8.2.2 两角和与差的正弦、正切（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

8.2.2　两角和与差的正弦、正切 基础过关练 题组一　给角求值 1.(2025山东菏泽第一中学月考)sin 65°cos 35°-cos 65°cos 55°=(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D. 2.(多选题)(2025浙江海宁高级中学月考)下列各式中,计算结果为1的是(　　) A.sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15° B.cos 43°cos 137°-sin 43°sin 137° C. D.sin220°+cos2340° 3.(2025吉林第二中学期末)求值: (1)sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°=　　　　;  (2)cos 20°cos 70°-sin 20°sin 70°=　　　　;  (3)=　　　　.  题组二　给值求值 4.(2025黑龙江哈尔滨六校联考)已知角α的终边上一点P(3,-4),则sin=(　　) A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D. 5.(2024山东临沂月考)已知tan(α+β)=,tan=,则tan的值是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 6.(2025甘肃甘南期中)在△ABC中,已知tan A,tan B为方程x2-6x+9=0的两个根,则tan C=　　　　.  7.(2025吉林松原五校期末联考)已知α∈,且sincos -cossin =,则cos α=　　　　.  8.已知锐角θ满足cos=-,则sin=　　　　.  题组三　给值求角 9.(2025江苏南京期中)在△ABC中,若tan B+tan C+tan Btan C=,则A=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 10.已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sin β=-,则α的值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 11.(2024上海闵行月考)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,且β∈,则β=　　　　.  12.(2025天津南开中学月考)已知α,β均为锐角,tan α=,cos β=,则α+β=　.  题组四　辅助角公式 13.(2025广东肇庆期中)函数f(x)=|sin x-cos x|的最小正周期是(　　) A.　　　　B.　　　　C.π　　　　D.2π 14.(2024河南洛阳月考)已知sin α+cos=,则sin=　　　　.  15.(2024辽宁沈阳第二中学期中)求值:=　　　　.  能力提升练 题组一　利用两角和与差的正弦、正切公式求值 1.=(　　) A.-1　　　　B.1　　　　C.　　　　D.- 2.(2025山东济宁期末)已知0<α<,0<β<,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 3.(2024辽宁鞍山第六中学质检)已知α,β均为锐角,sin α=3sin βcos(α+β),则tan α取得最大值时,tan(α+β)的值为(　　) A.　　　　B. C.1　　　　D.2 4.(多选题)已知α,β∈,2sin(α+β)=sin α·sin β,则下列说法正确的是(　　) A.tan αtan β的最小值为16 B.tan α+tan β的最大值为8 C.+的最小值为-1 D.-≤tan(α+β)<- 5.(2025辽宁抚顺期末)如图,角α的终边与单位圆在第一象限交于点P,且P的横坐标为,半径OP绕原点O逆时针旋转后与单位圆交于点Q,Q关于x轴的对称点为Q',角β的终边在OQ'上,则sin β=　　　　.  6.(2025河南信阳期中)已知函数f(x)=acos 2x+sin 2x(0<a≤1)的图象关于直线x=对称,若方程f(x)=m(m∈R)在上恰有1个实数根,则m的取值范围是　　　　.  7.(2024山东青岛五十八中阶段检测)已知函数f(x)=sin 2x-cos. (1)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值; (2)设α是锐角, f =,求sin α的值. 题组二　利用两角和与差的正弦、正切公式求角 8.(2024山东泰安新泰一中期末)已知0<β<α<,P(1,4)为角α终边上一点,且sin αsin+cos αcos=,则β=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 9.(2024陕西宝鸡期末)若角α,β满足2(cos2α·cos2β-sin2αsin2β)[tan(α+β)+tan(α-β)]=1,则α的值可能为(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D. 10.(2025山东东营期末)已知α,β都是锐角,2α+β=,tan αtan =2-,则α=　　　　.  答案与分层梯度式解析 8.2.2　两角和与差的正弦、正切 基础过关练 1.C 2.ACD 4.D 5.B 9.C 10.C 13.C 1.C　sin 65°cos 35°-cos 65°cos 55° =sin 65°cos 35°-cos 65°cos(90°-35°) =sin 65°cos 35°-cos 65°sin 35° =sin(65°-35°)=sin 30°=. 2.ACD　sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=sin(75°+15°)=sin 90°=1,故A满足题意; cos 43°cos 137°-sin 43°sin 137°=cos(43°+137°)=cos 180°=-1,故B不满足题意; ==tan(60°-15°)=tan 45°=1,故C满足题意; sin220°+cos2340°=sin220°+cos2(360°-20°)=sin220°+cos220°=1,故D满足题意. 3.答案　(1)　(2)0　(3) 解析　(1)sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°=sin(72°-42°)=sin 30°=. (2)cos 20°cos 70°-sin 20°sin 70°=cos(20°+70°)=cos 90°=0. (3)==tan(45°+15°)=tan 60°=. 4.D　∵点P(3,-4)是角α终边上一点, ∴cos α==,sin α==-, ∴sin=sin cos α+cos sin α=×+×=. 5.B　因为tan(α+β)=,tan=, 所以tan=tan===. 6.答案　 解析　因为tan A,tan B为方程x2-6x+9=0的两个根,所以tan A+tan B=6,tan Atan B=9, 所以tan C=-tan (A+B)=-=. 7.答案　- 解析　因为sincos -cossin =sin=sin α=,且α∈, 所以cos α=-=-. 8.答案　 解析　因为θ∈,所以θ+∈, 又cos=-,所以sin=, 所以sin=sin=×-=. 9.C　因为tan B+tan C+tan Btan C=, 所以tan A=-tan (B+C)===-, 因为A∈(0,π),所以A=. 10.C　∵α∈,β∈,∴α-β∈(0,π). ∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=. ∵β∈,sin β=-,∴cos β=. ∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)·sin β=×+×=,∴α=. 11.答案　 解析　由题意可得sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=sin[(α-β)-α]=sin(-β)=-sin β=,即sin β=-,又β∈,所以β=. 12.答案　 解析　因为cos β=,β为锐角, 所以sin β==, 则tan β===, 故tan(α+β)===1, 由α,β均为锐角,得α+β∈(0,π),所以α+β=. 13.C　f(x)=|sin x-cos x|=,将正弦函数y=sin x的图象向右平移个单位,再将所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得到y=sin的图象,然后将x轴下方的图象翻折到x轴上方,得到f(x)=的图象,所以函数f(x)的最小正周期为=π. 14.答案　- 解析　因为sin α+cos=sin α+cos αcos+sin αsin=sin α+cos α=sin α+cos α==sin=,所以sin=, 则sin=-sin=-. 15.答案　-2 解析　 = ==, 因为sin 40°-sin 50°=sin(45°-5°)-sin(45°+5°) =-2cos 45°sin 5°=-2×sin 5°=-sin 5°, 所以原式===-2. 能力提升练 1.D 2.C 3.D 4.AD 8.D 9.B 1.D　tan 60°=tan(10°+50°)=, ∴tan 10°+tan 50°=tan 60°-tan 60°tan 10°tan 50°. ∴ = = =-tan 60°=-. 2.C　∵0<α<,0<β<,∴α+β∈(0,π), 又cos(α+β)=, ∴sin(α+β)==, 即sin αcos β+cos αsin β=, 又sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=, ∴sin αcos β=,cos αsin β=, 则===. 3.D　sin α=sin(α+β-β)=sin(α+β)cos β-cos(α+β)·sin β=3sin βcos(α+β), 则sin(α+β)cos β=4sin βcos(α+β),所以tan(α+β)=4tan β=4tan(α+β-α)=4×(*), 因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),所以tan(α+β)>0,(*)式可整理为tan α==, 因为tan(α+β)+≥2=4,当且仅当tan(α+β)=,即tan(α+β)=2时,等号成立,所以0<tan α=≤,所以tan α取得最大值时,tan(α+β)的值为2. 4.AD　因为2sin(α+β)=2sin αcos β+2cos αsin β=sin αsin β,且α,β∈,所以tan αtan β=2(tan α+tan β)≥4,即tan αtan β≥16,当且仅当tan α=tan β=4时,等号成立,故A正确. tan αtan β=2(tan α+tan β)≤,所以tan α+tan β≥8,当且仅当tan α=tan β=4时,等号成立,故tan α+tan β的最小值为8,故B错误. +=-1+tan α+tan β=+-1≥2-1=-1,当且仅当tan αtan β=时,等号成立,结合A中分析,所以+>-1,故C错误. tan(α+β)==,因为tan αtan β≥16,所以tan(α+β)∈,故D正确. 5.答案　- 解析　由已知可得,点P的坐标为,则sin α=,cos α=. 因为半径OP绕原点O逆时针旋转后与单位圆交于点Q,所以以OQ为终边的角大小为α+, 又Q关于x轴的对称点为Q',角β的终边在OQ'上, 所以β=-, 所以sin β=-sin=-, =-=-. 6.答案　 解析　因为函数f(x)的图象关于直线x=对称,且0<a≤1, 所以f=acos +sin =a+=1,解得a=, 所以f(x)=cos 2x+sin 2x=sin, 当x∈时,令t=2x+,则t∈, 因为方程f(x)=m(m∈R)在上恰有1个实数根,且函数g(t)=sin t在上单调递增,在上单调递减, g=sin =,g=sin =,g=1, 所以m的取值范围是. 7.解析　(1)f(x)=sin 2x-cos=sin 2x-cos 2x-sin 2x=sin 2x-cos 2x=sin. 因为x∈,所以2x-∈, 所以sin∈, 所以函数f(x)的最大值为1,最小值为-. (2)由(1)知f=sin=sin=. 因为α为锐角,所以α∈, 所以α+∈. 因为sin=<,所以α+∈, 所以cos=, 所以sin α=sin=sincos -cossin =×-×=. 8.D　由题意得sin α==,cos α==. 由sin αsin+cos αcos=, 得sin αcos β-cos αsin β=,即sin(α-β)=. ∵0<β<α<,∴0<α-β<,∴cos(α-β)=, ∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos α·sin(α-β)=×-×=. ∵0<β<,∴β=. 9.B　由2(cos2αcos2β-sin2αsin2β)[tan(α+β)+tan(α-β)]=1,得2(cos αcos β+sin αsin β)(cos αcos β-sin αsin β) =2cos(α-β)cos(α+β)× =2[sin(α+β)cos(α-β)+sin(α-β)cos(α+β)] =2sin[(α+β)+(α-β)] =2sin 2α=1, 所以sin 2α=, 所以2α=+2kπ,k∈Z或2α=+2kπ,k∈Z, 即α=+kπ,k∈Z或α=+kπ,k∈Z, 逐项检验可得α的值可能为-. 10.答案　 解析　由2α+β=,可得α+=,故tan==,因为tan αtan =2-, 所以tan α+tan =(-1), 可将tan α,tan 看成方程t2-(-1)t+2-=0的两根,解得t=2-或t=1, 因为α,β都是锐角,且2α+β=, 所以解得<α<,而tan =tan ==2-,故tan α=1,则α=. 31 学科网（北京）股份有限公司 $