第6章 专题强化练10 空间角的有关计算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

专题强化练10　空间角的有关计算 1.(2023浙江杭州源清中学期末)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=3,AB=2,则异面直线A1B与B1C夹角的余弦值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2023甘肃武威联考)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E是B1C1的中点,AB=2,AA1=,则BE与平面BB1D1D夹角的正弦值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(2025北京东城月考)祈年殿(图1)是北京市的标志性建筑之一,距今已有600多年的历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱,分三圈环形均匀排列,内圈有4根约为19米高的龙井柱,代表一年四季;中圈有12根约为13米高的金柱,代表十二个月;外圈有12根约为6米高的檐柱,象征十二个时辰.已知由一根龙井柱AA1和两根金柱BB1,CC1形成的几何体ABC-A1B1C1(图2)中,AB=AC≈8米,∠BAC≈144°,则平面A1B1C1与平面ABC夹角的正切值为(　　) 　 A.　　B.　　C.　　D. 4.(2024河南新乡封丘一中月考)如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,测得从D,C到水库底面与水坝斜面的交线AB的距离分别为DA=5 m,CB=5 m,又测得AB的长为5 m,CD的长为5 m,则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为　　　　.  5.(2023江苏G4联盟联考)如图,在轴截面为正方形ABCD的圆柱中,M,N分别为弧,的中点,且在平面ABCD的两侧. (1)求证:四边形ANCM是矩形; (2)求二面角B-MN-C的平面角的余弦值. 6.(2025山东泰安第一中学期中)如图,已知三棱台ABC-A1B1C1中,平面ABB1A1⊥平面BCC1B1,△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=2AA1=2A1B1=2BB1=2. (1)证明:AB1⊥平面BCC1B1; (2)求直线AB1与平面ABC所成角的大小; (3)在线段CC1上是否存在点F,使得二面角F-AB-C的大小为?若存在,求出线段CF的长;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 专题强化练10　空间角的有关计算 1.A 2.A 3.B 1.A　如图所示,连接BC1交B1C于点E,取A1C1的中点D,连接DE,B1D, 易知E为BC1的中点,所以DE∥A1B 且DE=A1B,则∠DEB1(或其补角)为异面直线A1B与B1C的夹角. 易得A1B=B1C===,则DE=B1E=,又B1D===, 故在△DB1E中,cos∠DEB1===. 2.A　如图所示,连接A1C1,交B1D1于点O, 易得DD1⊥平面A1B1C1D1,OC1⊂平面A1B1C1D1,所以DD1⊥OC1, 又B1D1⊥OC1,B1D1∩DD1=D1,B1D1,DD1⊂平面BB1D1D,所以OC1⊥平面BB1D1D, 取OB1的中点H,连接EH,易得EH∥OC1,所以EH⊥平面BB1D1D, 连接BH,则∠HBE为BE与平面BB1D1D的夹角. 因为AB=2,AA1=, 所以EH=OC1=,BE==2, 所以sin∠HBE==. 3.B　如图,在棱AA1上取点D,使AD=BB1=CC1,连接B1D,C1D,则平面ABC∥平面DB1C1,则平面A1B1C1与平面ABC的夹角,即为平面A1B1C1与平面DB1C1的夹角, 由题意有△ABC≌△DB1C1,即△DB1C1是等腰三角形,DB1=DC1≈8,∠B1DC1≈144°,则∠DB1C1=∠DC1B1=18°, 取B1C1的中点E,连接DE,A1E,则DE⊥B1C1, 依题意知A1D⊥平面DB1C1, 因为B1C1⊂平面DB1C1,所以A1D⊥B1C1,又DE∩A1D=D,DE,A1D⊂平面A1DE,所以B1C1⊥平面A1DE, 又A1E⊂平面A1DE,所以B1C1⊥A1E,所以∠A1ED就是平面A1B1C1与平面DB1C1的夹角, 因为A1D≈19-13=6,DE=8sin 18°,所以在Rt△A1DE中,tan∠A1ED==. 