14.4 用样本估计总体（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体”，系统涵盖平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差及百分位数等核心知识点，通过果切消费、环境治理等现实案例导入，构建从定义、计算、性质到应用的递进式学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，如通过果切消费者年龄分布、空气质量指数等案例抽象统计量；用数学思维设计课后辨析题培养推理能力，如辨析众数、中位数的唯一性；以数学语言描述数据规律，如频率分布直方图中数字特征的估算。这一设计助力学生提升数据分析素养，教师可借助系统案例与辨析题优化教学，提高课堂效率。

平均数、众数、中位数 14.4 用样本估计总体 必备知识 清单破 知识点 1 1.平均数 (1)平均数的定义 一般地,我们把总体中所有数据的算术平均数称为总体均值,又称总体平均数,它通常可以代 表总体的水平.在进行统计分析时,我们经常用样本平均数估计总体均值. (2)平均数的计算 ①如果有n个数据a1,a2,…,an,那么 称为这n个数据a1,a2,…,an的平均数,一般记为  = . 第14章　统计 高中同步 ②一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为p1,p2,…,pn,则其平均数为x1p1+x2p2+…+xnpn. ③如果将总体分为k层,第j层抽取的样本为xj1,xj2,…, ,第j层的样本量为nj,样本平均数为 ,j= 1,2,…,k,记 nj=n,那么所有数据的样本平均数为 =  xjt=  (nj ). (3)平均数的性质 如果数据x1,x2,…,xn的平均数为 ,那么数据mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数是m +a.     2.众数 　　一般地,我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数. 3.中位数 　　一般地,将一组数据按照从小到大的顺序排成一列,如果数据的个数为奇数,那么排在正 中间的数据就是这组数据的中位数;如果数据的个数为偶数,那么排在正中间的两个数据的 平均数即为这组数据的中位数. 第14章　统计 高中同步 极差、方差、标准差 知识点 2 1.极差:我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差. 2.方差 (1)方差的定义 设一组样本数据x1,x2,…,xn,其平均数为 ,则称s2=  (xi- )2为这个样本的方差,简称样本方差. (2)方差的计算 ①s2=  (xi- )2= [(x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2]. ②一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为p1,p2,…,pn,则其方差为p1(x1- )2+p2(x2- )2+…+pn(xn- )2. ③一般地,如果总体分为k层,第j层抽取的样本为xj1,xj2,…, ,第j层的样本量为nj,样本平均数 为 ,样本方差为 ,j=1,2,…,k,记 nj=n,那么,所有数据的样本方差为 =   (xjt- )2=  nj [ +( - )2]. 第14章　统计 高中同步 (3)方差的性质 设数据x1,x2,…,xn的平均数为 ,方差为s2,则 ①s2=  ; ②数据x1+a,x2+a,…,xn+a的方差为s2; ③数据ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2; ④数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2. 3.标准差 方差的算术平方根s= 为样本的标准差,简称样本标准差.标准差刻画了数据的离 散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小. 第14章　统计 高中同步 百分位数 知识点 3 1.k百分位数的特点 　　一般地,一组数据的k百分位数是这样一个值pk,它使得这组数据中至少有k%的数据小于 或等于pk,且至少有(100-k)%的数据大于或等于pk. k百分位数也称为第k百分位数或k%分位数. 如果将样本数据从小到大排列成一行,那么k百分位数pk所处位置如图所示.   2.四分位数 　　中位数即为50百分位数,我们也把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数. 25百分位数和75百分位数分别称为下四分位数和上四分位数. 第14章　统计 高中同步 知识辨析 1.一组数据的众数可以是一个或几个,中位数和平均数也具有相同的结论,对吗? 2.中位数一定是样本数据中的某个数吗? 3.极差是刻画数据离散程度的度量值,能够明确反映一组数据的离散程度,对吗? 4.标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据 在样本平均数周围越分散,对吗? 5.如果一组数据中的每个数都减去同一个非零常数,那么这组数据的平均数改变,方差不变, 对吗? 6.若一组样本数据的24百分位数是30,则在这组数据中至少有24%的数据大于或等于30,这种 说法对吗? 第14章　统计 高中同步 一语破的 1.不对.中位数和平均数都是唯一的. 2.不一定.一组数据按从小到大的顺序排列后,如果有奇数个数据,那么处于正中间位置的数 据是中位数;如果有偶数个数据,那么正中间两个数据的平均数是中位数. 3.不对.极差虽然是刻画数据离散程度的度量值,但它反映的是一组数据变化的最大幅度,只 对数据中的极端值敏感,不能明确反映一组数据的离散程度. 4.不对.标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散;标准差越小,表明各个样本 数据在样本平均数周围越集中. 5.对.根据平均数和方差的性质,一组数据中的每个数都减去同一个非零常数后,方差不变,平 均数改变,新数据的平均数等于原平均数减去这个常数. 6.不对.根据k百分位数的特点可知,在这组数据中至少有76%的数据大于或等于30. 第14章　统计 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 众数、中位数、平均数的应用 1.众数、中位数和平均数的优缺点 名称 优点 缺点 众数 ①体现了样本数据的最大集中点; ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息; ②有时无法客观地反映总体特征 中位数 ①不受数据中极端值的影响; ②容易计算,便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感 平均数 能较好地反映样本数据的全体信息 ①任何一个数据的改变都会引起平均数的改变; ②数据越“离群”,对平均数的影响越大 第14章　统计 高中同步 2.频率分布直方图中的数字特征 (1)样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. (2)样本中位数可依据“中位数左边和右边的小矩形的面积和相等”求出. (3)样本众数可以用最高的小矩形底边中点的横坐标近似代替. 第14章　统计 高中同步 典例 果切是一种新型的水果售卖方式,商家通过对整果进行消洗、去皮、去核、冷藏等操 作后,包装组合销售,在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下,果切更能满足消费者的即食 需求. (1)统计得到10名果切消费者每周购买果切的次数依次为1,7,4,7,4,6,6,3,7,5,求这10个数据的 平均数 与众数; (2)统计600名果切消费者的年龄,他们的年龄均处于5岁到55岁,按照[5,15),[15,25),[25,35),[35, 45),[45,55]分组,得到如图所示的频率分布直方图. 第14章　统计 高中同步   ①估计这600名果切消费者中年龄不小于35岁的人数; ②估计这600名果切消费者年龄的中位数及平均数(同组数据用该组区间中点值代替,计算结 果均保留整数). 第14章　统计 高中同步 解析    (1)这10个数据的平均数 = =5,众数为7. (2)①这600名果切消费者中年龄不小于35岁的人数为(0.015+0.005)×10×600=120. ②由0.020×10=0.2<0.5,(0.020+0.035)×10=0.55>0.5,可得年龄的中位数在区间[15,25)内,设为a 岁, 所以0.20+(a-15)×0.035=0.5,解得a= +15≈24, 所以这600名果切消费者年龄的中位数的估计值为24岁. 年龄的平均数的估计值为10×0.020×10+20×0.035×10+30×0.025×10+40×0.015×10+50× 0.005×10=25(岁). 第14章　统计 高中同步 定点 2 极差、方差和标准差的应用 1.极差体现了一组数据的波动范围,可以刻画数据的离散程度,极差越大,离散程度越大;极差 越小,离散程度越小.极差没有充分利用数据信息,只能简单测定数据的波动情况. 2.方差与标准差 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程 度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,但标准差的大小不会超过极差. (2)标准差、方差的取值范围是[0,+∞),标准差、方差为0时,样本中的各数据相等,说明数据 没有波动. 第14章　统计 高中同步 典例 (多选)某环保局对辖区内甲、乙两个地区的环境治理情况进行检查督导,若连续10天, 每天空气质量指数(单位:μg/m3)均不超过100,则认为该地区环境治理达标,否则认为该地区环 境治理不达标.已知甲、乙两地区经过连续10天检查,所得数据符合以下特征:甲地区各数据 的平均数为80,方差为40,乙地区各数据的平均数为70,方差为90.则下列推断一定正确的是  (　     ) A.甲、乙两地区这10天检查所得的20个数据的平均数是75 B.甲、乙两地区这10天检查所得的20个数据的方差是65 C.甲地区环境治理达标 D.乙地区环境治理达标 ACD 第14章　统计 高中同步 解析    甲、乙两地区这10天检查所得的20个数据的平均数是 =75,故A正确; 设甲、乙两地区这10天检查所得的数据分别为xi,yi,i=1,2,3,…,10, 则 =  (xi-80)2=40,得 (xi-80)2=400,  =  (yi-70)2=90,得 (yi-70)2=900, 由 =80,得  [10(xi-80)]= ×10 xi- ×10×800= ×10×800- ×10×800=0, 由 =70,得  [10(yi-70)]= ×10 yi- ×10×700= ×10×700- ×10×700=0, 甲、乙两地区这10天检查所得的20个数据的方差s2=  [(xi-75)2+(yi-75)2] =  (xi-75)2+  (yi-75)2 =  (xi-80+5)2+  (yi-70-5)2 第14章　统计 高中同步 =  [(xi-80)2+10(xi-80)+25]+  [(yi-70)2-10(yi-70)+25]     =  (xi-80)2+  [10(xi-80)]+ ×10×25+  (yi-70)2-  [10(yi-70)]+ ×10×25= ×400+ ×900+25=90,故B错误; 由甲地区各数据的平均数为80,方差为40,可知如果这10天中有任一天的空气质量指数大于100 μg/m3,那么各数据的方差就一定大于 ×(100-80)2=40, 所以能确定甲地区这连续10天内,每天的空气质量指数均不超过100 μg/m3,所以甲地区环境 治理达标,故C正确; 由乙地区各数据的平均数为70,方差为90,可知如果这10天中有任一天的空气质量指数大于100 μg/m3,那么各数据的方差就一定大于 ×(100-70)2=90, 所以能确定乙地区这连续10天内,每天的空气质量指数均不超过100 μg/m3,所以乙地区环境 治理达标,故D正确. 第14章　统计 高中同步 定点 3 百分位数的求解 1.计算有n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤 第1步,将所有数值按从小到大的顺序排列; 第2步,计算n· ; 第3步,如果结果为整数,那么k百分位数位于第n· 位和下一位数之间,通常取这两个位置上 数值的平均数为k百分位数; 第4步,如果n· 不是整数,那么将其向上取整(即其整数部分加上1),在该位置上的数值即为k 百分位数. 2.根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要计算频率分布直方图中各组数据的 频率,然后估计百分位数在哪一组,最后设出百分位数并应用方程思想列方程即可求解. 第14章　统计 高中同步 典例1 某年级120名学生在一次百米测试中的成绩(单位:秒)全部介于13秒与18秒之间.将测 试成绩分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图.如果 从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么测试成绩(单位:秒)的70百分位数约 为　　　    .   16.5 第14章　统计 高中同步 思路点拨    由频率分布直方图得到各组的频率,确定该百分位数在哪一组内,再利用小矩形 的面积就是频率列方程,求出该百分位数. 解析    设测试成绩(单位:秒)的70百分位数为x. 因为 =0.55, =0.85,所以 x∈[16,17),因此0.55+(x-16)× = 0.70,解得x=16.5. 第14章　统计 高中同步 典例2 加强青少年体育锻炼,重视体质健康已经在社会上形成高度共识.为了调查某校各班参 加两项以上体育项目锻炼小组的人数,在全校随机抽取五个班级,把每个班级参加两项以上 体育项目锻炼小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,标准差为2,若样本数据各不相 同,则样本数据的80百分位数是　　　    . 9 解析    设5个样本数据分别为a,b,c,d,e(a,b,c,d,e为不同的非负整数). 由题意可得a+b+c+d+e=35,(a-7)2+(b-7)2+(c-7)2+(d-7)2+(e-7)2=20. 由5个不同数的平方和为20,可知这5个平方数必为0,1,1,9,9.由|x-7|=3得x=10或x=4,由|x-7|=1得 x=6或x=8,由|x-7|=0得x=7,故样本数据为4,6,7,8,10.因为5×80%=4,所以样本数据的80百分位数 为 ×(8+10)=9. 第14章　统计 高中同步 $