5.3.2函数的极值 课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值 第五章 一元函数的导数及其应用 1 学习目标 1.了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系. 2.初步掌握求函数极值的方法． 3.体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系． 观察图(1), 我们发现, t=a时, 高台跳水运动员距水面的高度最大. 那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地, 导数的符号有什么变化规律? 思考1.在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减. 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢? 观察图象，探究新知： x y O a b (1) 放大t=a附近的图象, 如图(2)所示. (2) 由图可以看出, h′(a)=0; 在t=a的附近, 当t<a时，函数h(t)单调递增，h′(t)>0; 当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0. 这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0. 思考2.对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢? 探究.如图所示，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? 在这些点的导数值是多少? 在这些点附近， 的导数的正负性有什么规律? 以两点为例, 可以发现, x y O a b c d e 类似地, 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大, ; 而且在点附近的左侧, 右侧. 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小, ; 而且在点附近的左侧 , 右侧. 1. 函数的极值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小, 且在点附近的左侧(单减), 右侧(单增), , 我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 如图(1). (1) b (2) 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大, 且在点附近的左侧(单增), 右侧(单减), , 我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 如图(2). 1. 函数的极值 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 注意：在下结论时一定要说明是极大值(点)还是极小值(点). 1.下图是导函数的图象，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 课本P92 变式函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有（ ）个极小值点. (A)1 (B)2 (C)3 (D) 4 作业及练习 例1. 求函数的极值. 解： x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞) f′(x) f(x) x y O -2 2 当变化时， ，的变化情况如下表所示. 单调递增 单调递增 单调递减 的图象如下图所示. 求可导函数f(x)极值的步骤： (2) 求方程的根； (3) 把定义域划分为部分区间，并列成表格： 检查在方程根左右的符号： 如果左正右负（左增右减）， 那么f(x)在这个根处取得极大值即"峰顶”. 如果左负右正（左减右增）， 那么f(x)在这个根处取得极小值即“谷底” (1)求导数，确定函数的定义域; 不一定，例如函数在x=0处导数为0，但x=0不是函数的极值点. 注意：对于可导函数，若是极值点，则; 反之，若，则不一定是极值点. 思考3. 极大值一定大于极小值吗? O a x1 x2 x3 x4 b x y y=f(x) 不一定，如图中在x1处的极大值就小于x4处的极小值. 思考4.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 即是函数在处取得极值的_______条件. 必要 备注 1.极值点不是真正意义上的点(与零点类似). 2.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.在整个定义域内函数可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定大于极小值. 3.函数定义域的端点一定不是函数的极值点. 4.极值点附近两侧的单调性相异，即若函数在某区间上有极值，则函数在该区间内一定不是单调函数，也就是说定义区间上的单调函数没有极值. 5.函数在极值点处的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点. 6.可导函数在点取得极值的充要条件是且在两侧，的正负不同. 注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。 例2. 判断下面4个命题，其中是真命题序号为 . ①可导函数必有极值； ②可导函数在极值点的导数一定等于零； ③函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）； ④函数的极小值（或极大值）不会多于一个. ② 变式.函数的导数与函数值和极值之间的关系为( ) A. 导数由负变正，则函数由减变为增，且有极大值 B. 导数由负变正，则函数由增变为减，且有极大值 C. 导数由正变负，则函数由增变为减，且有极小值 D. 导数由正变负，则函数由增变为减，且有极大值 D 课本P92 2.求下列函数的极值: (1) ； (2) (3) ； (4) 例3.已知函数在处取得极值,求、的值. ， 变式1.已知函数在, 处取得极值. (1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间. 变式2.已知在处有极值,且极大值为,极小值为.试确定，，的值. ，，或，， 利用函数极值求解函数零点问题： 例4.已知函数.若函数在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围. 解：∵f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a， ∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a＝1. ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3. 由f′(x)>0，可得x<－1或x>1；由f′(x)<0，可得－1<x<1. 由图象可知，当－3<m<1时，直线y＝m与函数 y＝f(x)的图象有三个不同的交点. ∴m的取值范围是(－3，1). ∴f(x)极大值＝f(－1)＝1， f(x)极小值＝ f(1)＝－3. 作出f(x)的大致图象及直线y＝m如图所示， 变式1.已知函数的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝ . －2或2 变式2. 为何值时，方程恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？ 例5.已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图像(如图)过点(1,0),(2,0), 求： (1) 的值； (2) ,,的值. . 解：(1)由图像可知 例6.已知函数在时取得极值． (1) 求的值; (2) 求函数在处的切线方程． 解：(1)由已知f′(x)＝3x2＋a， 由f′(1)＝0，得a＝－3. (2)由(1)得f′(2)＝9，f(2)＝4， ∴切点坐标为(2,4)，切线斜率为9. ∴y＝f(x)在x＝2处的切线方程为9x－y－14＝0. 例7.设的导数为，若函数的图象关于直线对称，且. (1)求实数，的值；(2)求函数的极值． （1）a=3，b=－12；(2) 极大值ƒ(－2)=21，极大值ƒ(1)= －6 ． 例8.已知函数， . (1)若是的极小值点，求；(2)若存在,使,求的取值范围． (1) ；(2) ． 1. 函数的极值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小, 且在点附近的左侧(单减), 右侧(单增), , 我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 如图(1). (1) b (2) 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大, 且在点附近的左侧(单增), 右侧(单减), , 我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 如图(2). 课堂小结 求可导函数f(x)极值的步骤： (2) 求方程的根； (3) 把定义域划分为部分区间，并列成表格： 检查在方程根左右的符号： 如果左正右负（左增右减）， 那么f(x)在这个根处取得极大值即"峰顶”. 如果左负右正（左减右增）， 那么f(x)在这个根处取得极小值即“谷底” (1)求导数，确定函数的定义域; A $