1.3 向量的数乘（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

1.3　向量的数乘 基础过关练 题组一　向量的数乘 1.(多选题)(2025海南海口上海世外附属海口学校月考)已知λ,μ∈R,且a≠0,则下列命题中,正确的是(　　) A.当λ<0时,λa的方向与a的方向一定相反 B.当λ=0时,λa的方向具有任意性 C.|λa|=λ|a| D.当λμ>0时,λa的方向与μa的方向一定相同 2.(多选题)(2025甘肃陇南礼县白河中学月考)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的是(　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n 3.已知M为△ABC的边AB的中点,△ABC所在平面内有一个点P,满足=+,若||=λ||,则λ的值为(　　) A.2　　B.1　　C.　　D.4 题组二　向量的线性运算 4.(2023安徽淮北师范大学附属实验中学阶段练习)下列运算不正确的是(　　) A.-3·2a=-6a B.2(a+b)-(2b-a)=3a C.(a+2b)-(2b+a)=0 D.2(3a-b)=6a-2b 5.在梯形ABCD中,=3,则=(　　) A.-+　　B.-+ C.-+　　D.-- 6.(2025重庆南坪中学月考)如图所示,四边形ABCD是正方形,M,N分别为BC,DC的中点,若=λ+μ,λ,μ∈R,则2λ-μ的值为(　　) A.　　B.　　C.-　　D. 7.(2025福建泉州段考)化简:(a-2b)+(4a-2b)-(2a+14b)=　　　　.  8.(2025四川遂宁中学月考)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=　　　　.  9.(2025江西宜春丰城中学月考)已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=　　　　.  10.(2025天津第二新华中学月考)如图所示,在平行四边形AOBD中,C为AB与OD的交点,设向量=a,=b,且=,=,用a,b表示,,. 题组三　共线向量及其应用 11.(2025重庆广益中学月考)设a,b为两个非零向量,则“a=2 023b”是“=”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.(多选题)(2024甘肃酒泉敦煌中学月考)下列命题中错误的有(　　) A.a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b B.若a∥b,b∥c,则a∥c C.若a∥b,则存在实数λ,使得a=λb D.||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 13.已知a,b是两个不共线的向量,在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　　) A.矩形　　 B.非特殊平行四边形 C.梯形　　 D.以上都不对 14.(2024辽宁县级重点高中协作体期末)已知a与b为不共线的向量,=a+b,=2a-b,=λa+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则2λ+μ=(　　) A.0　　B.1　　 C.2　　D.3 15.如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.已知=p,=q,则=　　　　　.(用p,q表示)  16.(2023重庆部分学校大联考)已知向量m,n不共线,且=3m-2n,=m-3n,=2m+λn. (1)用m,n表示; (2)若∥,求实数λ的值. 17.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,且=ke1-4e2,=-e1+ke2,=e1+2e2. (1)若,方向相反,求k的值; (2)若A,C,D三点共线,求k的值. 能力提升练 题组一　向量的线性运算 1.(多选题)(2025吉林长春东北师大附中段考)在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下述结论中正确的是(　　) A.=　　B.=(+)　　 C.++=0　　D.++=0 2.(2025河北石家庄新乐第一中学月考)如图,A,B,C三点在半径为1的圆O上运动,且AC⊥BC,M是圆O外一点,OM=2,则|++2|的最大值是(　　) A.5　　B.8　　 C.10　　D.12 3.(2025山东省实验中学月考)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是(　　) A.-= B.+= C.-= D.+= 题组二　共线向量及其应用 4.(多选题)(2025甘肃武威月考)已知在平面上,O是直线l外一点,A,B是直线l上给定的两点,C是直线l上的动点,且满足=t+(1-t)·,则下列说法正确的是(　　) A.当t=时,C为线段AB的中点 B.当C为线段AB的一个三等分点时,t= C.当t∈(0,1)时,点C在线段AB上(不包含端点) D.当点C在线段AB的延长线上时,t>1 5.(2023河南省实验中学月考)O是平面上一定点,△ABC中,AB=AC,一动点P满足:=+λ(+)(λ>0),则直线AP通过△ABC的　　　　.(请在横线上填入正确的序号)  ①外心;②内心;③重心;④垂心. 6.(2024广东深圳东北师大附中深圳学校月考)设e1,e2是两个不共线的向量,如果=3e1-2e2,=4e1+e2,=8e1-9e2. (1)求证:A,B,D三点共线; (2)试确定λ的值,使2λe1+e2和e1+λe2共线; (3)若e1+te2与te1+e2不共线,试求t的取值范围. 答案与分层梯度式解析 1.3　向量的数乘 基础过关练 1.ABD 2.AB 3.A 4.C 5.A 6.D 11.A 12.ABC 13.C 14.D 1.ABD　易知A正确; 对于B,当λ=0时,λa=0,零向量的方向具有任意性,故B正确; 对于C,|λa|=|λ||a|,故C错误; 对于D,由λμ>0可得λ,μ同为正数或同为负数, 所以λa和μa都与a同向或都与a反向,所以λa与μa是同向的,故D正确. 2.AB　易知A,B正确;对于C,若m=0,则不能推出a=b,故C错误;对于D,若a=0,则m,n的关系不确定,故D错误. 3.A　如图,由=+,可得四边形PACB是平行四边形,∵M为△ABC的边AB的中点,∴PC=2PM.∵||=λ||,∴λ=2. 4.C　(a+2b)-(2b+a)=0. 5.A　在梯形ABCD中,∵=3, ∴=++=-++=-+. 6.D　=+=+=+(+)=+, 所以=-,所以=-, 又=λ+μ,所以λ=,μ=-, 则2λ-μ=+=. 7.答案　a-2b 解析　(a-2b)+(4a-2b)-(2a+14b) =a-b =a-2b. 8.答案　-3a+4b 解析　由3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0, 则x=-3a+4b. 9.答案　 解析　由-3+2=0,得-=2(-),即=2,则=, 所以=+=,所以=, 所以||=||,所以=. 10.解析　∵=-=a-b, ∴=+=+=+=b+(a-b)=a+b. ∵=a+b,∴=+=+=+==a+b, ∴=-=a+b-a-b=a-b. 11.A　若a=2 023b,则a,b同向共线,所以=; 若=,则a,b同向共线,此时a=2 023b不一定成立. 故“a=2 023b”是“=”的充分不必要条件. 12.ABC　对于A,a=b的充要条件是|a|=|b|且a与b方向相同,故A中命题错误; 对于B,当b=0时,a,c不一定平行,故B中命题错误; 对于C,当a≠0,b=0时,a∥b,但不存在实数λ,使得a=λb,故C中命题错误; 对于D,根据向量加、减法的三角形法则,可知||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|成立,故D中命题正确. 13.C　由题意可得=++=-8a-2b,则=2,故与共线,且||=2||,∴四边形ABCD是梯形. 14.D　∵A,B,C三点共线,∴,共线,故可设=k(k≠0), 由题意得=-=a-2b, =-=(λ-2)a+(μ+1)b, 则a-2b=k(λ-2)a+k(μ+1)b, 即[1-k(λ-2)]a=[k(μ+1)+2]b, ∴则λ-2=,故2λ+μ=3. 15.答案　-p+q 解析　∵=-3=3,∴=. ∴=+=+=+(-), 又=p,=q, ∴=q+(-p),∴=-p+q. 16.解析　(1)=-=m-3n-(3m-2n)=-2m-n. (2)因为∥,所以∃t∈R,使得=t, 即3m-2n=t(2m+λn),所以(3-2t)m=(tλ+2)n, 又m,n不共线,所以解得 故λ的值为-. 17.解析　(1)由题意知,∥,则存在λ∈R,使得=λ,即ke1-4e2=λ(-e1+ke2),整理,得(k+λ)e1=(kλ+4)e2. 因为e1,e2是不共线向量, 所以解得或 又因为,方向相反,所以故k的值为2. (2)=+=(k+1)e1-2e2,由A,C,D三点共线,得存在μ∈R,使得=μ,即(k+1)e1-2e2=μ(-e1+ke2),整理,得(k+μ+1)e1=(kμ+2)e2, 因为e1,e2是不共线向量,所以解得或故k的值为1或-2. 能力提升练 1.BCD 2.C 3.A 4.AC 1.BCD　如图,连接AD,BE,CF,EF, 对于A,因为E,F分别是边CA,AB的中点,所以=,故A错误; 对于B,因为D为BC的中点,所以=(+),故B正确; 对于C,++=(++)=0,故C正确; 对于D,=-2=-(+),则++=0,故D正确. 2.C　连接AB,CO,如图所示, 因为AC⊥BC,所以AB为圆O的直径,故O为AB的中点,所以+=2, 所以|++2|=|2+2(+)|=|4+2|≤4||+2||=4×2+2×1=10, 当且仅当M,O,C三点共线且,同向时,等号成立, 因此|++2|的最大值是10. 3.A　-=-==,故A正确; +=+==,故B错误; -=-==,故C错误; +=+,==-,若+=,则=0,不合题意,故D错误. 4.AC　由=t+(1-t)可得-=t(-),即=t. 当t=时,=,即C为线段AB的中点,故A正确; 当C为线段AB的一个三等分点时,C可能是靠近点B的三等分点也可能是靠近点A的三等分点,所以t=或t=,故B错误; 当t∈(0,1)时,,同向,所以点C在线段AB上(不包含端点),故C正确; 当点C在线段AB的延长线上时,,反向,所以t<0,故D错误. 5.答案　①②③④ 解析　设BC的中点为D,则AD为△ABC的BC边上的中线,所以+=2, 由题意得-=λ(+)=2λ, 即=2λ,∴A,P,D三点共线, 结合AB=AC可得,直线AP通过△ABC的外心、内心、垂线和重心. 6.解析　(1)证明:因为=+=4e1+e2+8e1-9e2=12e1-8e2=4(3e1-2e2)=4, 所以与共线. 又因为AB与BD有公共点B, 所以A,B,D三点共线. (2)因为2λe1+e2与e1+λe2共线, 所以存在实数μ,使2λe1+e2=μ(e1+λe2), 所以(2λ-μ)e1=(λμ-1)e2. 因为e1,e2不共线,所以 所以λ=±. (3)假设e1+te2与te1+e2共线,则存在实数m,使e1+te2=m(te1+e2),所以(1-tm)e1=(m-t)e2. 因为e1,e2不共线,所以所以t=±1. 因为e1+te2与te1+e2不共线,所以t≠±1. 故t的取值范围为{t|t∈R,t≠±1}. 7 学科网（北京）股份有限公司 $