5.2.1 古典概型（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

5.2　概率及运算 5.2.1　古典概型 基础过关练 题组一　古典概型的特征 1.(多选题)(2024贵州毕节威宁第八中学月考)下列关于古典概型的说法正确的是(　　) A.试验中所有可能出现的样本点只有有限个 B.每个事件出现的可能性相等 C.每个样本点出现的可能性相等 D.样本点的总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则P(A)= 2.(2025安徽江淮十校大联考)下列试验中符合古典概型研究的试验是(　　) A.抛掷一枚六个面都是不同材质的骰子,正面向上的点数 B.抽奖箱里有4个白球和6个黑球,这10个球除颜色外完全相同,从中任取一个球 C.向一个圆面内随机投一个点,观察该点落在圆内的位置 D.射击选手进行射击训练,结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 题组二　古典概型的概率 3.小林打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习,则小林没有选择冰壶的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(2024甘肃平凉静宁文萃中学月考)盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子,已知某盲盒产品共有2种玩偶.假设每种玩偶出现的概率相等,小明购买了3个这种盲盒,则他集齐2种玩偶的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.等可能地从集合{1,2,3}的所有子集中任选一个,选到非空真子集的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次向上的点数小于第二次向上的点数,则称其为正试验;若第二次向上的点数小于第一次向上的点数,则称其为负试验;若两次向上的点数相等,则称其为无效试验.一个人抛掷该骰子两次,出现无效试验的概率是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 7.(2025江西上进联考检测)2025年,从春晚扭秧歌的机器人,到广场舞狮的机器狗,中国人把高科技玩出了新花样儿.为紧跟社会热点,某商场推出了机器人服务,从甲公司购买了3台不同的机器人,从乙公司购买了2台不同的机器人,现计划从这5台机器人中随机挑选2台在商场一楼服务,则这2台机器人来自不同公司的概率为　　　　.  8.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率; (2)若从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率. 能力提升练 题组　古典概型概率的求法及应用 1.(多选题)(2025海南海口华侨中学期中)先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,则下列事件发生的概率为的是　(　　) A.a+b=6　　 B.a>2b C.log2a>b　　 D.方程ax2+bx+3=0有实数解 2.(2025山东青岛第一次质检)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(2024甘肃白银靖远第二中学期末)数学来源于生活,约3 000年以前,我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:3可表示为“”,26可表示为“”,现有5根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则用5根算筹构成的两位数能被4整除的概率是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.踢毽子是中国民间传统的运动项目之一,是一项简便易行的健身活动.某单位组织踢毽子比赛,有4名男员工和6名女员工参加.其中男员工每人1分钟内踢毽子的数目为21,30,51,53;女员工每人1分钟内踢毽子的数目为31,38,46,52,57,65,则从1分钟内踢毽子的数目大于50的员工中随机抽取2名,恰有1人是男员工的概率是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(2025福建福州月考)七巧板,又称七巧图、智慧板,是中国古代劳动人民的发明,其历史至少可以追溯到公元前一世纪,到了明代基本定型,于明、清两代在民间广泛流传.某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板,如图所示,包括5个等腰直角三角形,1个正方形和1个平行四边形.若该同学从5个三角形中任取2个,则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形的面积之和的概率是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”.河图的排列结构如图所示,一与六共宗居下,二与七为朋居上,三与八同道居左,四与九为友居右,五与十相守居中,其中白圈数为阳数,黑点数为阴数,若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值大于5的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 7.