也广泛应用于壁画观赏、雕塑欣赏等场景。 “探照灯模型”这个生动的名字，并非出自教科书或学术论文，而是‌由一线教师和学生在解题实践中口口相传而来‌。探照灯模型的精妙之处，在于它巧妙融合了‌隐形圆思想与最值原理‌。虽然题干中从不提“圆”，但解法核心却是构造一个过动点的外接圆，利用圆的性质分析弦长变化。 （2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． （2025·广东广州·一模）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ． 1）米勒最大张角（视角）模型 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 证明：如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 因为∠ACB＞∠ADB，所以∠ACB＞∠AC’D， 2）定角定高模型（探照灯模型） 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 模型1.米勒最大张角（视角）模型 例1（24-25九年级上·浙江·月考）如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点时，同伴乙已经冲到点，从射门角度大小考虑，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙？（   ）    A．甲射门 B．乙射门 C．甲乙都一样 D．无法判定 例2（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，轴的正半轴（坐标原点除外）上两点、，为轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点.当取最大值时，点的横坐标为_____________． 例3（2025·江苏徐州·校考一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 例4（24-25九年级上·河南焦作·月考）综合与实践 【问题提出】在神农山景区的神农文化广场有一尊人类始祖炎帝神农的青铜像，你知道站在何处观赏最理想吗？ 【模型分析】小明查阅资料后发现：当过三点的圆与过点的水平线相切于点时，在切点处感觉看到的青铜像最大，此时为最大视角，站在此处观察最理想．请仅就图2的情形证明． 【初步应用】如图3，经测量神农像的顶部点距地面约米，底部点距地面约米，最大视角为，求此时观察者距神农像的水平距离（取） 【解决问题】博物馆墙壁上的展品最高处距地面米，最低处距地面米，观赏者的眼睛距地面米，那么最佳观赏距离为 米． 例5（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【概念认识】自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图1，是点对线段的视角． 【问题探究】如图2，已知线段与直线，在直线上取一点，使点对线段的视角最大． 【数学思考】如图2，圆越大，越小 点在直线上圆与直线有公共点圆与直线相交或相切 当圆与直线相切且点为切点时，最大 （1）请说明图2中，； 【问题解决】如图3，矩形是足球场的示意图，分别以直线、直线为轴和轴建立如图所示平面直角坐标系，两点的坐标分别为，，摄像机在上移动拍摄． （2）请求出当摄像机对球门的视角最大时点的坐标．（用含的代数式表示） （3）在足球比赛中，足球位置对球门的视角越大，越容易被踢进，如图4，已知球门，一名球员从点处带球，沿方向跑动，，，． ①这名球员继续跑多远可到达对球门视角最大的射门位置？ ②为了给观众呈现更好的现场画面，另安排了无人机拍摄，某架无人机在移动拍摄过程中始终保持对的视角为（无人机离地面的高度忽略不计），已知足球场宽，若摄像机位于对的视角最大的位置，在点移动的过程中，水平距离最近时相距______m． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 例1（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 例2（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    例3（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    例4（2025·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．    例5（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出（）如图①，在等边中，，为边上一点，则的最小值为_______； 问题探究（）如图②，在中，，，为的中线，过点作于点，当取得最大值时，求的面积； 问题解决（）宝鸡是进出西北地区的重要交通城市，因多条铁路干线交汇于此，被称为“火车拉来的城市”．如图③，某开发商计划在废弃铁轨上改造一个三角形火车主题公园，为了满足群众拍照打卡的需求，要求公园占地面积尽可能的大，已知，，．问是否存在符合要求的？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 1．（2023·浙江金华·统考中考真题）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（   ） A．点C B．点D或点E C．线段DE(异于端点) 上一点 D．线段CD(异于端点) 上一点 2．（24-25九年级上·浙江·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 3．（2025·福建泉州·一模）“已知，点A，B是边上不重合的两个定点，点C是边上的一个动点，当的外接圆与边相切于点C时，的值最大．”这是由德国数学家米勒提出的最大角问题，我们称之为米勒定理．已知矩形，，点E是射线上一点，点F是射线上的一动点．当时，则的值最大为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏·期末）如图，半径为5的内有一点A，，点P在上，当最大时，的长等于 ． 5．（25-26九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 6．（2025·广东·校考一模）已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°。则△ABO的面积最小值为 　　． 7.（24-25·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为 。 8．（25-26·浙江金华·九年级校考期中）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点，AB=6米，BD=2米．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．（1）tan∠AQB =_____．（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为米，若此时守门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为___ 米． 9．（24-25九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，是电影院的屏幕，C、D是两个不同的观影座位，其中C在圆上，D在圆外，仅从观看视角来看，坐在________（填C或D）位置更好，并说明理由． （2）如图2，影厅是一个长为12米，宽为6米的矩形，是观影屏幕，且米，观众座位设置在矩形区域内，其中米，第一排座位所在直线离屏幕的距离为2米，乐乐在买电影票时，发现只剩边列上的座位可选，为使观影视角最佳，在上是否存在点P，使得最大，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由． （3）在（2）情况下，交于点Q，所在区域观影效果不佳，则此区域的面积_______． 11．（25-26九年级上·陕西西安·期末）【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？请思考后完成填空：设点是上任意一个异于C的点， 是的外角，______（填“、或”）， 又______，．眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 12．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，在中，，为边上的高，若，求面积的最小值；（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分来培育新品种郁金香．如图2，是这片鲜花培育基地的平面示意图，，点是边上一点，连接，，且，点为上一点，，为了更有效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基地面积的最小值． 13．（2025·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．    14．（2025·陕西商洛·二模）【问题提出】（1）如图①，在等边中，，则外接圆的半径为______； 【问题探究】（2）如图②，在矩形中，，点在边上，，且，求的长； 【问题解决】（3）如图③是某公园中的一个梯形花园，米，，，点到边的距离米．园林设计者想在花园内部种植花卉和草坪．按照设计要求，点，分别在，边上，且满足，在四边形内部种植草坪，花园其他区域种植花卉．已知种植草坪每平方米元，种植花卉每平方米元，请求出种植花卉和草坪的最少费用．    15．（2025·河南郑州·一模）【 问题背景】如图（1），点在外，点，，在上 ． 【解决问题】（1）请判断和的大小关系，并加以证明； 【实践应用】（2）在足球比赛场上，仅从射门的角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．如图()，为对方球门，当甲带球冲到点时，同伴乙已经冲到点(点在外)，直接判断：甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好? 【拓展延伸】（3）一位足球运动员在某场赛事中有一精彩进球，如图（3），他在点处接到球后，沿方向带球跑动，并在对球门的视角最大的点处射门(视角最大时，经过点，，的 圆 与切于点)．已知，，视角，(点在的延长线上)．求的长．(结果保留根号) 16．（25-26九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.米勒最大张角（视角）模型 6 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 12 19 1471年，德国数学家‌约阿希姆·米勒‌（又称雷吉奥蒙塔努斯 Regiomontanus）向他的老师—数学教授克里斯托夫·诺德尔（Christian Roder）提出一个看似简单却极富深意的问题：“在地球表面的什么位置观察一根垂直悬挂的杆子，才能使它看起来最长？” 换句话说，‌从哪个位置看这根杆子，视角最大？‌ 这个问题看似属于视觉感知，实则蕴含深刻的几何极值思想。它被后人称为“‌雷奇奥莫塔努斯极大值问题‌”（Regiomontanus' Maximum Problem），并被载入《100个著名初等数学问题—历史和解》一书中，成为‌世界数学史上第一个被正式记录的极值问题‌。 有趣的是，米勒当时提出这个问题，并非为了考试或竞赛，而是源于对‌美术欣赏角度‌的思考：如何站在最佳位置欣赏一幅高挂在墙上的画作，使视觉效果最优？这一灵感后来也广泛应用于壁画观赏、雕塑欣赏等场景。 “探照灯模型”这个生动的名字，并非出自教科书或学术论文，而是‌由一线教师和学生在解题实践中口口相传而来‌。探照灯模型的精妙之处，在于它巧妙融合了‌隐形圆思想与最值原理‌。虽然题干中从不提“圆”，但解法核心却是构造一个过动点的外接圆，利用圆的性质分析弦长变化。 （2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 【答案】（1）甲自己射门好，理由见解析；（2）C；（3）米 【详解】解：（1）甲自己射门好，理由如下： 如图，记与过两点的圆的交点为，连接，，， ，，甲自己射门好； （2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接， 由勾股定理得：， ∴，∴A，B，D，E四点共圆，∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C （3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N， ∵，∴米， ∵米，，∴米，米， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∴四边形，四边形，四边形为矩形， ∴米，米，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形， ∴米，∴米，米， ∵为圆O的切线，∴，∴为等腰直角三角形， 连接，设圆O的半径为r，则，∴， ∵，，∴， 解得：或（舍去），∴米， ∴米． （2025·广东广州·一模）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，作，垂足分别为点，，，， ，，，，， ，，，，，， 在中，， 设的半径为，则，，， ，，，外接圆半径的最小值为．故答案为：． 1）米勒最大张角（视角）模型 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 证明：如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 因为∠ACB＞∠ADB，所以∠ACB＞∠AC’D， 2）定角定高模型（探照灯模型） 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 模型1.米勒最大张角（视角）模型 例1（24-25九年级上·浙江·月考）如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点时，同伴乙已经冲到点，从射门角度大小考虑，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙？（   ）    A．甲射门 B．乙射门 C．甲乙都一样 D．无法判定 【答案】B 【详解】解：如图所示，设交于点，连接，则，    因为是的一个外角，由外角性质得，所以， 所以仅从射门角度考虑，甲将球传给乙，让乙射门好．故选：B． 例2（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，轴的正半轴（坐标原点除外）上两点、，为轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点.当取最大值时，点的横坐标为_____________． 【答案】 【详解】解：如图，过、两点的与轴相切于时，最大，作直径，连接， 与轴相切于，直径，， 是圆的直径，，，， ，，，.， 的坐标是，的坐标是，，， ，，的横坐标是.故答案为：. 例3（2025·江苏徐州·校考一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 【答案】D 【详解】过的中点Q作于P，则， Q是的中点，，，， ，，，，三点在以Q为圆心的圆上， ，与圆Q相切与P，此时最大， 在中，，故选：． 例4（24-25九年级上·河南焦作·月考）综合与实践 【问题提出】在神农山景区的神农文化广场有一尊人类始祖炎帝神农的青铜像，你知道站在何处观赏最理想吗？ 