培优01 平面向量及其应用全章18种题型复习（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

学科网（北京）股份有限公司 培优01 平面向量及其应用 题型1 平面向量的概念 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 1.（22-23高一下·四川绵阳·期中）（多选）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同 C．若，，则 D．对于任意非零向量，是一个单位向量 2. （24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 3. （24-25高一下·河南洛阳·期中）下列结论正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C．直角坐标平面上的轴，轴都是向量 D．若与是平行向量，则 4. （24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 题型2 向量的加减法与坐标运算 1.用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合，其和是第一个向量的始点指向第二个向量的终点的向量．简述为“加向量，首尾连；和向量，始点到终点” 2.对于零向量与任一向量的和，有＋=+=. 向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量; ②一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量,,或简记“终点向量减去始点向量” 1. （24-25高一下·安徽马鞍山·期中）等腰三角形中， 在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2. （24-25高一下·贵州·期中）已知菱形的棱长为2，则（    ） A．20 B．4 C．16 D．12 3. （24-25高一下·云南昆明·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．0 4. （24-25高一下·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 题型3 向量与几何图形的形状 利用向量判断几何图形的形状，核心是将几何问题代数化，通过向量的运算（如模长、点积、向量关系）来分析图形的边、角、对称性等特征 1.（24-25高一下·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2.（24-25高一下·河南·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 3.（24-25高一下·云南昭通·期中）在中，满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4.（24-25高一下·浙江·期中）在中，为边的中点，对于所在直线上的任意点，均有，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 题型4 向量与三角形的四心 1.出现“中线”“2:1” → 考虑‌重心‌ 2.出现“高”“垂直” → 考虑‌垂心‌ 3.出现“外接圆”“等距” → 考虑‌外心 4.出现“角平分线”“内切圆” → 考虑‌内心 1. （23-24高一下·河南·期中）已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 2. （23-24高一下·贵州遵义·月考）已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 3. （23-24高一下·天津北辰·期中）为所在平面内一点，且满足，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 4. （24-25高一下·辽宁·期末）在所在平面内一点P满足：，则点P是的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 题型5 向量共线问题 一般地，如果存在实数λ，使得=λ，则与平行且有_公共点A__，从而A，B，C 三点一定共线. 1. （23-24高一下·福建泉州·期中）（多选）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 2. （23-24高一下·福建漳州·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知非零向量与，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 3. （25-26高一上·山东日照·月考）平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 4. （24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型6 向量的线性表示 利用向量的三角形法则与平行四边形法则进行向量的线性表示 1. （24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 2. （24-25高一下·河南·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点G，记，． (1)用，表示，； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 3. （24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 4. （22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）（多选）在单位圆上的扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值可能是（    ） A．－1 B．1 C． D． 题型7 平面向量的基本定理与最值问题 坐标法:将向量用坐标表示，转化为代数问题求解。 基底表示法:选择适当的基底表示向量，简化运算。 等和线法:利用等和线性质求最值。 几何模型法:结合几何图形性质求解， 投影法:利用向量投影求最值， 极化恒等式:用于求数量积的最值。 1. （25-26高一上·辽宁·期末）在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 2. （25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 3. （24-25高一下·云南曲靖·期末）（多选）在矩形中，AB =2，AD=1，P ，Q分别为线段上的动点，M ，N分别为线段的中点，则下列说法正确的是（） A． B．// C．当P ， Q 分别为线段 的中点时， D．若 则 的最小值为2 4. （24-25高一下·云南楚雄·月考）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 题型8 平面向量与面积比 向量的奔驰定理与三角形面积比： 。 1. （24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为____ 2. （24-25高一下·四川资阳·期末）已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则与的面积之比为__________. 3. （24-25高一下·重庆南岸·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·广东深圳·期中）已知、是单位圆上相异的两个定点（为此单位圆圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. (1)若，求的值； (2)设， ①用表示； ②求的取值范围. 题型9 平面向量的数量积 求平面向量数量积的步骤 (1)求与的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求||和||； (3)求数量积，即·＝||||cos θ，要特别注意书写时与之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． 1. （24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 2. （24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 3. （25-26高一上·江苏南通·期中）（多选）已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 4. （23-24高一下·福建厦门·期中）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 题型10 向量的夹角 向量的夹角公式：cos θ＝ 1. （22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为______ 2. （22-23高一下·山东青岛·期中）设，，则与的夹角________． 3. （24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4. （23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值是（   ） A． B． C． D． 题型11 向量的模长 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用＝，勿忘记开方． (2) ·＝＝或||＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 1. （24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 2. （24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 3. （23-24高一下·四川泸州·期中）已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 4. （23-24高一下·湖北·期中）平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 题型12 向量的投影 求投影的两种方法： (1)在方向上的投影为||cos θ(θ为，的夹角)，在方向上的投影为|a|cos θ. (2) 在方向上的投影为，在方向上的投影为. 1. （24-25高一下·广东清远·期中）（多选）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 2. （24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 3. （22-23高一下·四川绵阳·期中）已知，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·新疆·期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 题型13 向量的垂直问题 向量垂直方法总结： . 1. （24-25高一下·山东济宁·期中），，，则（    ） A． B． C． D． 2. （24-25高一下·江苏南京·期中）（多选）已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．与的夹角为 3. （24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且. (1)当时，若，求的值； (2)当时，求的值. 4. （24-25高一下·江苏南京·期中）已知平面向量． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求的值. 题型14 向量夹角为锐角钝角问题 向量夹角为锐角（钝角）的充要条件 ①两个向量，的夹角为锐角⇔·>0且，不共线； ②两个向量，的夹角为钝角⇔·<0且，不共线． 1.（24-25高一下·吉林长春·期中）（多选）下列命题正确的有（   ） A．在中，若，则 B．在中，若，则为等腰三角形 C．，，则在上的投影向量等于 D．两个非零向量，的夹角是锐角的必要不充分条件是 2.（24-25高一下·广东广州·期中）已知，，其中，是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 3.（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若为钝角，求实数的取值范围. 4.（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，． (1)若，求x； (2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 题型15 正余弦定理解三角形 1.① ，，； ② ， ， ； ③ ． 2.利用正弦定理进行边角互化，必须出现齐次式； 3.利用余弦定理进行边角互化，条件须和余弦定理形式相同。 1.（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 2．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 3. （24-25高一下·江苏常州·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则__________． 4. （24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为______ 题型16 三角形个数问题 三角形多解问题： 1. （24-25高一下·云南昆明·期中）（多选）在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．若，，，则有两解 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为锐角三角形 2. （24-25高一下·新疆·期中）（多选）在中，角、、的对边分别为、、，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，则 D．若，，，则只有一解 3. （24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则有两解 C．若，且，则为等边三角形 D．若，则可以是钝角三角形 4. （24-25高一下·福建厦门·期中）（多选）对于有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，且有两解，则的取值范围是 C．在锐角中，不等式恒成立 D．在中，若，则必是等边三角形 题型17 正余弦定理解决最值取值范围问题 三角函数最值的不同求法： ①利用和的最值直接求； ②把形如的三角函数化为的形式求最值； ③利用和的关系转换成二次函数求最值； ④形如或转换成二次函数求最值. 在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到. ②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以;若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中A=2C，综合三个角为锐角有,得. 1. （23-24高一下·四川泸州·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)设，求的最大值及取得最大值时的面积． 2. （22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 3. （24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知分别为三个内角的对边，且，且 (1)求； (2)若的面积为，求 (3)求周长的取值范围. 4. （24-25高一下·安徽合肥·期中）在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________． 题型18 多三角形问题 多三角形问题方法汇总： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 1. （24-25高一下·新疆·期中）如图，在中，点在线段上，且，． (1)若是正三角形，求的长； (2)若，，求的长． 2. （24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点且. (1)若， （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 3. （24-25高一下·广东深圳·期中）已知中，分别为内角的对边，且， (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 4. （24-25高一下·云南文山·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)若，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网（北京）股份有限公司 培优01 平面向量及其应用 题型1 平面向量的概念 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 1.（22-23高一下·四川绵阳·期中）（多选）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同 C．若，，则 D．对于任意非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【分析】A.由平面向量不能比较大小判断；B.由共线向量的定义判断；C.由判断；D.由单位向量的定义判断. 【详解】A.平面向量不能比较大小，故错误； B.若，则与的方向相同或相反，故错误； C.当时，不成立，故错误； D.对于任意非零向量，是一个单位向量，正确， 故选：ABC 2. （24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误． 对于C：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确； 对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误. 故选：C． 3. （24-25高一下·河南洛阳·期中）下列结论正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C．直角坐标平面上的轴，轴都是向量 D．若与是平行向量，则 【答案】B 【分析】根据单位向量、方位角、平行（共线）向量等的定义判断各项的正误. 【详解】A：由单位向量只是模长相等，但方向任意，故不一定成立，错； B：如下图，上北右东，则南偏西60°的向量，北偏东60°的向量， 显然它们是方向相反的向量，即为共线向量，对； C：直角坐标系中，、轴有方向，但无大小，与向量的概念不符，错； D：与是平行向量，也有可能方向相反的情况，故不一定成立，错. 故选：B 4. （24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 【答案】C 【分析】由，可得且向量与同向，可判定A错误；相等向量的起点和终点不一定相同，可判定B错误；根据向量的共线定理，可得判定C正确；根据可能在同一条直线上，可判定D错误. 【详解】对于A中，由，可得且向量与同向， 所以的必要不充分条件是且，所以A错误； 对于B中，若，则它们的起点和终点不一定均相同，所以B错误； 对于C中，若存在实数，使得，根据向量的共线定理，可得，所以C正确； 对于D中，若是平面内的四点，且，则可能在同一条直线上，不一定构成平行四边形，所以D错误. 