(2024河北秦皇岛树人中学开学考试)一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时,称其为“有缘数”(如213,134等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“有缘数”的概率是　　　　.  8.无土栽培的类型主要有水培、岩棉培和基质培三大类.某农科院为了研究某种草莓最适合的无土栽培方式,种植了400株这种草莓进行试验,其中水培、岩棉培、基质培的株数分别为200,100,100.草莓成熟后,按照栽培方式用分层抽样的方法抽取了40株作为样本,统计其单株产量,数据如下表: 单株产量/g 方式 水培 岩棉培 基质培 (50,100) x 4 3 [100,150) 5 3 z [150,200) 4 2 1 [200,+∞) 1 y 0 (1)求x,y,z的值; (2)从表中单株产量在[150,200)内的草莓中随机抽取2株,求这2株草莓中恰有1株草莓采用了岩棉培的概率. 9.(2025辽宁朝阳凌源月考)在2022年北京冬奥会志愿服务开始前,北京市团委调查了北京师范大学某院50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况,数据如下表: 参加志愿服 务礼仪培训 未参加志愿服 务礼仪培训 参加赛会应 急救援培训 6 10 未参加赛会应 急救援培训 6 28 (1)从50名志愿者中随机选1名,求其至少参加了其中一个培训的概率; (2)在既参加了志愿服务礼仪培训又参加了赛会应急救援培训的6名同学中,有4名男同学和2名女同学,记4名男同学分别为A1,A2,A3,A4,2名女同学分别为B1,B2,现从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人,求A1未被选中且B1被选中的概率. 答案与分层梯度式解析 5.2　概率及运算 5.2.1　古典概型 基础过关练 1.ACD 2.B 3.C 4.A 5.B 6.C 1.ACD　根据古典概型的特征知,A,C,D中说法正确,B中每个样本点出现的可能性相等,但每个事件中包含几个样本点不确定,所以B中说法不正确. 2.B　对于A,因为骰子各个面材质不一样,所以每一面向上的可能性是不均等的,不是古典概型; 对于B,球的数量有限,且每次试验中,每个球被抽中的可能性相同,是古典概型; 对于C,样本空间中的样本点有无限个,不是古典概型; 对于D,击中各环的可能性不均等,不满足每个样本点出现的可能性相等,不是古典概型. 3.C　记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为A,B,C,D,则从这四个项目中任意选两项的情况有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,其中没有选择冰壶的有BC,BD,CD,共3种,所以所求概率为=. 4.A　假设2种玩偶分别为A,B, 买3个盲盒,可能情况有AAA,BBB,AAB,ABA,BAA,BBA,BAB,ABB,共8种,其中集齐2种玩偶的情况有6种, 所以集齐2种玩偶的概率为=. 5.B　集合{1,2,3}的所有子集有⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共8个,记选到非空真子集为事件A,则A的情况有{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共6个,所以P(A)==. 6.C　用(i,j)表示第一次向上的点数为i,第二次向上的点数为j,则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36个样本点.设“出现无效试验”为事件A,则A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共6个样本点,所以P(A)==. 7.答案　 解析　记从甲公司购买的3台机器人为A,B,C,从乙公司购买的2台机器人为a,b, 从中任取2台的情况有(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共10种, 其中满足2台机器人来自不同公司的情况有(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),共6种, 所以所求概率为=. 8.解析　甲校的2名男教师分别用a1,a2表示,1名女教师用b表示;乙校的1名男教师用A表示,2名女教师分别用B1,B2表示. (1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,所有可能的结果有(a1,A),(a1,B1),(a1,B2),(a2,A),(a2,B1),(a2,B2),(b,A),(b,B1),(b,B2),共9种. 从中选出的2名教师性别相同的结果有(a1,A),(a2,A),(b,B1),(b,B2),共4种, 所以选出的2名教师性别相同的概率为. (2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名,所有可能的结果有(a1,a2),(a1,b),(a1,A),(a1,B1),(a1,B2),(a2,b),(a2,A),(a2,B1),(a2,B2),(b,A),(b,B1),(b,B2),(A,B1),(A,B2),(B1,B2),共15种. 从中选出的2名教师来自同一所学校的结果有(a1,a2),(a1,b),(a2,b),(A,B1),(A,B2),(B1,B2),共6种,所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为=. 能力提升练 1.BCD 2.D 3.A 4.C 5.D 6.A 1.BCD　先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次,得到的样本点总数为36. 对于A,满足a+b=6的样本点为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个, 则“a+b=6”发生的概率为,故A错误; 对于B,满足a>2b的样本点为(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),共6个, 则“a>2b”发生的概率为,故B正确; 对于C,满足log2a>b,即a>2b的样本点为(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),共6个,则“log2a>b”发生的概率为,故C正确; 对于D,若方程ax2+bx+3=0有实数解,则Δ=b2-12a≥0,即b2≥12a, 则满足方程ax2+bx+3=0有实数解的样本点为(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,6),共6个,则“方程ax2+bx+3=0有实数解”发生的概率为,故D正确. 2.D　从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,样本点总数为5×5=25, 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的样本点有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10个, ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率P==. 3.A　1根算筹只能表示1,2根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9, 因此用5根算筹构成的两位数有14,18,41,81,23,27,63,67,32,72,36,76,共12个,其中32,72,36,76(共4个)能被4整除,所以所求概率为=. 4.C　1分钟内踢毽子的数目大于50的男员工有2名,分别记为a,b, 1分钟内踢毽子的数目大于50的女员工有3名,分别记为A,B,C, 从上述5人中随机抽取2人,所有的情况有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC,共10种, 其中,事件“恰有1人是男员工”包含的情况有aA,aB,aC,bA,bB,bC,共6种,故所求概率P==. 5.D　如图,S△ADO=S△ABO=×4×4=4 dm2,S△GHO=S△BEF=××4×4=1 dm2,S△MCF=××4×4=2 dm2. 将△ADO,△ABO,△GHO,△BEF,△MCF分别记为S1,S2,S3,S4,S5,从这5个三角形中任取2个,样本空间Ω={(S1,S2),(S1,S3),(S1,S4),(S1,S5),(S2,S3),(S2,S4),(S2,S5),(S3,S4),(S3,S5),(S4,S5)},共10个样本点. 记事件N表示“从5个三角形中任取2个,这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形的面积之和”,则事件N包含的样本点为(S1,S2),(S1,S5),(S2,S5),共3个,所以P(N)=. 6.A　由题图知阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10,所以从阳数和阴数中各取一数的所有情况共有5×5=25种, 满足差的绝对值大于5的情况有4种,分别为(1,8),(1,10),(3,10),(9,2),则所求概率P=. 7.答案　 解析　由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321,共6个;同理,由1,2,4组成的三位数有6个,由1,3,4组成的三位数有6个,由2,3,4组成的三位数有6个,所以样本空间中的样本点共有24个,这24个数出现的可能性是相等的.由1,2,3和1,3,4组成的三位数为“有缘数”,共12个,所以这个三位数为“有缘数”的概率为=. 8.解析　(1)根据分层抽样可知,水培、岩棉培、基质培分别抽取的株数为20,10,10, 所以解得 (2)单株产量在[150,200)内的草莓中,记水培的4株草莓分别为a,b,c,d,岩棉培的2株草莓分别为e,f,基质培的1株草莓为g, 则随机抽取2株草莓的情况有ab,ac,ad,ae,af,ag,bc,bd,be,bf,bg,cd,ce,cf,cg,de,df,dg,ef,eg,fg,共21种, 其中恰有1株草莓采用了岩棉培的情况有ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,eg,fg,共10种,故所求概率P=. 9.解析　(1)由调查数据可知,未参加志愿服务礼仪培训且未参加赛会应急救援培训的有28人, 故至少参加了其中一个培训的有50-28=22人, 因此从50名志愿者中随机选1名,其至少参加了其中一个培训的概率为=. (2)事件“从4名男同学和2名女同学中各随机选1人”包含的样本点有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8个, 事件“A1未被选中且B1被选中”包含的样本点有(A2,B1),(A3,B1),(A4,B1),共3个, 所以A1未被选中且B1被选中的概率为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $