1.5.1 数量积的定义及计算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学课件聚焦平面向量数量积，涵盖定义、投影向量、几何意义、性质及运算律，通过从定义到几何直观再到性质应用的脉络，以知识辨析和典例为支架，帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于通过“知识辨析”深化概念理解，如对比投影向量差异，结合“数学思维”推导运算律，以典例（如等腰直角三角形向量计算）培养“数学眼光”。学生能提升逻辑推理能力，教师可借助系统资料优化教学效率。

平面向量的数量积 设a,b是任意两个向量,<a,b>是它们的夹角,则定义a·b=|a||b|cos<a,b>为a与b的数量积. 由平面向量夹角的定义可知,<a,b>=α的取值范围为[0,π]. 知识点 1 1.5　向量的数量积 1.5.1　数量积的定义及计算 必备知识 清单破 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　投影向量 知识点 2 1.如图,作向量 =a, =b,两个向量的夹角为α,过点B作BB1⊥OA于点B1,则 = + ,其 中 与 共线.        我们把 称为 在 方向上的投影向量,投影向量的长度| |=| ||cos α|称为投影长. | |cos α刻画了投影向量的大小和方向,称为 在 方向上的投影. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 2.数量积的几何意义 一般地,a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积,或b的长度|b|与a在 b方向上的投影|a|cos α的乘积. 由此得到利用数量积计算b在非零向量a方向上的投影|b|cos α的公式:|b|cos α= . 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|= . (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点 3 第1章　平面向量及其应用 高中同步 性质拓展 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2; (2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2; (3)cos θ= . 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　数量积的运算律 　　设a,b,c是任意向量,λ是任意实数,则如下运算律成立: (1)交换律:a·b=b·a; (2)与数乘的结合律:a·(λb)=λ(a·b); (3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 知识点 4 第1章　平面向量及其应用 高中同步 知识辨析 1.设非零向量a与b的夹角为θ,则角θ的范围与a·b的符号有什么关系? 2.a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量一样吗? 3.对于任意非零向量a,b,(a·b)2=a2·b2一定成立吗? 4.已知a,b,c为非零向量,若|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|成立吗? 5.若两个非零向量a,b满足a⊥b,则|a+b|=|a-b|成立吗? 第1章　平面向量及其应用 高中同步 一语破的 1.因为a·b=|a||b|cos θ,且|a|>0,|b|>0,所以当cos θ>0,即0°≤θ<90°时,a·b>0;当cos θ=0,即θ=90°时,a ·b=0;当cos θ<0,即90°<θ≤180°时,a·b<0. 2.不一样.a在b方向上的投影向量为 · =|a|·cos θ· ;b在a方向上的投影向量为 · = |b|·cos θ· (其中θ为a,b的夹角). 3.不一定.设非零向量a,b的夹角为θ,则(a·b)2=(|a|·|b|·cos θ)2=|a|2·|b|2·cos2θ,显然只有当cos2θ=1时, (a·b)2=|a|2·|b|2=a2·b2成立,否则不成立. 4.不一定.|a·c|=|a||c||cos θ|,其中θ是向量a和c的夹角,|b·c|=|b||c||cos α|,其中α是向量b和c的夹角, 而|cos θ|和|cos α|不一定相等,故|a·c|=|b·c|不一定成立. 5.成立.设 =a, =b,两个非零向量a,b满足a⊥b时,a+b和a-b是以OA和OB为邻边的矩形的 两条对角线对应的向量,根据矩形的对角线相等,得|a+b|=|a-b|. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 向量数量积的运算  求向量的数量积时,需明确两个关键点:模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性 运算,则需先利用向量数量积的运算律进行化简. 解决几何图形中向量数量积的运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的 特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量. 关键能力 定点破 定点 1 第1章　平面向量及其应用 高中同步 典例　在等腰直角△ABC中,AB=AC=1, =3 ,2 = + ,则 · = (　    ) A.- 　    B.- 　    C. 　    D.  C 思路点拨    用 , 表示 , ,然后利用平面向量的运算律及数量积的定义求解. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 解析    ∵ =3 , ∴ =  = ( - ), ∴ = + =  +  . ∵2 = + , ∴ - = - ,即 = , ∴ =  =  +  , ∴ = - =  -  . 由题意得 ⊥ ,| |=| |=1, ∴ · = ·  =-  +  =- + = . 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　向量数量积的应用  定点 2 1.根据公式cos θ= 计算非零向量a,b的夹角. 2.对于非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0,可以用来解决平面几何图形中有关垂直的问题. 3.a·a=a2=|a|2和|a|= 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据. 4.对于平面向量a,b,可以利用公式a·b= [(a+b)2-(a-b)2]将向量的数量积转化为这两个向量的 “和向量”和“差向量”的平方差的 ,再进行计算求解. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 典例　如图,在△ABC中,已知| |=2,| |=6 ,∠BAC=45°,边BC,AC上的中线AM,BN相交于 点P.   (1)求| |; (2)求∠MPN的余弦值. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 解析     (1)由题意可得M为BC的中点, 所以 = ( + ), 所以 = ( + +2 · ), 所以 = ( + +2| |·| |·cos∠BAC), 又| |=2,| |=6 ,∠BAC=45°, 所以 = × =25, 所以| |=5. (2)由题意可得N为AC的中点, 所以 = - =  - , 第1章　平面向量及其应用 高中同步 所以| |=  = = = , 又 = ( + ), 所以 · = ( + )·  =   = × =13, 所以cos< , >=  第1章　平面向量及其应用 高中同步 = = . 易知∠MPN为向量 与 的夹角, 所以cos∠MPN= , 所以∠MPN的余弦值为 . 第1章　平面向量及其应用 高中同步 $