【模型分析】小明查阅资料后发现：当过三点的圆与过点的水平线相切于点时，在切点处感觉看到的青铜像最大，此时为最大视角，站在此处观察最理想．请仅就图2的情形证明． 【初步应用】如图3，经测量神农像的顶部点距地面约米，底部点距地面约米，最大视角为，求此时观察者距神农像的水平距离（取） 【解决问题】博物馆墙壁上的展品最高处距地面米，最低处距地面米，观赏者的眼睛距地面米，那么最佳观赏距离为 米． 【答案】模型分析：见解析；初步应用：（米）；解决问题： 【详解】解：[模型分析]如图所示，连接， ∵，∴，∵是的外角， ∴，∴，即． [初步应用]如图所示，连接，过点作于点，是的切线，点是切点，， 根据题意，米，米，∴米， ∵，∴米， ∵所对的圆周角是，所对的圆心角是，∴， ∵，∴是等边三角形，∴米， 在中，米， ∵，∴， ∴四边形是矩形，∴米； [解决问题]最佳观赏距离为米，理由如下， 借用图3，为展品最高处，为展品最低处，点为最理想观察点， 博物馆墙壁上的展品最高处距地面米，最低处距地面米，观赏者的眼睛距地面米， ∴米，米，米，则米，米， ∵，∴米，由[初步应用]可知，四边形是矩形， ∴米， 在中， （米）， ∴（米），故答案为：． 例5（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【概念认识】自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图1，是点对线段的视角． 【问题探究】如图2，已知线段与直线，在直线上取一点，使点对线段的视角最大． 【数学思考】如图2，圆越大，越小 点在直线上圆与直线有公共点圆与直线相交或相切 当圆与直线相切且点为切点时，最大 （1）请说明图2中，； 【问题解决】如图3，矩形是足球场的示意图，分别以直线、直线为轴和轴建立如图所示平面直角坐标系，两点的坐标分别为，，摄像机在上移动拍摄． （2）请求出当摄像机对球门的视角最大时点的坐标．（用含的代数式表示） （3）在足球比赛中，足球位置对球门的视角越大，越容易被踢进，如图4，已知球门，一名球员从点处带球，沿方向跑动，，，． ①这名球员继续跑多远可到达对球门视角最大的射门位置？ ②为了给观众呈现更好的现场画面，另安排了无人机拍摄，某架无人机在移动拍摄过程中始终保持对的视角为（无人机离地面的高度忽略不计），已知足球场宽，若摄像机位于对的视角最大的位置，在点移动的过程中，水平距离最近时相距______m． 【答案】（1）见解析（2）当摄像机P对球门的视角最大时点P的坐标为（3）①② 【详解】解：（1）设与小圆交于点C，连接，如图， 则，∵，∴； （2）由（1）中的【数学思考】可知：当圆与直线l相切且点P为切点时，视角最大， 设经过A，B两点的圆与相切于点P，则此时摄像机P对球门的视角最大， 连接，过点G作于点D，如图， 则．∵与相切于点P，∴， ∵A，B两点的坐标分别为，∴，∴， ∵，∴，∴． ∵，∴四边形为矩形，∴，， ∴．∴，∴． ∴当摄像机P对球门的视角最大时点P的坐标为； （3）①由（1）中的【数学思考】可知：当圆与直线l相切且点P为切点时，视角最大， 设经过A，B两点的圆与相切于点P，则此时这名球员继续跑到达点P处对球门视角最大，连接，过点O作于点E，如图， 则．∵与相切于点P，∴，∵，∴, ∵，∴，∵，∴四边形为矩形， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴这名球员继续跑可到达对球门视角最大的射门位置． ②作经过A，B的圆，连接，使，如图， ∵无人机Q在移动拍摄过程中始终保持对的视角为，∴点Q在G中的以为弦的优弧上运动， 过点G作于点H，过点G作于点F，则， 由题意：F为的中点，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴四边形为矩形，∴，， ∵摄像机P位于对的视角最大的位置，∴点P位于经过M，N的圆且与相切的切点， 作的垂直平分线，交于点K，交于点P，则P位于对的视角最大的位置， ∴，∵，∴四边形为矩形， ∴，∴， ∵当点G，Q，P三点在一条直线上时，P、Q水平距离最近，最近距离为（如图）， ∵，， ∴P、Q水平距离最近时相距．故答案为：． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 例1（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：当△OAB是等腰三角形（OA=OB）时，AB的长最小； 设三角形△OAB的高为h，其外接圆半径为r，根据定角定高（探照灯）模型易得：r+rcos∠AOB≥h， 当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin∠AOB； ∵O到直线l的距离是4，且cos∠AOB=，∴r≥，sin∠AOB=，∴BC≥4。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W． 在Rt△中，AB=，∴的值最小时，AB的值最小， ∵OA+OB=OA+≥，∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小， ∵直线l'垂直平分线段，∴TB=，∴∠ =∠， ∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB， ∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k， ∴AH==4k，∴AB=，   ∵，∴，解得k=， ∴AB的最小值，故选：D． 例2（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【答案】 【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r， 根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos≥h，即， 当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：， 此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：. 法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，      ∵垂直平分，∴， ∴周长 ∵在中，，∴，当点D与点M重合时，， ∴周长，∴周长的最小值， ∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，， ∴，∴周长的最小值，故答案为：． 例3（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    【答案】 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，    ，，，， 设的半径为，则，，， ，，解得：，， ，的面积的最小值为，故答案为：. 例4（2025·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图所示，过点A作于E， ∵是边长为5的等边三角形，∴，∴， ∵，∴，∴；    （2）如图所示，延长到G使得，连接， ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴，， 又∵，∴； （3）把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，∴，∵，∴， 过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，∴， ∴，∴，∴， ∴当的面积最小时，的面积最小； 如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H，设， ∴，∴，∴， ∵，∴当r最小时，的面积最小， ∵，∴，∴，∴当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为， ∴， ∴存在一个面积最小的，其最小值为．    例5（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出（）如图①，在等边中，，为边上一点，则的最小值为_______； 问题探究（）如图②，在中，，，为的中线，过点作于点，当取得最大值时，求的面积； 问题解决（）宝鸡是进出西北地区的重要交通城市，因多条铁路干线交汇于此，被称为“火车拉来的城市”．如图③，某开发商计划在废弃铁轨上改造一个三角形火车主题公园，为了满足群众拍照打卡的需求，要求公园占地面积尽可能的大，已知，，．问是否存在符合要求的？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；（）；（）存在符合要求的，最大值为 【详解】解：（）如图，当时，的值最小， ∵是等边三角形，∴，∵，∴，， ∴，∴的最小值为，故答案为：； （）如图①，过点作于点，，∴， 是的中线，是的中点， ∵，∴，∴，是的中位线，∴， 当取得最大值时，取得最大值，作的外接圆，连接，过点作于点， 则， 当三点共线，即点与点重合时，取得最大值，此时取得最大值，为的中点， ∵，∴，∵，∴此时为等边三角形，∴，， ∴，∴； （）存在，如图②，过点作交的延长线于点，则，， ∴，∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， 作的外接圆，连接，过点作于点，过点作于点， 则，∵，∴， ∵，∴， 在中，，，∴， ∵，∴当三点共线，即点与点重合时，取得最大值， ∴，即，∴的最大值为， ∵，∴，∴， ∵，∴当取最大值时，最大，∴， 此时， ∴存在符合要求的，面积的最大值为． 1．（2023·浙江金华·统考中考真题）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（   ） A．点C B．点D或点E C．线段DE(异于端点) 上一点 D．线段CD(异于端点) 上一点 【答案】C 【详解】解：如图，记过测量可以发现当设点在DE上时，张角最大． 故选C． 2．（24-25九年级上·浙江·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，为的外接圆，延长交于点，连接，则， ，当的半径最小时，最大， ∵点C在上，∴当为的切线时，最大． 连接，过点O作于点F，则，， ，∴四边形为矩形，， ，．故选择：C． 3．（2025·福建泉州·一模）“已知，点A，B是边上不重合的两个定点，点C是边上的一个动点，当的外接圆与边相切于点C时，的值最大．”这是由德国数学家米勒提出的最大角问题，我们称之为米勒定理．已知矩形，，点E是射线上一点，点F是射线上的一动点．当时，则的值最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由米勒定理可知，最大时，的外接圆与射线相切于点，如图， 过点作，则，，∵四边形是矩形，∴， 又∵与射线相切于点，∴，∴四边形是矩形， ∵，，则，∴，则，∴，则， ∴是等边三角形，∴，∴，即：的值最大为，故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏·期末）如图，半径为5的内有一点A，，点P在上，当最大时，的长等于 ． 【答案】 【详解】解：如图所示：是定值，∴时，最大， 在直角三角形中，，，．故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道： 当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC有最小值。 再结合，边上的高，∴BC=12，AB=AC=。 ∴的周长的最小值为，故答案为：． 法2：如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T． ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∵，∴，∴， 设，则，，∵， ∴最小时，的周长最小，∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴的周长的最小值为，故答案为：． 6．（2025·广东·校考一模）已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°。则△ABO的面积最小值为 　　． 【详解】法1：设三角形△ABO的高为h=4，其外接圆半径为r，∠AOB＝＝30° 根据定角定高（探照灯）模型知道：当△ABO是等腰三角形（AO=BO）时。 ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时EF有最小值； ∴64﹣16，当取等号时△ABC有最小值； 法2：如图，过点O作直线l′∥直线l，则直线l与直线l′之间的距离为4，作点B关于直线l′的对称点B′，连接OB′，AB′，AB′交直线l′于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W． 在Rt△ABB′中，AB＝，∴AB′的值最小时，AB的值最小， ∵OA+OB＝OA+OB′≥AB′，∴当A，O，B′共线时，AB′的值最小，此时AB的值最小， ∵直线l垂直平分线段BB′，∴TB＝TB′，∴∠TBB′＝∠TB′B， ∵∠TBA+∠TBB′＝90°，∠TAB+∠TB′B＝90°，∴∠TAB＝∠TBA，∴TA＝TB， ∵cos∠AOB＝cos∠ATB＝，∴，∴可以假设TH＝k，AT＝TB＝2k， ∴BH＝TB﹣TH＝（2﹣）k，∴AH＝k，∴AB＝＝2k， ∵S△TAB＝•AB•TW＝•TB•AH，∴×2k×4＝×2k×k，解得k＝4， ∴△ABO的面积最小值为＝∴×2×4×4＝64﹣16，故答案为：64﹣16． 7.（24-25·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为 。 【解析】如图，过点E作EF⊥BC于点F，作三角形BEC的外接圆， 连接OB，OC，OE，过点O作OG⊥BC于点G，则EF=2，（AD与BC之间的距离为2）， BG=CG=BC，OB=OC=OE，∠ BOC=2∠BEC， ∵∠BEC= 45°，∴∠BOC= 90°，∠OBC=∠OCB=45°， 设OB=OC=OE=r，则OG= BG=r，BC=2BG=r， ∵OE+OG≥EF,，∴ r+r≥2，解得r≥4-4，即BC≥4-4， 当G，O，E三点共线，即EF与EG重合时，BC有最小值，最小值为4-4， ∴SABCD最小=BC最小×EF=(4-4)×2=8-8，四边形ABCD面积的最小值为8-8。 8．（25-26·浙江金华·九年级校考期中）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点，AB=6米，BD=2米．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．（1）tan∠AQB =_____．（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为米，若此时守门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为___ 米． 【答案】          【分析】（1）证明△BDQ∽△QDA，利用相似三角形的性质求出QD，过点B作BH⊥AQ于点H．利用面积法求出BH，再利用勾股定理求出QH，可得结论；（2）如图，设NM的中点为O，过点N作NK⊥AD于点K，根点O作OJ⊥NK于点J．解直角三角形求出NJ，NK，可得结论． 【详解】（1）由题意，∠BQD=∠QAD， ∵∠BDQ=∠QDA，∴△BDQ∽△QDA，∴，∴QD2=DB•DA， ∵AB=6，BD=2，∴DA=8，∴QD=4，如图，过点B作BH⊥AQ于点H． ∵CD⊥AD，∴∠ADQ=90°，∵AD=8．DQ=4，∴AQ=， ∵×6×4=×4×BH，∴BH=，∵BQ=， ∴HQ=，∴tan∠AQB==；故答案为：； （2）如图，设NM的中点为O，过点N作NK⊥AD于点K，过点O作OJ⊥NK于点J． ∵MN∥BH ∴，∴BN==，∴NK=BN•sin∠QBD=×=， ∵MN⊥AQ，NK⊥AD，∴∠AMN+∠AKN=180°，∴∠QAD+∠MNK=180°， ∵∠MNK+∠ONJ=180°，∴∠ONJ=∠QAD，∴cos∠ONJ=cos∠QAD=， ∴JN=ON•cos∠ONJ=×=，∴JK=NJ+NK=+=， ∴MN中点与AB的距离至少为米时才能确保防守成功．故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)存在，(3)存在，144 【详解】（1）解：如图①中，即为所求． （2）存在，理由如下，如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设．，，， ，，，， ，，，的最小值为，，的最小值为． （3）存在，理由如下，如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆． ，，，，， ，，， ，，，， 由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大，设，则，，，， 四边形的面积的最大值． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，是电影院的屏幕，C、D是两个不同的观影座位，其中C在圆上，D在圆外，仅从观看视角来看，坐在________（填C或D）位置更好，并说明理由． （2）如图2，影厅是一个长为12米，宽为6米的矩形，是观影屏幕，且米，观众座位设置在矩形区域内，其中米，第一排座位所在直线离屏幕的距离为2米，乐乐在买电影票时，发现只剩边列上的座位可选，为使观影视角最佳，在上是否存在点P，使得最大，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由． （3）在（2）情况下，交于点Q，所在区域观影效果不佳，则此区域的面积_______． 【答案】（1）坐在 C位置更好；（2）为2米；（3） 【详解】解：（1）如图，记于圆的交点为， ∴，∵，∴，∴坐在 C位置更好； （2）如图，作过且与，都相切的，与的切点为，连接，，，，，，，过作于，交于，由（1）的结论可得：最大， 由题意可得：矩形，矩形，∴，，，，， ∵，，第一排座位所在直线离屏幕的距离为2米， ∴，，，， ∵为的切线，∴，∴四边形是矩形，且，∴，， ∵，∴，∴，∴； （3）如图，延长交于，结合（2）可得：，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴． 11．（25-26九年级上·陕西西安·期末）【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？请思考后完成填空：设点是上任意一个异于C的点， 是的外角，______（填“、或”）， 又______，．眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 【答案】米勒定理∶，；问题解决∶ 围栏放在距离墙壁米位置最合适 【详解】米勒定理 请思考后完成填空：设点是上任意一个异于C的点， 是的外角，，（填“、或”）， 又，，，眼睛位于点C处时，最大，故答案：，； 问题解决∶解：如图，过作交于， 四边形是矩形，，，， ，， ，，， 在中，，， 故围栏放在距离墙壁米位置最合适． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，在中，，为边上的高，若，求面积的最小值；（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分来培育新品种郁金香．如图2，是这片鲜花培育基地的平面示意图，，点是边上一点，连接，，且，点为上一点，，为了更有效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基地面积的最小值． 【答案】（1）；（2）平方米 【详解】解：（1）如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点， ，，， 设，则，∴， ∵，∴，由，得，即， ，，面积的最小值为； （2）如图，过点作于点，于点， ，平分，，又，， ，，， ，均为等腰直角三角形，且， ，如图，在上截取，连接， ，，，， ，， 要使四边形的面积最小，只需的面积最小， ，，， ，. 如图，的外接圆圆心为，连接，，，作于点， ，，，， 由题意得，即，， ，， ， 新品种郁金香培育基地面积的最小值为平方米. 13．（2025·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图所示，过点A作于E， ∵是边长为5的等边三角形，∴，∴， ∵，∴，∴；          （2）如图所示，延长到G使得，连接， ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴，， 又∵，∴； （3）把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，∴，∵，∴， 过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，∴， ∴，∴，∴， ∴当的面积最小时，的面积最小； 如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H，设，∴，∴，∴， ∵，∴当r最小时，的面积最小， ∵，∴，∴， ∴当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为， ∴， ∴存在一个面积最小的，其最小值为． 14．（2025·陕西商洛·二模）【问题提出】（1）如图①，在等边中，，则外接圆的半径为______； 【问题探究】（2）如图②，在矩形中，，点在边上，，且，求的长； 【问题解决】（3）如图③是某公园中的一个梯形花园，米，，，点到边的距离米．园林设计者想在花园内部种植花卉和草坪．按照设计要求，点，分别在，边上，且满足，在四边形内部种植草坪，花园其他区域种植花卉．已知种植草坪每平方米元，种植花卉每平方米元，请求出种植花卉和草坪的最少费用．    【答案】（1）；（2）；（3）种植花卉的最少费用为元；草坪的最少费用为元 【详解】解：（1）如图所示， 过点作于点，        ∵是的外心，∴， ∵，∴ 即外接圆的半径为 （2）如图所示，作的外接圆交于点，连接， ∵四边形是矩形，∴∴是直径，∴ ∵∴∴∴ ∵∴∵，由（1）可得，∴， ∵，，∴是等边三角形，∴ 设，则，∵，，，∴ ∵∴解得：或（负值舍去） ∴ （3）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ∴∴ ∵梯形，，，， ∴是等腰梯形，， ∴∴在直线上，∴ ∵，∴作的外接圆，连接， ∴∴，而 ∴当最小时，种植花卉的面积最小，∴当重合时，即为的直径时，最小， 此时∴平方米． ∵种植花卉每平方米元，∴种植花卉的最少费用为元； ∵在四边形内部种植草坪，即当面积最大时，则四边形面积最小， ∵在上，∴当重合时，最大，则最大 此时，如图所示，    ∵，∴ ∵∴ ∵ ∵∴∴ ∴∴是的角平分线，∴到的距离相等，设 ∵∴ ∵，，在中， ∴∵是等腰梯形，∴ ∴∴平方米． ∵种植草坪每平方米元，∴种植草坪的最少费用为元； 15．（2025·河南郑州·一模）【 问题背景】如图（1），点在外，点，，在上 ． 【解决问题】（1）请判断和的大小关系，并加以证明； 【实践应用】（2）在足球比赛场上，仅从射门的角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．如图()，为对方球门，当甲带球冲到点时，同伴乙已经冲到点(点在外)，直接判断：甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好? 【拓展延伸】（3）一位足球运动员在某场赛事中有一精彩进球，如图（3），他在点处接到球后，沿方向带球跑动，并在对球门的视角最大的点处射门(视角最大时，经过点，，的 圆 与切于点)．已知，，视角，(点在的延长线上)．求的长．(结果保留根号) 【答案】（）见解析；（）见解析；（）． 【详解】解：（）， 证明：如图()，设与交于点，连接，则， ∵，∴，∴； （）将球传给乙，让乙射门好，如图，连接，， 同（）理得：， ∵球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进，∴将球传给乙，让乙射门好； （）设经过，，三点的圆的圆心为， 如图()，过点作的垂线，分别交，于点，连接， 则，， 又，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴，∴， ∵与相切，∴，∴，∴， 过点作于点，则， ∴，∴． 16．（25-26九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 【答案】任务一：；任务二：；任务三：；任务四：；任务五： 【详解】解：任务一如图，取的中点O，连接       ∵，， ．∴，故的最大值为2．               任务二，如图1，的最小值为12．理由如下：取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可，可得，∴即， 故的最小值为12．                             任务三，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接，   ∴，设的半径是R， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∵∴， ∴，∴，∴，∴的最小值是． 任务四，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接， ∴，设的半径是R，∵，，∴， ∴，，∵，∴，∴， ∵∴，∴， ∴，∴，∴的最小值是． 任务五，如图3，作于G，延长交于H， ∵，∴，设，∴， ∴，在的延长线上截取， ∵∴， ∵，∴，∴， ∴， 由任务四可知，， ∵， 当最小时，∴取得最大值，此时最大值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $