第9章 统计 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　在分层随机抽样中忽视抽样比或者权重致错 1.(2025重庆八中期中)某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生,为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中部中抽取了40名学生,则n为(　　) A.60　　B.80　　C.100　　D.120 2.(2024湖南长沙雅礼中学月考)为调查某地区中学生每天的睡眠时间,采用样本量比例分配的分层随机抽样,抽取初中生800人,其每天睡眠时间的均值为9 h,方差为1,抽取高中生1 200人,其每天睡眠时间的均值为8 h,方差为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为(　　) A.0.96　　B.0.94　　 C.0.79　　D.0.75 3.(2025上海南洋模范中学开学考试)某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1 000人、2 000人、3 000人,用分层随机抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30的样本,则抽取的高一、高二、高三年级的学生人数分别为　　　　;若抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为162 cm、168 cm、172 cm,依此估计该校学生的平均身高是　　　　.  易错点2　应用频率分布直方图解题时把纵坐标当成频率而致错 4.(2024福建宁德寿宁第一中学月考)某小区从2 000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查,发现他们的月用电量都在50~350 kW·h范围内,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示,则(　　) A.小区居民月用电量的平均数为186.5,极差为300 B.小区居民月用电量的中位数为171,众数为175 C.可以估计小区居民月用电量的85%分位数为262.5 D.小区居民月用电量不低于250 kW·h的约有380户 5.(多选题)(2024浙江绍兴第一中学期中)在某市高三年级举行的一次模拟考试中,某学科共有20 000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数,满分为100分)作为样本进行统计,样本容量为n,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示,其中,成绩落在区间[50,60)内的人数为16,则(　　) A.图中x=0.016 B.样本容量n=1 000 C.估计该市全体学生成绩的平均数为71.6 D.该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号,则授予“优秀学生”称号的学生的最低考试成绩大约为77.25分 6.(2025山东青岛十九中期中)某市将举办马拉松比赛,其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.该市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组[45,55),第二组[55,65),第三组[65,75),第四组[75,85),第五组[85,95],绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人,担任本市的宣传者.若本市宣传者中来自第二组的面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40,来自第四组的面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50,请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 易错点3　对百分位数理解不到位致错 7.(2025河南郑州质量预测)某中学共有3 000名学生,为了了解学生书籍阅读量情况,该校从全校学生中随机抽取200名学生,统计他们2024年阅读的书籍数量,由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况,下列说法中正确的是(注:同一组数据用该组区间的中点值作代表)(　　) A.估计阅读量的众数为8 B.估计阅读量的中位数为6.5 C.估计阅读量的平均数为6.76 D.估计阅读量的第70百分位数为8.86 8.(2025山西晋城模拟)已知10个样本数据的平均值为10,方差为6,则这10个数据的65%分位数的最大值为(　　) A.11　　B.12　　C.13　　D.14 9.(2024黑龙江大庆实验中学月考)已知互不相等的4个正整数从小到大排列为a1,a2,a3,a4.若它们的和为12,且这4个数据的极差是中位数的2倍,求这4个数据的第75百分位数. 思想方法练 一、数形结合思想在统计中的应用 1.(2025广东梅州段考)为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示),记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为　　　　.(用“<”连接)  2.(2025河北秦皇岛期末)甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示: 则在这7天中: ①甲城市日均气温的中位数与平均数相等; ②甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定; ③乙城市日均气温的极差为3 ℃; ④乙城市日均气温的众数为5 ℃. 以上判断正确的是　　　　.(写出所有正确判断的序号)  二、函数与方程思想在统计中的应用 3.(2025四川遂宁段考)某校为了了解高三年级学生的身体素质状况,在开学初举行了一场身体素质体能测试,以便对体能不达标的学生进行针对性的训练,促进他们体能的提升.现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩,并把测试成绩分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组,绘制成频率分布直方图(如图所示),其中[90,100]这一组对应的纵坐标为a,则该次体能测试成绩的80%分位数约为　　　　分.  4.(2025黑龙江牡丹江期中)设样本数据x1,x2,…,x2 022的平均数为,方差为s2,若数据2(x1+1),2(x2+1),…,2(x2 022+1)的平均数比方差大4,求s2-的最大值. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.D 2.B 4.C 5.AD 7.D 8.C 1.D　根据分层随机抽样可得=(易错点),解得n=120. 易错警示 　　解决有关分层随机抽样的问题时,先根据题目条件得出或计算出相应比例,或者各部分的权重,再列式求解. 2.B　初中生和高中生的权重分别为=和=(易错点),则估计该地区中学生每天睡眠时间的均值为×9+×8=8.4(h),则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为×[1+(9-8.4)2]+×[0.5+(8-8.4)2]=0.94. 3.答案　5,10,15;169 cm 解析　因为高一、高二及高三年级分别有学生1 000人、2 000人、3 000人,用分层随机抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30的样本, 则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为30×=5,30×=10,30×=15, 因此高一、高二及高三年级的权重分别为=,=,=(易错点). 又抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为162 cm、168 cm、172 cm, 所以该校学生的平均身高约为162×+168×+172×=169(cm). 4.C　对于A,小区居民月用电量的平均数为50×0.002 4×75+50×0.003 6×125+50×0.006 0×175+50×0.004 4×225+50×0.002 4×275+50×0.001 2×325=186,极差小于300,故A错误; 对于B,小区居民月用电量的众数为=175, 因为50×(0.002 4+0.003 6)=0.3,50×(0.002 4+0.003 6+0.006 0)=0.6, 所以小区居民月用电量的中位数在[150,200)内,设中位数为m, 则0.3+(m-150)×0.006 0=0.5,解得m=,故B错误; 对于C,因为50×(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.004 4)=0.82<0.85, 50×(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.004 4+0.002 4)=0.94>0.85, 所以估计小区居民月用电量的85%分位数在[250,300)内,设为x,则0.82+(x-250)×0.002 4=0.85,解得x=262.5,故C正确; 对于D,样本中小区居民月用电量不低于250 kW·h的频率为0.002 4×50+0.001 2×50=0.18, 所以小区月用电量不低于250 kW·h的约有2 000×0.18=360户,故D错误. 易错警示 　　利用频率分布直方图解决相关问题时,要注意纵坐标并不是频率,而是,频率分布直方图中小矩形的面积才是频率. 5.AD　对于A,由(x+0.030+0.040+0.010+0.004)×10=1,解得x=0.016,故A正确; 对于B,因为成绩落在区间[50,60)内的人数为16, 所以样本容量n=16÷(0.016×10)=100,故B不正确; 对于C,估计该市全体学生成绩的平均数为0.016×10×55+0.030×10×65+0.040×10×75+0.010×10×85+0.004×10×95=70.6,故C不正确; 对于D,设学生考试成绩的75%分位数为y, 因为(0.016+0.030)×10=0.46<0.75,0.46+0.040×10=0.86>0.75,所以y∈[70,80), 则0.46+(y-70)×0.040=0.75,解得y=77.25, 所以授予“优秀学生”称号的学生的最低考试成绩大约为77.25分,故D正确. 6.解析　(1)由题图得(0.005+a+0.045+0.02+0.005)×10=1,解得a=0.025. (2)根据题意知平均数=0.05×50+0.25×60+0.45×70+0.2×80+0.05×90=69.5, 0.05+0.25+0.45=0.75<0.8,0.75+0.2=0.95>0.8, 设第80百分位数为b, 所以b∈[75,85), 则0.75+0.02×(b-75)=0.8,解得b=77.5, 所以估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5,第80百分位数为77.5. (3)设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数分别为,,方差分别为,, 则可估计=62,=80,=40,=50, 第二组和第四组频率的比值为=, 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数==70, 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差s2=[+]+[+]=×[40+(62-70)2]+×[50+(80-70)2]=+=. 7.D　估计众数为=6,因此A错误; 设中位数为x,易知x在[4,8]内,所以0.06×4+0.1×(x-4)=0.5, (易错点:由直方图确定中位数,中位数两侧的频率相等) 解得x=6.6,因此B错误; 平均数=0.24×2+0.4×6+0.28×10+0.06×14+0.02×18=6.88,因此C错误; 设第70百分位数为y,易得y在[8,12)内,所以0.24+0.4+0.07×(x-8)=0.7, (易错点:由直方图确定第70百分位数,依据为第70百分位数左侧的频率为0.7) 解得y=≈8.86,因此D正确. 8.C　设这10个样本数据分别为x1,x2,…,x10,且x1≤x2≤…≤x10,(易错点:求百分位数应先对数据排序) 因为10×65%=6.5,所以这10个数据的65%分位数为x7(易错点). 设x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均值为m,方差为,x7,x8,x9,x10的平均值为n,方差为, 由题意知=10,则m=, 由方差计算公式得6= ≥=,整理得(n-10)2≤9,解得7≤n≤13, 所以x7≤n≤13,当且仅当==0时等号成立, 即x1=x2=x3=x4=x5=x6=8,x7=x8=x9=x10=13时,x7取到最大值13. 9.解析　这组数据的极差为a4-a1,中位数为, 由题意得a4-a1=2×=a2+a3,即a4=a1+a2+a3, 又a1+a2+a3+a4=12, 所以2a4=12,解得a4=6,则a1+a2+a3=6. 因为a1,a2,a3为正整数且互不相等, 所以a1=1,a2=2,a3=3. 因为75%×4=3,所以这4个数据的第75百分位数为a3和a4的平均数(易错点),即==. 易错警示 　　当计算n个数据的第p百分位数时,首先按从小到大排列原始数据,然后计算i=n×p%,若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据. 思想方法练 1.答案　s2<s3<s1 解析　观察题中三个频率分布直方图,可得甲的数据绝大部分都处在两端,数据大多离平均数远,表现得最分散,所以其标准差最大;乙的数据绝大部分都在平均数左右,数据最集中,所以其标准差最小;丙的数据分布均匀,数据偏离平均数的程度比甲低,集中程度比乙低,故其标准差介于甲、乙之间.故答案为s2<s3<s1. 2.答案　①④ 解析　甲城市7天的日均气温分别为5 ℃,3 ℃,6 ℃,3 ℃,7 ℃,5 ℃,6 ℃; 乙城市7天的日均气温分别为5 ℃,4 ℃,6 ℃,5 ℃,5 ℃,4 ℃,6 ℃. 由题中折线图读出原始数据,进而利用相关公式得出中位数、平均数、众数、极差等,体现了数形结合思想. 对于①,甲城市日均气温的中位数为5 ℃,平均数为=5(℃),故①正确; 对于②,根据题中折线图知乙城市的日均气温更稳定,故②错误; 对于③,乙城市日均气温的极差为2 ℃,故③错误; 对于④,乙城市日均气温的众数为5 ℃,故④正确. 思想方法 　　数形结合思想是统计学中很重要的一种思想方法.一方面用图形可以直观表示相关统计量;另一方面可以借助图形分析样本数据的分布状况、变化趋势、变量间的关系等,进而估计总体的状况.常见的统计图有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等,要熟练掌握它们的特点. 3.答案　92 解析　根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为1列方程. 由(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a)×10=1, 解得a=0.025. 因为0.02+0.04+0.14+0.2+0.35=0.75, 所以该次体能测试成绩的80%分位数落在[90,100]内,设80%分位数为x分, 根据百分位数的定义列方程. 则(x-90)×0.025=0.8-0.75,解得x=92. 4.解析　根据平均数和方差的性质,可得数据2(x1+1),2(x2+1),…,2(x2 022+1)的平均数为2(+1),方差为22s2=4s2. 根据题意列式,将s2-转化为关于的一元二次函数,利用二次函数的性质求最值. 由题意得,2(+1)-4s2=4,即s2=-, 则s2-=--=--. 利用方差的性质求的取值范围. 因为s2≥0,所以-≥0,即≥1, 故当=1时,s2-取得最大值,最大值是-1. 思想方法 　　在统计中,利用相关计算公式列出方程(组)解决统计问题,或建立函数关系式,进而利用函数与方程知识解决统计问题. 7 学科网（北京）股份有限公司 $