13.2.4 平面与平面的位置关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦平面与平面的位置关系，系统梳理平行、垂直的判定与性质定理，二面角的概念及求法。通过知识辨析问题导入，衔接线面关系旧知，构建从线到面的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于表格化呈现定理、典例结合解题模板，以数学思维引导推理，用符号与图形语言精准表达。如四棱锥面面平行证明中，通过比例关系推导线线平行，培养逻辑推理与空间观念，助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

两个平面的位置关系 必备知识 清单破 知识点 1 13.2.4 平面与平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 两平面平行 没有 公共点 α∥β   两平面相交 有一条 公共直线 α∩β=a   第13章　立体几何初步 高中同步 两个平面平行 知识点 2 1.两个平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 判 定 定 理 如果一个平面内的两 条相交直线与另一个 平面平行,那么这两 个平面平行  ⇒α∥β   性 质 定 理 两个平面平行,如果 另一个平面与这两个 平面相交,那么两条 交线平行  ⇒a∥b   第13章　立体几何初步 高中同步 2.相关结论 (1)已知两个平面平行,则一个平面内的任一直线都平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行. 第13章　立体几何初步 高中同步 两个平行平面间的距离 知识点 3 1.公垂线、公垂线段 　　与两个平行平面都垂直的直线,叫作这两个平行平面的公垂线,它夹在这两个平行平面 间的线段,叫作这两个平行平面的公垂线段. 2.两个平行平面间的距离 (1)定义:把两个平行平面的公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. (2)性质:两个平行平面间的距离等于其中一个平面上的任意一点到另一个平面的距离. 第13章　立体几何初步 高中同步 二面角 知识点 4 1.二面角 半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面 二面角的相关 概念 一般地,一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,每个半平面叫作二面角的面 画法   记法 二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q 第13章　立体几何初步 高中同步 2.二面角的平面角 定义 一般地,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 图示   符号 OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB是二面角α-l-β的平面角 规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角 范围 二面角θ的大小范围是0°≤θ≤180° 第13章　立体几何初步 高中同步 平面与平面垂直 知识点 5 1.定义:一般地,如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直. 2.画法 第13章　立体几何初步 高中同步 3.平面与平面垂直的判定定理和性质定理 判定 定理 文字 语言 如果一个平面过另一个平面 的垂线,那么这两个平面垂直 图形 语言   符号 语言  ⇒α⊥β 第13章　立体几何初步 高中同步 性质 定理 文字 语言 两个平面垂直,如果一个平面 内有一条直线垂直于这两个 平面的交线,那么这条直线与 另一个平面垂直 图形 语言   符号 语言 α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥ β 第13章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行吗? 2.若平面α∥平面β,l⊂平面β,m⊂平面α,则一定有l∥m吗? 3.若平面α内有无数条直线平行于平面β,则α∥β一定成立吗? 4.若l⊥α,则过l有无数个平面与α垂直,这种说法正确吗? 5.若O为二面角α-l-β的棱l上一点,AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂β,则∠AOB是二面角α-l-β的平面角 吗? 6.若两个平面互相垂直,则一个平面内的一条直线与另一个平面一定垂直吗? 7.两个平面同时与第三个平面相交,若两交线平行,则这两个平面一定平行吗? 第13章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.不一定.这两条直线必须相交才能判定两平面平行. 2.不一定.当且仅当l与m共面时,l与m才平行. 3.不一定成立. 4.正确. 5.不是.“AO⊥BO”不符合二面角的平面角的定义,应该为“AO⊥l,BO⊥l”. 6.不一定.在其中一个平面内垂直于两平面的交线的直线才与另一个平面垂直. 7.不一定.这两个平面可能平行,也可能相交. 第13章　立体几何初步 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 两个平面平行的判定 判定平面与平面平行的常用方法 (1)利用定义,证明两个平面没有公共点,常用反证法. (2)利用判定定理,要证明两平面平行,只需在其中一个平面内找到两条平行于另一个平面的 相交直线.应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线, 若找不到再作辅助线. (3)转化为线线平行,若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平 行,则两个平面平行. (4)利用平行平面的传递性,即α∥β,β∥γ,则α∥γ. 第13章　立体几何初步 高中同步 典例 如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且 PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.   第13章　立体几何初步 高中同步 证明    证法一:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,所以MQ∥AD,NQ∥BP. 因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC, 所以NQ∥平面PBC. 因为底面ABCD为平行四边形, 所以BC∥AD,所以MQ∥BC, 因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC, 所以MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ=Q,所以根据两个平面平行的判定定理,得平面MNQ∥平面PBC. 证法二:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,所以MQ∥AD,NQ∥BP. 因为底面ABCD为平行四边形,所以BC∥AD,所以MQ∥BC. 因为BC∩BP=B,BC,BP⊂平面PBC,MQ∩NQ=Q,MQ,NQ⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PBC. 第13章　立体几何初步 高中同步 判定平面与平面垂直的常用方法 (1)利用定义,说明两个半平面所成的二面角是直二面角; (2)利用判定定理,在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为线面 垂直; (3)利用性质,两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面. 定点 2 两个平面垂直的判定 第13章　立体几何初步 高中同步 典例 如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证: (1)DE=DA; (2)平面BDM⊥平面ECA; (3)平面DEA⊥平面ECA.   第13章　立体几何初步 高中同步 思路点拨    (1)取EC的中点F,连接DF,证明Rt△EFD≌Rt△DBA,从而可得DE=DA. (2)取CA的中点N,连接MN,BN,可得MN∥BD,从而B,D,M,N四点共面,由EC⊥BN,CA⊥BN,可得 BN⊥平面ECA,进而得平面BDM⊥平面ECA. (3)由DM∥BN,BN⊥平面ECA可推出DM⊥平面ECA,再由面面垂直的判定定理得平面DEA⊥ 平面ECA. 第13章　立体几何初步 高中同步 证明    (1)取EC的中点F,连接DF, 因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以EC⊥BC. 易知DF∥BC,所以DF⊥EC. 因为BD∥EC,所以BD⊥平面ABC, 因为AB⊂平面ABC,所以BD⊥AB. 因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD. 又∠DFE=∠DBA=90°,FD=BC=AB, 所以Rt△EFD≌Rt△DBA, 故DE=AD. 第13章　立体几何初步 高中同步   (2)取CA的中点N,连接MN,BN, 则MN∥EC,CA⊥BN. 因为EC∥BD,所以MN∥BD, 所以B,D,M,N四点共面. 因为EC⊥平面ABC,BN⊂平面ABC, 所以EC⊥BN. 又EC∩CA=C,EC,CA⊂平面ECA, 第13章　立体几何初步 高中同步 所以BN⊥平面ECA. 因为BN⊂平面MNBD,所以平面MNBD⊥平面ECA,即平面BDM⊥平面ECA. (3)易知DM∥BN, 因为BN⊥平面ECA,所以DM⊥平面ECA. 又DM⊂平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA. 第13章　立体几何初步 高中同步 解题模板 1.利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的步骤   2.应用面面垂直的性质定理的策略 (1)应用步骤:面面垂直 线面垂直 线线垂直. (2)应用类型:①证明线面垂直、线线垂直;②作线面角或作二面角的平面角. 提醒:面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据,我们要作一个平面的一条垂线,通常 是先找这个平面的一个垂面,再在这个垂面中作交线的垂线即可. 第13章　立体几何初步 高中同步 定点 3 求二面角的大小 1.解决二面角问题的策略   第13章　立体几何初步 高中同步 2.作二面角的三种常用方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如 图①,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (2)垂面法:过棱上一点作垂直于棱的平面,该平面与二面角的两个半平面相交,其交线所成的 角即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (3)垂线法:过二面角的一个半平面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B 向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角(或其补角).如图③,∠ AOB为二面角α-l-β的平面角.        第13章　立体几何初步 高中同步 典例 如图所示,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AB=2,BC= ,PB= ,求二面角P-BC-A的大小.   第13章　立体几何初步 高中同步 解析    因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC. 又因为AC⊥BC,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC. 又因为PC⊂平面PAC,所以BC⊥PC. 所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角. 在Rt△PBC中,因为PB= ,BC= , 所以PC=2. 在Rt△ABC中,AC= = , 所以在Rt△PAC中,cos∠PCA= = , 所以∠PCA=45°, 即二面角P-BC-A的大小为45°. 第13章　立体几何初步 高中同步 　　与面面位置关系有关的探索性问题与线面位置关系的形式和解法一样,注意要探索的点 一般是线段的中点、等分点、端点等特殊位置的点. 定点 4 与面面位置关系有关的探索性问题 第13章　立体几何初步 高中同步 典例 如图,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=3,PC=CD=2,PC ⊥平面ABCD,在线段AB上是否存在一点E,使平面PDE⊥平面PAC?若存在,说明E点的位置; 若不存在,请说明理由.   第13章　立体几何初步 高中同步 解析    在线段AB上存在点E,使平面PDE⊥平面PAC,此时DE⊥AC.证明如下: ∵PC⊥平面ABCD, ∴PC⊥DE. ∵DE⊥AC,AC∩PC=C, ∴DE⊥平面PAC. ∵DE⊂平面PDE, ∴平面PDE⊥平面PAC. 在直角梯形ABCD中,∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=3,CD=2, ∴AC= ,∠ABC=45°, ∴sin∠ACD= ,cos∠ACD= ,∠DAE=135°. 由DE⊥AC,可得∠ACD=∠ADE, 第13章　立体几何初步 高中同步 则sin∠AED=sin(∠DAE+∠ADE) =sin(∠DAE+∠ACD) =sin∠DAEcos∠ACD+cos∠DAEsin∠ACD = × + × = , 由正弦定理可得 = , 即 = ,得AE= . 又易知AB=2 ,∴AE= AB. ∴线段AB上存在点E,使平面PDE⊥平面PAC,E为AB的中点. 第13章　立体几何初步 高中同步 $