1.1 二次函数 课件 2025-2026学年湘教版九年级数学下册

湘教版·初中数学·九年级下册·第一章 1.1 二次函数 问题引入 跳水比赛运动员在空中划过一条优美的曲线.这样的曲线能否用函数关系式表示？ 1.我们以前学过的函数的概念是什么？ 如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数. 2.我们学过哪些函数？ 温故知新 问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为100m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度为 x(m)，求矩形植物园的面积 S(m2)与x之间函数关系式. S = x(100−2x)，0<x<50 即： 这个式子表示植物园面积S与围墙相邻的一面篱笆墙长度x之间的关系，而且，对于x的每一个取值，S都有唯一确定的值与它对应，即S是x的函数. S = −2x2+100x，0<x<50 S是x的函数吗？ 探究新知 问题2：某型号的电脑两年前的售价为6000元，现降价销售，若每年的平均降价率为x，求现在售价y(元)与平均降价率x之间的函数关系. y = 6000(1−x)2，0<x<1 即： y = 6000x2-12000x+6000，0<x<1 这个式子表示两年后的售价y与平均降价率x之间的关系，而且对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与它对应，即y是x的函数. y是x的函数吗？ 探究新知 观察问题1和问题2中所列的函数表达式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？ S = −2x2+100x，0<x<50 y = 6000x2-12000x+6000，0<x<1 探究新知 其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项. 如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是: 总结归纳 1. 下列函数中,哪些是二次函数? 解：①③⑦⑨是二次函数， 其余都不是二次函数． 小试牛刀 2.把下列函数化成二次函数的一般式. (1) y = (x-2)(x-3)； (2) y = (x+2)(x-2)-2(x-1)2； (3) y = -2(x+3)2. 小试牛刀 例1.已知函数 (1)m取什么值时，此函数是正比例函数？ (2)m取什么值时，此函数是二次函数？ 例题精讲 4.已知函数 是关于x的二次函数，求m的值. 小试牛刀 3.若函数 是关于x的二次函数，则m = . ≠ -1 例2.如图，一块矩形木板，长为120cm、宽为80cm，在木板4个角上各截去边长为x(cm)的正方形，求余下面积 S(cm2)与 x 之间的函数表达式. 本问题中的数量关系是： 余下面积=矩形面积-截去面积. S=120×80-4x2=-4x2+9600,0＜x≤40. 例题精讲 5.一长方体水池深2m，底面矩形的周长为8m，设底面一边长为x(m)，水池的容积为y(m3)，求y关于x的函数表达式. 6.如图，一块矩形田地长100m，宽80m,现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为x(m)的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为y(m2)，求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围. y = x2-180x+8000，0<x<80 y = -2x2+8x，0<x<4 [书p.4A组T2、T3] 小试牛刀 课堂小结 1．有下列函数： ①y＝3x-1；②y＝3x2-1； ③y＝-20x2 ；④y＝x2-6x＋5； ⑤y＝13x2-4x；⑥y＝(x＋2)(x-3)-x2. 其中是二次函数的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 C 2．已知二次函数 y＝1-3x+5x2，则其二次项系数a是 、一次项系数b是 、常数项c是 . 5 -3 1 当堂检测 3．若函数y＝(m＋2)x2+2x-1是关于x的二次函数，则m________． ≠-2 4. 矩形的周长为16cm，它的一边长为xcm，面积为ycm2. 求:(1) y与x之间的函数表达式及自变量 x 的取值范围； (2) 当x = 3时,矩形的面积. 解：(1) y＝(8-x)x＝-x2＋8x (0＜x＜8)； (2) 当 x＝3时，y＝-32＋8×3＝15 . 当堂检测 5．如图，用一段长为30 m的篱笆围一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边的长为x m. (1)求菜园的面积y(m2)与x(m)之间的函数表达式； (2)求(1)中自变量x的取值范围． 当堂检测 Lavf57.62.100 $