第6章 §6 6.3 球的表面积和体积（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦立体几何初步中球的表面积与体积，涵盖球的大圆小圆、切线、公式及外接内切球等核心知识点。通过知识辨析题导入，衔接前期立体几何基础，为复杂几何体的外接内切问题构建学习支架。 其亮点在于以补形法、等体积法等培养空间观念与逻辑推理，如三棱锥补成长方体求外接球，正四棱锥用勾股定理计算半径。通过典例解析规范数学表达，助力学生提升直观想象与解题能力，为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

6.3　球的表面积和体积 必备知识 清单破 　球的大圆和小圆 　　球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆,被不经过球心的平面截得的圆称为球的 小圆. 知识点 1 第六章　立体几何初步 高中同步 　球的切线 　　当直线与球有唯一交点时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的切点.过球外一点 的所有切线的切线长都相等. 知识点 2 第六章　立体几何初步 高中同步 　球的表面积及体积公式 知识点 3 　 表面积公式 S球面=4 πR2(其中R为球的半径) 体积公式 V球=     πR3(其中R为球的半径) 第六章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.将一个球的半径扩大到原来的两倍,则其体积也扩大到原来的两倍,对吗? 2.长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长吗? 3.正方体的内切球与外接球的体积之比为多少? 4.球的体积和表面积之间有怎样的数量关系? 第六章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.不对.体积扩大到原来的8倍. 2.等于. 3.1∶3 .设正方体的棱长为a,则其内切球的半径为 a,外接球的半径为 a,又两个球的体 积之比等于它们的半径的立方之比,故它们的体积之比为1∶3 . 4.球的体积V= πR3,表面积S=4πR2, = = ,其中R为球的半径. 第六章　立体几何初步 高中同步 关键能力 定点破 空间几何体的外接球、内切球  　　处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一 般情况下,由于球的对称性,球心总在几何体的特殊位置,比如中心、对角线的中点等.解决此 类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”或“接 点”作出轴截面,把空间问题转化为平面问题来解决. 定点 第六章　立体几何初步 高中同步 一、正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球(正方体的棱长为a) 1.外接球:球心是正方体的中心;直径是正方体的体对角线长,半径R= a. 2.内切球:球心是正方体的中心;直径是正方体的棱长a,半径R= . 3.与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心;直径是正方体的面对角线长,半径R= a. 二、长方体的外接球(长方体的长、宽、高分别为a,b,c) 　　长方体外接球的球心是体对角线的中点;直径是长方体的体对角线长,半径R=  . 第六章　立体几何初步 高中同步 三、棱锥的外接球、内切球 1.可补形成长方体的三棱锥的外接球 (1)一条侧棱为高且底面是直角三角形的三棱锥:设三棱锥的高为c,底面相互垂直的两条棱的 长分别为a和b,将三棱锥补成长方体,如图①②③所示,三棱锥的外接球的直径为长方体的体 对角线长,半径R= .       第六章　立体几何初步 高中同步 典例1 在三棱锥A-BCD中,已知AB,AC,AD两两垂直,且△BCD是边长为2的正三角形,求该三 棱锥的外接球的体积. 解析    由题意可得,三棱锥A-BCD为正三棱锥,且可以补成正方体,两者的外接球是同一个,正 方体的体对角线长就是外接球的直径. 设AB=x,则AC=AD=x, 因为AB⊥AC,所以BC= x,即 x=2,所以x= . 设三棱锥A-BCD的外接球的半径为R, 则2R= = = , 所以R= ,所以三棱锥A-BCD的外接球的体积为 πR3= π. (2)对棱相等的三棱锥:三棱锥中三组对棱分别相等.在三棱锥A-BCD中,AD=BC=x,AB=CD=y, AC=BD=z,将三棱锥补成长方体AMDN-QBPC,如图所示. 设BP=a,CP=b,DP=c, 第六章　立体几何初步 高中同步 则 故a2+b2+c2= , 因为长方体的体对角线长为三棱锥外接球的直径,所以外接球的半径为 =  .   第六章　立体几何初步 高中同步 典例2 在四面体A-BCD中,AB=CD= ,AD=BC= ,AC=BD=2 ,求四面体A-BCD外接球的 表面积. 解析    由题意可知,四面体A-BCD可补形成长方体BMDN-FCEA,如图所示,   则四面体A-BCD的外接球的直径为长方体的体对角线长,设AE=a,AF=b,AN=c, 则 故a2+b2+c2=32, 设四面体A-BCD的外接球的半径为R,则(2R)2=32,解得R2=8, 所以四面体A-BCD外接球的表面积为4πR2=4π×8=32π. 第六章　立体几何初步 高中同步 2.正四面体的外接球 　　方法1:设正四面体P-ABC的棱长为a,则底面正三角形的外接圆半径r= a,正四面体的 高h= a.设外接球的半径为R,易知外接球的球心O在高PO1上,如图①所示.在Rt△OAO1中, 利用勾股定理可得R2=(h-R)2+r2,即R2= + ,解得R= a.   　　方法2:将正四面体P-ABC补形为正方体,如图②所示,则外接球的直径为正方体的体对角 第六章　立体几何初步 高中同步 线长.设正四面体P-ABC的棱长为a,外接球的半径为R,则正方体的棱长x= a,故R= x=  a.   第六章　立体几何初步 高中同步 3.正四面体的内切球 　　如图所示,设正四面体P-ABC的棱长为a,则高PH= a,斜高PD= a,DH= a.设内切球 的半径为R,E为斜高PD与球的切点. 易知△POE∽△PDH,故 = ,即 = ,解得R= a.   第六章　立体几何初步 高中同步 4.正四棱锥的外接球 　　在正四棱锥P-ABCD中,O1是正方形ABCD的中心,O是四棱锥P-ABCD外接球的球心,设正 四棱锥的高为h,外接球的半径为R,底面正方形的外接圆的半径为r,易得r=BO1.当h>r时,外接 球的球心O在四棱锥内部(如图①),在Rt△OBO1中,根据勾股定理可得R2=(h-R)2+r2;当h=r时,外 接球的球心O与O1重合;当h<r时,外接球的球心O在四棱锥外部(如图②),在Rt△OBO1中,根据 勾股定理可得R2=(R-h)2+r2.不难发现,R2=(h-R)2+r2和R2=(R-h)2+r2实际上是一样的,所以不需要 提前判断外接球的球心是否在棱锥内部.        第六章　立体几何初步 高中同步 典例3 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该正四棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的 表面积. 解析    如图, 设底面正方形ABCD的中心为O1,正四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O, 则PO1为正四棱锥的高,O在直线PO1上. 设球O的半径为R,则R=AO=PO, 在Rt△AOO1中,AO2=A +O , 即R2=( )2+(4-R)2,解得R= . 所以该球的表面积为4πR2= π. 第六章　立体几何初步 高中同步 5.棱锥的内切球 　　一般利用等体积法求棱锥内切球的半径.先将原棱锥分割成几个以它的内切球球心为顶 点,所有面为底面的新棱锥(各新棱锥的高即为内切球的半径),所有新棱锥的体积之和等于原 棱锥的体积,设内切球的半径为R,则V棱锥= S表面积R,即R= . 　　注意:正四面体也可以利用这种方法求内切球的半径. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例4 已知正三棱锥P-ABC的底面边长为6,内切球的半径为1,求此三棱锥的高. 解析    如图,设正三棱锥P-ABC的内切球的球心为O,PH为正三棱锥P-ABC的高,PD为△PAB 中AB边上的高,则O在PH上,   易得DH= ×6sin 60°= , 设PH=h,则PD= , 所以S△PAB= ×6× =3 , 由VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC, 第六章　立体几何初步 高中同步 得 h× ×62×sin 60°= ×1× 3× ×6 + ×62×sin 60° , 即 (h-1)= ,解得h=3或h=0(舍去). 故此三棱锥的高为3. 第六章　立体几何初步 高中同步 四、直棱柱的外接球 　　以底面为直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1为例: 　　方法1:补形成长方体,三棱柱的各个顶点为长方体的顶点,则其外接球与长方体的外接球 相同. 　　方法2:如图,H为底面Rt△ABC的斜边AC的中点,即Rt△ABC外接圆的圆心,过H作OH∥ AA1,且OH= AA1,O在矩形AA1C1C内,则O为外接球的球心.在Rt△OHA中,OH2+AH2=OA2,若h 为直棱柱的高,r为Rt△ABC外接圆的半径, 则外接球的半径R= . 　　注意:如果直三棱柱的底面不是直角三角形,可利用正弦定理求其外接圆的半径. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例 在直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1,同时在三棱柱ABC-A1B1C1外有 一个外接球O2.若AB⊥BC,AB=3,BC=4,则球O2的表面积为　　　    . 29π 解析    ∵AB⊥BC,AB=3,BC=4,∴AC=5. 设球O1的半径为r, 由题得 (3r+4r+5r)= ×3×4,∴r=1, ∴棱柱的侧棱AA1=2r=2. ∴棱柱外接球的直径为 = = ,∴外接球的半径为 , ∴球O2的表面积为4π× =29π. 第六章　立体几何初步 高中同步   五、圆柱的外接球和内切球 1.圆柱的外接球 　　设圆柱的高为h,底面圆的半径为r,外接球的半径为R,如图所示.在直角三角形中,利用勾 股定理可得R2=r2+ ,解得R= .   第六章　立体几何初步 高中同步 2.圆柱的内切球 　　内切球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱的底面直径, 即当圆柱的底面直径等于高时,圆柱才有内切球. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例 若一个圆柱的表面积为S1,内切球的表面积为S2,外接球的表面积为S3,则S1∶S2∶S3=  (　    ) A.1∶2∶2　　　    B.1∶1∶1 C.3∶2∶4　　　    D.2∶3∶3 C 解析    设圆柱的母线长为l,内切球的半径为r,外接球的半径为R,画出轴截面如图所示,   则l=2r,R= r, 所以S1=2πrl+2πr2=6πr2,S2=4πr2,S3=4πR2=8πr2, 所以S1∶S2∶S3=6πr2∶4πr2∶8πr2=3∶2∶4. 第六章　立体几何初步 高中同步 六、圆锥的外接球和内切球 1.圆锥的外接球 　　设圆锥的底面半径、高分别为r,h,外接球的半径为R,如图所示,在直角三角形中,利用勾 股定理可得R2=r2+(h-R)2,解得R= .   　　注意:同前面的正四棱锥一样,圆锥外接球的球心也分在圆锥内部和在圆锥外部. 　　当h>r时,外接球球心O在圆锥内部,画出轴截面如图①,在Rt△OBC中,根据勾股定理可得 R2=(h-R)2+r2;当h=r时,外接球球心O与底面圆心重合;当h<r时,外接球球心O在圆锥外部,画出 轴截面如图②,在Rt△OBC中,根据勾股定理可得R2=(R-h)2+r2.不难发现,R2=(h-R)2+r2和R2=(R 第六章　立体几何初步 高中同步 -h)2+r2实际上是一样的,所以也不需要提前判断外接球球心是否在圆锥内部.        第六章　立体几何初步 高中同步 典例 已知圆锥的底面半径为2 ,侧面积为8 π,求该圆锥的外接球的表面积. 解析    设圆锥的母线长为a, 则圆锥的侧面积为2 π×a=8 π, 解得a=2 , 故圆锥的高为 =4, 设该圆锥的外接球的半径为R, 则R2=(2 )2+(4-R)2,解得R=3, 故该圆锥的外接球的表面积为4πR2=36π. 第六章　立体几何初步 高中同步 2.圆锥的内切球 　　设圆锥的底面半径、高和母线长分别为r,h,l,内切球的半径为R,轴截面如图所示,D为母 线PB与球的切点.   　　方法1:易知 = ,即 = ,解得R= . 　　方法2:连接OA,OB,利用等面积法,可得S△PAB=S△POA+S△POB+S△AOB,即 ×2r×h= ×(2r+2l)×R, 解得R= . 第六章　立体几何初步 高中同步 通过解决线面位置关系问题发展逻辑推理和直观想象的核心素养 学科素养 情境破 素养 素养解读 线面位置关系是立体几何中重要的学习内容,也是高考的必考点之一,主要考查线面、面面 平行或垂直关系的证明.在解决线面位置关系问题时,首先分析图形与条件,把已知线段的长 度、平行、垂直或相等关系在图形中标注出来,再结合定义、定理,综合结论寻找解决方法. 逻辑推理素养与直观想象素养是最应具备的两大素养,解决线面位置关系问题时,良好的空 间想象能力和严谨的推理必不可少. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例呈现 例题 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD, E,F分别是CD,PC的中点,求证: (1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. 第六章　立体几何初步 高中同步 解题思路    (1)因为平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,PA⊥ AD, 所以PA⊥底面ABCD.(利用面面垂直的性质定理,实现面面垂直到线面垂直的转化) (2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE, 所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以BE∥平面PAD.(利用线面平行的判定定理,实现线线平行到线面平行的转化) (3)因为AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,所以BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD, 因为CD⊂底面ABCD,所以PA⊥CD. 又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD, 所以CD⊥平面PAD.(利用线面垂直的判定定理,实现线线垂直到线面垂直的转化) 第六章　立体几何初步 高中同步 因为PD⊂平面PAD, 所以CD⊥PD.(由线面垂直的定义得出) 因为E,F分别是CD,PC的中点, 所以PD∥EF,所以CD⊥EF. 又CD⊥BE,EF∩BE=E,EF,BE⊂平面BEF, 所以CD⊥平面BEF.(利用线面垂直的判定定理,实现线线垂直到线面垂直的转化) 又CD⊂平面PCD, 所以平面BEF⊥平面PCD.(利用面面垂直的判定定理,实现线面垂直到面面垂直的转化) 第六章　立体几何初步 高中同步 思维升华 　　通过熟练掌握线面关系的判定定理、性质定理以及常见空间几何体的定义、特征,来培 养推理能力,发展逻辑推理素养. 　　通过观察、画图和识图提升空间感,培养空间想象能力,发展直观想象素养. 　　通过观察实物和模型,在头脑中建立起空间的感性认识,再抽象成空间几何体的直观图; 要多画图,从简单的点、线、面入手,再到平面图形的直观图、空间几何体的直观图;要具备 一定的识图能力,能够根据立体图形的直观图想象出空间几何体,也可以分解复杂的立体图 形. 第六章　立体几何初步 高中同步 $