4.答案　 解析　如图,过点B作BE∥AD且BE=AD,连接DE. 因为AD⊥AB,所以四边形ABED是矩形, 所以BE⊥AB,又BC⊥AB,所以∠CBE是所求二面角的平面角. 因为DE∥AB,BC⊥AB,所以BC⊥DE, 又BE⊥DE,BC∩BE=B,BC,BE⊂平面BCE, 所以DE⊥平面BCE, 又CE⊂平面BCE,所以DE⊥CE,即∠DEC=90°, 因为四边形ABED是矩形, 所以AB=DE=5 m,BE=AD=5 m, 故在Rt△DEC中,CE===5(m), 在△CBE中,由余弦定理得cos∠CBE===-, 又0<∠CBE<π,所以∠CBE=, 故水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为. 5.解析　(1)证明:设正方形ABCD的边长为2a,取弧的中点Q,使Q与M同在平面ABCD的一侧,连接MQ,BQ,CQ,NQ, 则BC与NQ互相垂直平分,且BC=NQ=2a, 所以四边形BNCQ为正方形,BQ=NC=a, 因为M为弧的中点,所以MQ􀱀AB, 所以四边形ABQM为平行四边形, 所以AM􀱀BQ,所以AM􀱀CN, 所以四边形ANCM为平行四边形, 又AN==a,MN==2a, 所以AM2+AN2=MN2,所以AM⊥AN, 所以四边形ANCM是矩形. (2)由(1)知,MB=MC==a,BN=CN=a,MN=2a, 所以MN2=MB2+BN2,MN2=MC2+CN2, 所以∠MBN=∠MCN=, 所以△MNB≌△MNC. 设Rt△MBN的斜边MN上的高为h, 则h==a, 作BP⊥MN于点P,连接CP, 因为∠BNP=∠CNP,BN=CN,PN=PN, 所以△BPN≌△CPN, 则∠CPN=∠BPN=90°,所以CP⊥MN, 则∠BPC即为二面角B-MN-C的平面角, 易得BP=CP=a,BC=2a, 在△BPC中,由余弦定理得cos∠BPC===-, 由图可知,二面角B-MN-C的平面角为钝角, 所以二面角B-MN-C的平面角的余弦值为-. 6.解析　(1)证明:在三棱台ABC-A1B1C1中,易得AB∥A1B1,因为AB=2AA1=2A1B1=2BB1=2,所以在等腰梯形ABB1A1中,cos∠ABB1==, 在△ABB1中,由余弦定理得A=AB2+B-2AB·BB1cos∠ABB1=3, 则AB2=A+B,即AB1⊥BB1, 又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1,平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1,AB1⊂平面ABB1A1,所以AB1⊥平面BCC1B1. (2)过B1作B1H⊥AB,垂足为H,如图, 由(1)知AB1⊥平面BCC1B1,因为BC⊂平面BCC1B1, 所以AB1⊥BC, 又AB⊥BC,AB∩AB1=A,AB,AB1⊂平面ABB1A1, 所以BC⊥平面ABB1A1, 因为B1H⊂平面ABB1A1,所以BC⊥B1H, 又AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,所以B1H⊥平面ABC, 所以∠B1AB即为直线AB1与平面ABC的夹角, 在Rt△AB1B中,cos∠B1AB==,所以∠B1AB=, 所以直线AB1与平面ABC所成的角为. (3)假设存在点F,使得二面角F-AB-C的大小为,延长AA1,BB1,CC1,交于一点P,由AB∥A1B1知△PA1B1∽△PAB, 则===, 则PA=PB=AB=2,则△PAB为正三角形, 由BC⊥平面ABB1A1,BC⊂平面ABC,得平面ABC⊥平面ABB1A1,即平面ABC⊥平面PAB,取AB的中点N,连接PN,则PN⊥AB, 又平面ABC∩平面PAB=AB,PN⊂平面PAB,所以PN⊥平面ABC, 作FE∥PN交CN于E,则FE⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,所以AB⊥FE, 作ED⊥AB于D,连接FD,则ED即为FD在平面ABC上的投影, 又DE∩FE=E,DE,FE⊂平面DEF,所以AB⊥平面DEF, 又FD⊂平面DEF,所以AB⊥FD,所以∠FDE即为二面角F-AB-C的平面角,即∠FDE=, 设EF=t,则DE=3t,易得=,==,则+=+=1,易得PN=,则+=1,解得t=,因此==, 又CN==,PN⊥CN,所以PC==2,则CC1=,CF=, 因为CF=<CC1=, 所以存在满足题意的点F,且CF=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $