第6章 §5 5.2 平面与平面垂直（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面与平面垂直，系统涵盖二面角及平面角、面面垂直的定义、判定与性质定理，通过从二面角概念切入，衔接线面垂直知识，构建递进式学习支架，帮助学生形成空间知识脉络。 其亮点在于结合知识辨析（如二面角平面角顶点位置无关性）、典例分析（正方体面面垂直证明、探索性问题参数求解）及“一作二证三求”方法，培养数学思维（逻辑推理）与数学眼光（空间观念）。学生能提升空间想象与推理能力，教师可借助系统资源优化教学效率。

5.2　平面与平面垂直 必备知识 清单破 二面角 知识点 1 1.半平面:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面. 2.二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱, 这两个半平面称为二面角的面. (2)记法:以直线AB(l)为棱、半平面α,β为面的二面角,记作二面角α-AB-β或α-l-β,如图所示.   第六章　立体几何初步 高中同步 (3)二面角的平面角: ①定义:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条 射线的夹角称为二面角的平面角,如图中的∠AOB.   ②范围:二面角的平面角的范围为[0,π]. ③直二面角:平面角是直角的二面角称为直二面角. ④二面角的大小可以由平面角度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度. 第六章　立体几何初步 高中同步 平面与平面垂直的定义 知识点 2 定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面 角,就说这两个平面互相垂直 画法   记法 α⊥β 第六章　立体几何初步 高中同步 平面与平面垂直的性质定理 知识点 3 文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直 图形语言   符号语言 α⊥β,α∩β=m,AO⊂α,AO⊥m⇒AO⊥β 第六章　立体几何初步 高中同步 知识拓展 平面与平面垂直的性质定理的三个作用: (1)证明直线与平面垂直. (2)证明直线与直线平行. (3)作平面的垂线. 第六章　立体几何初步 高中同步 平面与平面垂直的判定定理 知识点 4 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直 图形语言   符号语言 l⊂α,l⊥β⇒α⊥β 第六章　立体几何初步 高中同步 知识拓展 与两平面垂直有关的两个结论: (1)若一个平面与另一个平面的垂线平行,则这两个平面互相垂直.符号表示:l⊥α,l∥β⇒α⊥β. (2)一个平面与另一个平面的垂面平行,则这两个平面互相垂直.符号表示:α⊥γ,β∥γ⇒β⊥α. 第六章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.二面角的平面角的大小与角的顶点在棱上的位置有关系吗? 2.若α⊥β,α∩β=l,a⊥l,能断定a⊥β吗?如果不能,需要补充什么条件? 3.若a⊥α,a∥β,可以得到α⊥β吗? 4.若两个平面互相垂直,则一个平面内的一条直线一定与另一个平面垂直吗? 5.如果α⊥β,β⊥γ,那么平面α与平面γ有什么样的位置关系? 第六章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.没有.二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关. 2.不能,应补充条件:a⊂α. 3.可以.若a∥β,则在平面β内存在直线b,使得a∥b,所以b⊥α,所以α⊥β. 4.不一定.这条直线与另一个平面可以垂直、平行、斜交或在另一个平面内. 5.平行或相交. 第六章　立体几何初步 高中同步 关键能力 定点破 　平面与平面垂直的判定  证明平面与平面垂直的方法 (1)利用平面与平面垂直的定义证明 基本步骤: ①找出两相交平面所成二面角的平面角; ②证明这个平面角是直角; ③根据定义说明这两个相交平面互相垂直. (2)利用平面与平面垂直的判定定理证明 基本步骤: ①根据已知条件,在其中一个平面内寻找一条与另一个平面垂直的直线; ②选择恰当方法证明线面垂直; 定点 1 ③根据平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例 如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证: (1)DE=DA; (2)平面BDM⊥平面ECA; (3)平面DEA⊥平面ECA. 思路点拨    (1)取EC的中点F,连接DF,证明Rt△EFD≌Rt△DBA,从而可得DE=DA. (2)取CA的中点N,连接MN,BN,可得MN∥BD,从而B,D,M,N四点共面,由EC⊥平面ABC,可得EC ⊥BN,又CA⊥BN,所以可得BN⊥平面ECA,进而得平面BDM⊥平面ECA. (3)由DM∥BN,BN⊥平面ECA可推出DM⊥平面ECA,再由面面垂直的判定定理得平面DEA⊥ 平面ECA. 第六章　立体几何初步 高中同步 证明    (1)如图,取EC的中点F,连接DF. 因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以EC⊥BC. 易知DF∥BC,所以DF⊥EC. 因为BD∥EC,所以BD⊥平面ABC. 因为AB⊂平面ABC,所以BD⊥AB. 因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD. 又∠DFE=∠DBA,DF=BC=AB, 所以Rt△EFD≌Rt△DBA,故DE=DA. 第六章　立体几何初步 高中同步   (2)取CA的中点N,连接MN,BN,则MN∥EC,且MN= EC,CA⊥BN. 因为EC∥BD,所以MN∥BD, 所以B,D,M,N四点共面. 因为EC⊥平面ABC,BN⊂平面ABC,所以EC⊥BN. 又EC∩CA=C,EC⊂平面ECA,CA⊂平面ECA, 所以BN⊥平面ECA. 第六章　立体几何初步 高中同步 因为BN⊂平面MNBD, 所以平面MNBD⊥平面ECA, 即平面BDM⊥平面ECA. (3)易知DM∥BN, 又BN⊥平面ECA,所以DM⊥平面ECA. 又DM⊂平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA. 第六章　立体几何初步 高中同步 二面角  定点 2 1.求二面角的大小的步骤 　　简称“一作二证三求”. 第六章　立体几何初步 高中同步 2.作二面角的平面角的常见方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如 图①,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (2)垂面法:过棱上一点作垂直于棱的平面,该平面与二面角的两个半平面各有一条交线,这两 条交线的夹角即二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (3)垂线法:如图③,过锐二面角的一个半平面α内不在棱上的点A向另一个半平面β作垂线,垂 足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角(当二 面角α-l-β为钝角时,垂足B不在半平面β内,二面角α-l-β的平面角为∠AOB的邻补角). (4)射影面积法:若多边形的面积为S,它在一个平面内的射影图形的面积为S',且多边形所在平 面与该平面的夹角为θ,则cos θ= . 第六章　立体几何初步 高中同步 典例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是A1B1,BC,C1D1,B1C1的中点. (1)求证:平面MNF⊥平面NEF; (2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值.   第六章　立体几何初步 高中同步 解析    (1)证明:由N,F为所在棱的中点, 易得NF⊥平面A1B1C1D1. 因为MN⊂平面A1B1C1D1,所以NF⊥MN. 因为M,N,E为所在棱的中点, 所以△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形, 所以∠MNC1=∠B1NE=45°, 所以∠MNE=90°,所以MN⊥NE. 又NF∩NE=N,NF,NE⊂平面NEF, 所以MN⊥平面NEF. 又MN⊂平面MNF, 所以平面MNF⊥平面NEF. 第六章　立体几何初步 高中同步 (2)在平面NEF中,过点N作NG⊥EF于点G,连接MG(图略). 由(1)知MN⊥平面NEF, 又EF,NG⊂平面NEF,所以MN⊥EF,MN⊥NG, 因为NG∩MN=N,NG,MN⊂平面MNG, 所以EF⊥平面MNG,所以EF⊥MG, 所以∠MGN为二面角M-EF-N的平面角. 设该正方体的棱长为2. 在Rt△NEF中,NG= = , 故在Rt△MNG中,tan∠MGN= = = . 故二面角M-EF-N的平面角的正切值为 . 第六章　立体几何初步 高中同步 方法总结 求二面角的关键是找出(或作出)其平面角,再把平面角放到三角形中求解.一般采用垂线法来 作平面角,即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线,过垂足作 棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角. 第六章　立体几何初步 高中同步 与垂直有关的探索性问题  定点 3 1.空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直,这三种关系不是独立的,而是相互关 联的.它们之间的关系如下: 2.解题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角 线互相垂直等.还可以通过解三角形,求出一些所需要的条件,以解决一些较复杂的问题,要注 意转化思想的应用. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例1 如图,已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面,AB=AC=2,∠BAC=90°,点M,N分别为A' B和B'C'的中点.当AA'为何值时,CN⊥平面A'MN?   思路点拨    设AA'的长度为a,利用CN⊥平面A'MN列出方程求解. 第六章　立体几何初步 高中同步 解析    连接BN(图略),设AA'=a, 由题意知BC=2 ,NC=BN. ∵三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面, ∴平面A'B'C'⊥平面BB'C'C. ∵AB=AC,∴A'B'=A'C', 又N是B'C'的中点,∴A'N⊥B'C', 又平面A'B'C'∩平面BB'C'C=B'C', ∴A'N⊥平面BB'C'C,∴CN⊥A'N. 要使CN⊥平面A'MN,只需CN⊥BN即可. 在Rt△CC'N中,NC= , ∴BN=NC= , 第六章　立体几何初步 高中同步 由NC2+BN2=BC2, 得 = ,∴a= , ∴当AA'= 时,CN⊥平面A'MN. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例2 如图所示,在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是 AC,AD上的动点,且 = =λ(0<λ<1). (1)求证:无论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC; (2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?   第六章　立体几何初步 高中同步 解析    (1)证明:因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD. 因为∠BCD=90°,所以CD⊥BC. 又AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC, 所以CD⊥平面ABC.因为 = =λ(0<λ<1), 所以无论λ为何值,总有EF∥CD, 所以EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF, 所以无论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC. (2)由(1)易知BE⊥EF, 又平面BEF⊥平面ACD,平面BEF∩平面ACD=EF,BE⊂平面BEF, 所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC. 因为AB⊥平面BCD,BD,BC⊂平面BCD, 第六章　立体几何初步 高中同步 所以AB⊥BD,AB⊥BC. 因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, 所以BD= ,AB= tan 60°= , 所以AC= = . 由△ABC≌△AEB,得AB2=AE·AC, 解得AE= ,所以λ= = . 故当λ= 时,平面BEF⊥平面ACD. 第六章　立体几何初步 高中同步 $