6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量的应用，涵盖平面几何中平行、垂直、夹角等问题的向量解决方法，以及物理中力、速度的合成与分解及功的计算，通过知识辨析衔接向量运算与实际问题，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于结合典例（如正方形求夹角、渡河问题）和两种解题方法（基底法、坐标法），培养数学思维（推理、运算）与数学语言（模型化表达），助力学生提升用向量解决实际问题的能力，教师可直接利用案例与方法优化教学。

用向量研究平面几何问题 　　平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题,都可以利用向量的线性运算及数量积解 决. 知识点 1 6.4 平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法　6.4.2　向量在物理中的应用举例 必备知识 清单破 第六章　平面向量及其应用 高中同步 　用向量研究物理问题 知识点 2 1.物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移等都是向量,它们的合成与分解就是向量的 加减及数乘运算. 2.力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力和位移两个向 量的数量积,即W=F·s=|F||s|·cos θ(θ为F和s的夹角). 第六章　平面向量及其应用 高中同步 知识辨析 1.若 ∥ ,则AB∥CD,对吗? 2.要想以最短航程渡过一条流淌的河流,船头的方向必须垂直于河岸,对吗? 第六章　平面向量及其应用 高中同步 一语破的 1.不对.也可能A,B,C,D四点共线. 2.不对.考虑到水的流速,要使航程最短,船的速度与水流的合速度必须垂直于河岸,而不是船 头的方向垂直于河岸. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 　向量在平面几何中的应用  关键能力 定点破 定点 1 1.利用向量可以解决平面几何问题,如: 几何问题 向量运算 A、B两点间的距离 | |=  夹角∠ABC cos∠ABC=  第六章　平面向量及其应用 高中同步 几何问题 向量运算 A、B、C三点共线  =λ (λ∈R) 直线AB∥CD  =λ (λ∈R) 直线AB⊥CD  · =0 第六章　平面向量及其应用 高中同步 2.用向量方法解决平面几何问题的三个步骤 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 3.用向量解决平面几何问题的两种方法 (1)基底法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表 示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算. (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的距离、夹角、垂直、平 行等问题转化为代数运算. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 典例　如图,正方形ABCD的边长为6,E是AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE 交于点M,求∠EMF的余弦值.   第六章　平面向量及其应用 高中同步 解析    解法一(基底法):设 =a, =b,则a⊥b,|a|=|b|=6, 则 = - = a-b, = + =a+ b, 则 · = · = a2- b2=6, | |= = =3 ,| |= = =2 , cos∠EMF=cos< , >= = = , ∴∠EMF的余弦值为 . 解法二(坐标法):如图所示,建立以A为原点的平面直角坐标系, 第六章　平面向量及其应用 高中同步   则D(0,6),E(3,0),A(0,0),F(6,2),∴ =(3,-6), =(6,2), ∴cos∠EMF= = = , ∴∠EMF的余弦值为 . 第六章　平面向量及其应用 高中同步 　向量在物理中的应用  用向量方法解决物理问题的步骤 (1)问题转化:把物理问题转化为数学问题; (2)建立模型:建立以向量为载体的数学模型; (3)求解模型:求向量的模、夹角、数量积等; (4)回答问题:把所得的数学结论回归到物理问题中. 定点 2 第六章　平面向量及其应用 高中同步 典例1　如图所示,一个物体O受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动 了8 m,其中F1的大小为2 N,方向为北偏东30°,F2的大小为4 N,方向为北偏东60°,F3的大小为6 N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.   第六章　平面向量及其应用 高中同步 解析    以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,   则F1=(1, ),F2=(2 ,2),F3=(-3,3 ), 所以F=F1+F2+F3=(2 -2,2+4 ). 由题意得位移s=(4 ,4 ), 故F·s=(2 -2)×4 +(2+4 )×4  =6 ×4 =24 . 所以合力F所做的功为24  J. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 典例2    长江某段南北两岸平行,如图,江面宽度d=1 km,一艘游船从南岸码头A出发航行到北 岸.已知游船的速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为 θ(0°<θ<180°),北岸的点A'在A的正北方向. (1)当θ=120°时,试判断游船到达北岸的位置是在A'的东侧还是西侧,并说明理由; (2)当cos θ多大时,游船能到达A'处?需要航行多长时间?(不必近似计算) (3)当θ=120°时,游船到达北岸的实际航程是多少? 第六章　平面向量及其应用 高中同步 解析    (1)v1在v2反方向上的分速度的大小为|v1|cos 60°=5 km/h,而|v2|=4 km/h, ∴游船到达北岸的位置在A'的西侧. (2)要使游船能到达A'处, 则v1在v2反方向上的分速度的大小为|v1|cos(180°-θ)=|v2|=4 km/h, ∴cos(180°-θ)= ,故cos θ=- . 又0°<θ<180°, ∴sin θ= , ∴v1在垂直于河岸的方向上的分速度的大小为|v1|sin θ=2  km/h, ∴需要航行的时间为 =  h. (3)游船航行的时间为 =  h, 第六章　平面向量及其应用 高中同步 ∴游船在平行于河岸的方向上航行的距离为(|v1|cos 60°-|v2|)× =  km, ∴游船到达北岸的实际航程为 =  km. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 $