故选：C. 题型2 向量的加减法与坐标运算 1.用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合，其和是第一个向量的始点指向第二个向量的终点的向量．简述为“加向量，首尾连；和向量，始点到终点” 2.对于零向量与任一向量的和，有＋=+=. 向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量; ②一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量,,或简记“终点向量减去始点向量” 1. （24-25高一下·安徽马鞍山·期中）等腰三角形中， 在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形和题设条件，逐一判断各选项即可. 【详解】 对于A，如图，与方向不同，故A错误； 对于B，与方向相反，故B错误； 对于C，因在边上，满足， 则，，由A项知与不相等，故C错误； 对于D，由图知，， 因，故有，即D正确. 故选：D. 2. （24-25高一下·贵州·期中）已知菱形的棱长为2，则（    ） A．20 B．4 C．16 D．12 【答案】B 【分析】利用向量加减运算法则得到. 【详解】. 故选：B 3. （24-25高一下·云南昆明·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算结合已知条件列式计算求解. 【详解】用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，则，且，， 若， 则，则. 故选：D. 4. （24-25高一下·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由题意或，结合向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】由线段的一个三等分点为，得或， 若，则，所以； 若，则，所以． 故选：B. 题型3 向量与几何图形的形状 利用向量判断几何图形的形状，核心是将几何问题代数化，通过向量的运算（如模长、点积、向量关系）来分析图形的边、角、对称性等特征 1.（24-25高一下·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由题可得，结合重心性质及平面向量基本定理可得答案. 【详解】因，则. 又，由平面向量基本定理可得： . 则，，故三角形是等腰直角三角形. 故选：D 2.（24-25高一下·河南·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算律整理得到，取中点，结合向量的加法，得出，即可判断出是等腰三角形． 【详解】由，得， 取中点，因为，则，即， 所以是等膜三角形， 故选：A． 3.（24-25高一下·云南昭通·期中）在中，满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】取的中点，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】取的中点，则，所以． 又，故，即为等腰三角形. 故选：C． 4.（24-25高一下·浙江·期中）在中，为边的中点，对于所在直线上的任意点，均有，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，设，通过坐标运算即可求解. 【详解】以为原点，直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 设， 则， 上式为开口向上的二次函数，当时， ， 因为， 又因为， 所以， 解得，即，故， 所以两点的横坐标相同，故, 所以为直角三角形. 故选：B.    题型4 向量与三角形的四心 1.出现“中线”“2:1” → 考虑‌重心‌ 2.出现“高”“垂直” → 考虑‌垂心‌ 3.出现“外接圆”“等距” → 考虑‌外心 4.出现“角平分线”“内切圆” → 考虑‌内心 1. （23-24高一下·河南·期中）已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解. 【详解】在中，由为的垂心，得， 由，得， 则，即，又， 显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B. 2. （23-24高一下·贵州遵义·月考）已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】B 【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断. 【详解】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B 3. （23-24高一下·天津北辰·期中）为所在平面内一点，且满足，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算判断得解. 【详解】依题意，， ， ， 则，于是， 所以是的外心. 故选：B 4. （24-25高一下·辽宁·期末）在所在平面内一点P满足：，则点P是的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论. 【详解】因为，则，所以， 所以，所以，同理可得，， 故点P是的垂心. 故选：B. 题型5 向量共线问题 一般地，如果存在实数λ，使得=λ，则与平行且有_公共点A__，从而A，B，C 三点一定共线. 1. （23-24高一下·福建泉州·期中）（多选）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用向量共线定理得，结合已知有，进而得到，即可得. 【详解】因为三点共线，则存在实数，使， 即，即， 所以， 又向量不共线，所以，解得， 所以实数的值互为倒数. 故选：AB 2. （23-24高一下·福建漳州·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知非零向量与，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 【答案】ABC 【分析】A选项：根据相等向量的定义即可判断；B选项：根据向量共线的性质，可知A、B、C三点共线；C选项：与同向，则与反向，显然正确；D选项：如果，则无法得知与共线. 【详解】若与同向，但不一定与相等， ，若，则与同向， 且有=， 与同向是的必要不充分条件，故A正确. 若与共线，则有，故一定有三点在同一条直线上，故B正确. 若与同向，则与反向，故C正确. 当时，与不一定共线，故D错误. 故选：ABC 3. （25-26高一上·山东日照·月考）平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示列方程组求解即可； （2）利用向量共线的充要条件列方程求解. 【详解】（1），即， ，解得． （2），， ， ，即，解得． 4. （24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 题型6 向量的线性表示 利用向量的三角形法则与平行四边形法则进行向量的线性表示 1. （24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 2. （24-25高一下·河南·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点G，记，． (1)用，表示，； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可； （2）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面共线向量的性质、三角形面积性质进行求解即可. 【详解】（1）； ； （2）设，连接， ， ， 则，解得， 设边上的高为，边上的高为， 则， 所以. 3. （24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为三点共线，且， 所以 又因为三点共线，且， 所以 可得， 即 解得 所以 故选： 4. （22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）（多选）在单位圆上的扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值可能是（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】BD 【分析】不妨设，以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，再结合三角函数值域的求法求解即可. 【详解】不妨设，以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 由题，，令，则，. 因，则的取值可能是1或. 故选：BD    题型7 平面向量的基本定理与最值问题 坐标法:将向量用坐标表示，转化为代数问题求解。 基底表示法:选择适当的基底表示向量，简化运算。 等和线法:利用等和线性质求最值。 几何模型法:结合几何图形性质求解， 投影法:利用向量投影求最值， 极化恒等式:用于求数量积的最值。 1. （25-26高一上·辽宁·期末）在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，然后用表示，根据三点共线求出的值； （2）根据，用表示，再将条件与代入，根据三点共线求出的关系，结合基本不等式求解. 【详解】（1）因为，所以 ① 因为E，P，F三点共线，所以设，则， 即② （1）因为，即 设，代入①则有，因为E，P，F三点共线，     所以，解得，所以. （2）由题，，代入①可知，， 由②得：所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为1. 2. （25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据已知条件列出方程组，从而求得结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    3. （24-25高一下·云南曲靖·期末）（多选）在矩形中，AB =2，AD=1，P ，Q分别为线段上的动点，M ，N分别为线段的中点，则下列说法正确的是（） A． B．// C．当P ， Q 分别为线段 的中点时， D．若 则 的最小值为2 【答案】ABD 【分析】建立平面直角坐标系，给出点的坐标可以判断ABD各项，对于C项，由四边形与四边形均为边长为1的正方形，即可判断． 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示： 则， 由于P ，Q分别为线段上的动点， 可设， 对于A项，， 则，故A项正确； 对于B项，由于M ，N分别为线段的中点， 则，得， 而，则，故B项正确； 对于D项，因为， 所以， 得， 由，等号成立时，， 则， 得， 得，得， 则 的最小值为2，故D项正确； 对于C项，如图所示： 四边形与四边形均为边长为1的正方形， 则，故C项错误． 故选：ABD 4. （24-25高一下·云南楚雄·月考）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用向量的线性运算用基底表示即可； （2）利用平面向量基本定理，由三点共线得到，再由是线段上一点，得到，与（1）的结论对照即可求得的值； （3）由三点共线得到，结合点为线段的中点可得，与（1）的结论对照，列出方程组，消去，得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得的最小值. 【详解】（1）由图，. （2）因三点共线，则存在，使得， 又是线段上一点，则存在，使得， 由（1）已得，故有，解得：，即. （3）因，且三点共线， 则存在，使得， 又因点为线段的中点，则有， 与对照可得：，消去即得，即， 故， 当且仅当时，即当时，取得最小值为. 题型8 平面向量与面积比 向量的奔驰定理与三角形面积比： 。 1. （24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为____ 【答案】 【分析】结合平面向量共线定理求出两个三角形的高的比值，即可求得面积比值. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    易知，所以， 因此可得三点共线， 易知与的公共边为，设点到边的距离为， 可知到边的距离为，到边的距离为， 所以. 故答案为： 2. （24-25高一下·四川资阳·期末）已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则与的面积之比为__________. 【答案】/0.25 【分析】利用重心向量公式，结合线性运算和平面向量基本定理，可得系数关系，即可求解参数，从而把面积之比转化为底边之比乘上高之比即可求解.. 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，所以，即， 设，则， 又因为，所以， 又因为，所以，即， 则， 所以与的面积之比， 故答案为： 3. （24-25高一下·重庆南岸·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得为线段的中点，再结合三角形面积公式以及边长比例关系可得结果. 【详解】取的中点为，如下图所示： 易知，又可得； 因此可得，即三点共线，且为线段的中点， 所以； 又，所以； 所以与的面积之比为. 故选：C 4.（24-25高一下·广东深圳·期中）已知、是单位圆上相异的两个定点（为此单位圆圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. (1)若，求的值； (2)设， ①用表示； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）通过对的表达式进行平方运算，结合单位圆上点对应的向量模长为，再利用三角函数的性质来求解的值. （2）根据已知条件求出相关向量的坐标，再利用向量共线得到关于的表达式，然后根据三角形面积公式求出关于的表达式，最后通过换元法将其转化为关于的函数，利用函数单调性求出取值范围. 【详解】（1）因为，且，，都是单位圆上的点， 所以 ， 又，，所以. （2）①由（1）有，则以为原点，分别以，的正方向为，轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，，因为，所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，. ②依题意在第二象限，在线段上， 如图有， 所以， 令，则， 所以，，所以， 所以，在上单调递增， 所以，即的取值范围为. 题型9 平面向量的数量积 求平面向量数量积的步骤 (1)求与的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求||和||； (3)求数量积，即·＝||||cos θ，要特别注意书写时与之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． 1. （24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案. 【详解】由于向量在向量上的投影向量为， 故可得，即，所以， 故选：C. 2. （24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对左右两边同时平方，化简代入数值即可求得. 【详解】因为， 化简得：，解得：. 故选：C. 3. （25-26高一上·江苏南通·期中）（多选）已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】对于ABC，根据平面向量的基本知识即可求解；对于D，求出在方向上的投影向量表达式，再根据表达式求解即可． 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，， ， 因为， 所以与不平行，故B错误； 对于C，设向量与的夹角为， ， ， ， 又，所以，故C正确； 对于D，设和的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为， ，， 则，故D错误． 故选：AC． 4. （23-24高一下·福建厦门·期中）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的数量关系结合数量积公式及数量积运算律计算求解； （2）根据数量积公式及数量积运算律结合模长公式计算求解； 【详解】（1）当时，依题意知，，，. 则， . 因为，， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，，所以. （2）由题意， . 则. 因为，， ， 所以， 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴的取值范围是． 题型10 向量的夹角 向量的夹角公式：cos θ＝ 1. （22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为______ 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标公式求得，然后由向量夹角坐标计算公式可得答案. 【详解】因，则，则， 从而，则. 故答案为：. 2. （22-23高一下·山东青岛·期中）设，，则与的夹角________． 【答案】 【分析】应用平面向量的夹角余弦公式计算结合夹角范围计算求角. 【详解】因为，， 设与的夹角为，， 所以，所以． 故答案为： 3. （24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C 4. （23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，结合夹角公式即可求解. 【详解】由题意可知：， 且, , , 故选：B 题型11 向量的模长 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用＝，勿忘记开方． (2) ·＝＝或||＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 1. （24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 【答案】D 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模，求出结果 【详解】向量，，故， 所以，解得或2． 故选：D． 2. （24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ABD 【分析】先利用求模公式以及数量积的运算律得出，再利用求模公式、数量积的运算律、向量的夹角公式逐一判断ABD；设，利用平面向量基本定理判断的存在性判断C. 【详解】由题意可知，，且， 则， ， ， 故，B正确； ，故A正确； 因，， 若，则，使得， 因不共线，则，此方程组无解， 故与不共线，故C错误； 因， 则， 因，则，故D正确. 故选：ABD 3. （23-24高一下·四川泸州·期中）已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求出的值，即可求得答案； （2）根据向量的模的计算公式结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）由题意向量，，向量与的夹角为， ， 与垂直，即向量与的夹角为. （2）由（1）可知，而， 则 ， 当时，取得最小值45， 即的最小值为. 4. （23-24高一下·湖北·期中）平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，根据向量数量积的定义可得，不等式两边取平方计算得，利用向量的模长公式结合数量积的运算律计算得，利用换元法计算可得其最小值. 【详解】由题意，， ， 设向量与向量的夹角为，则， ，， 则，即，，解得， ， 令，则， 设， 则， ， 的最小值为，即的最小值是. 故答案为：. 题型12 向量的投影 求投影的两种方法： (1)在方向上的投影为||cos θ(θ为，的夹角)，在方向上的投影为|a|cos θ. (2) 在方向上的投影为，在方向上的投影为. 1. （24-25高一下·广东清远·期中）（多选）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【答案】AB 【分析】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解． 【详解】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 2. （24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 【答案】 【分析】根据投影向量的公式计算即可求解. 【详解】∵，，∴，，， ∴向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 3. （22-23高一下·四川绵阳·期中）已知，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故选：B 4.（24-25高一下·新疆·期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，故根据数量积定义、投影向量定义即可求解． 【详解】由题意可知，，得到，即， 所以， 则向量在向量上的投影向量是． 故选：B. 题型13 向量的垂直问题 向量垂直方法总结： . 1. （24-25高一下·山东济宁·期中），，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值. 【详解】， ， . 故选：D. 2. （24-25高一下·江苏南京·期中）（多选）已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】AC 【分析】将已知等式两边平方可判断A；根据垂直向量的数量积为0可判断B；利用性质计算可判断C；由向量夹角公式直接计算可判断D. 【详解】， 将，的代入，可得，故A正确； ，故B错误； ，故，C正确. 设与的夹角为，则， 故，又，故，D错误. 故选：AC. 3. （24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且. (1)当时，若，求的值； (2)当时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意建立平面直角坐标系，写出坐标和向量，再通过题目给的条件列式即可； （2）先设出点坐标，利用和条件列式并联立即可求解. 【详解】（1）由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则， ，、，又D为AC边上的中点，， 当时，E为BC边上的中点，，即、、， 又，，即，解得， . （2）设，则，又，，， 、，又，，即，解得， ，解得. 4. （24-25高一下·江苏南京·期中）已知平面向量． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求的值. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由向量垂直列方程即可得实数k的值； （2）利用求出，再由同角基本关系式得到，最后三角恒等得到答案. 【详解】（1）； ，，；解得. （2）， , ，; ; ，; . 题型14 向量夹角为锐角钝角问题 向量夹角为锐角（钝角）的充要条件 ①两个向量，的夹角为锐角⇔·>0且，不共线； ②两个向量，的夹角为钝角⇔·<0且，不共线． 1.（24-25高一下·吉林长春·期中）（多选）下列命题正确的有（   ） A．在中，若，则 B．在中，若，则为等腰三角形 C．，，则在上的投影向量等于 D．两个非零向量，的夹角是锐角的必要不充分条件是 【答案】ACD 【分析】对于A，分两种情况说明即可；对于B，得到或即可；对于C，由投影向量的定义即可判断；对于D，由且不共线的必要不充分条件是即可判断. 【详解】对于A，若， 若是钝角或者直角，自然有（否则与三角形内角和为矛盾）， 若是锐角，则或（舍去，因为与三角形内角和为矛盾），故A正确； 对于B，在中，若，则或， 即或，则为等腰三角形或者直角三角形，故B错误； 对于C，，，则在上的投影向量等于，故C正确； 对于D，两个非零向量，的夹角是锐角的充要条件是且不共线， 且不共线的必要不充分条件是，故D正确. 故选：ACD. 2.（24-25高一下·广东广州·期中）已知，，其中，是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积中向量夹角余弦公式，已经向量的模长计算方法，求出向量夹角余弦值. （2）根据向量夹角为钝角时，向量数量积小于零，但不反向共线的性质，列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）根据题意，当时，是夹角为的单位向量， 所以， 又因为， 所以， 又， 所以， 即向量与夹角的余弦值为． （2）根据题意，因为与的夹角为钝角， 所以且不共线， 所以，且， 即，且， 所以且， 故的取值范围为． 3.（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）利用向量数量积的运算法则得到，从而利用向量数量积的坐标表示即可得解； （2）由题意到得，且与不平行，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）由，则， 即， 即，得. （2）若为钝角，即且不共线， 即，得，且， 得且，综上解得且. 4.（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，． (1)若，求x； (2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的充要条件及向量坐标的数量积运算即可得解； （2）先根据投影向量的计算公式求出x，然后根据向量夹角为锐角即可得出，且与不共线，然后列出关于λ的不等式组，解出范围即可． 【详解】（1）∵，，， ∴， 解得； （2）∵在方向上的投影向量为， ∴，解得， ∴，，， ∵与的夹角为锐角， ∴，且与不共线， ∴，解得且， ∴λ的取值范围为：． 题型15 正余弦定理解三角形 1.① ，，； ② ， ， ； ③ ． 2.利用正弦定理进行边角互化，必须出现齐次式； 3.利用余弦定理进行边角互化，条件须和余弦定理形式相同。 1.（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 故选：A 2．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 3. （24-25高一下·江苏常州·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则__________． 【答案】 【分析】由正弦定理边角互化，再化简求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得： 即 所以 又，所以， 又，， 解得或， 又，所以． 故答案为：． 4. （24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为______ 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 题型16 三角形个数问题 三角形多解问题： 1. （24-25高一下·云南昆明·期中）（多选）在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．若，，，则有两解 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】AD 【分析】对A，根据条件，利用正弦定理，可得，即可求解；对B，根据条件，数形结合，即可求解；对C，根据条件，利用余弦定理得，即可求解；对D，利用，得到，，进而可得，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】对于选项A，由正弦定理（其中是外接圆的半径）， 得到，所以，则的外接圆的面积为，所以A正确， 对于选项B，如图，，，过作 于， 则，所以在射线上不存在， 使，，，即无解，所以B错误， 对于选项C，因为，由余弦定理得， 又，所以，故是钝角三角形，所以C错误， 对于选项D，因为，则，且， 所以，则， 所以，得到，即， 由余弦定理得，又，所以，故是锐角三角形，所以D正确， 故选：AD. 2. （24-25高一下·新疆·期中）（多选）在中，角、、的对边分别为、、，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，则 D．若，，，则只有一解 【答案】ABC 【分析】对A，利用三角形的性质和正弦定理，即可判断正误；对B，利用和的性质，可得，再用诱导公式，即可求解；对C，利用正弦定理边转角，得，再利用的性质，即可求解；对于D，利用三角形解的个数的判断方法，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以A正确， 对于选项B，在锐角中，，因为在上单调递增， 所以，所以B正确， 对于C，因为，则， 即，又，则有，所以， 又在区间上单调递增，所以，则，所以C正确， 对于D，若，，，则， 因为，所以，则为锐角或钝角，即有两解，所以D错误． 故选：ABC． 3. （24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则有两解 C．若，且，则为等边三角形 D．若，则可以是钝角三角形 【答案】AC 【分析】由三角形大边对大角及正弦定理判断AB选项，由向量加法的几何意义、数量积的运算判断C选项；由两角和的正切公式判断D选项. 【详解】A选项，在中，由得，即，所以，A正确； B选项，由正弦定理得即，解得， 又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误； C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且，所以， 所以是等边三角形，C正确； D选项，因为， 所以， 所以，即， 因为，所以， 又因为， 所以，所以是锐角三角形，D错误； 故选：AC. 4. （24-25高一下·福建厦门·期中）（多选）对于有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，且有两解，则的取值范围是 C．在锐角中，不等式恒成立 D．在中，若，则必是等边三角形 【答案】AD 【分析】由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由锐角三角形的性质判断出与的关系，判断C；由余弦定理可得，判断出的形状，判断D． 【详解】A中，，即， 由正弦定理可得 ，由余弦定理可得， 因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确； B中，若，且有两解，则，即， 即的范围为，所以B错误； C中，在锐角中，只有时，不等式才恒成立，所以C不正确； D中，若，由余弦定理可得， 即，即，所以，所以必是等边三角形，故D正确． 故选：AD． 题型17 正余弦定理解决最值取值范围问题 三角函数最值的不同求法： ①利用和的最值直接求； ②把形如的三角函数化为的形式求最值； ③利用和的关系转换成二次函数求最值； ④形如或转换成二次函数求最值. 在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到. ②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以;若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中A=2C，综合三个角为锐角有,得. 1. （23-24高一下·四川泸州·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)设，求的最大值及取得最大值时的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得出，进而得出，即可求出； （2）先利用正弦定理得出，进而化简得出，即可求出最值并得出此时，即可求出，最后利用面积公式即可. 【详解】（1）因，则， 利用正弦定理可化为， ， 又因为，故，故，即， 又，所以，得到. （2）由题意及（1）知，， 由正弦定理可得，则， 故 ， 其中，且， 因为，故，而， 故当，即时，取最大值1，的最大值为， 故， 所以， 又， 故， 此时. 2. （22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题干条件及余弦定理即可求解； （2）由（1）知.根据，推得.在中，由，，可得，.设，根据正弦函数的性质及同角三角函数的平方关系将问题转化为，，最后利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）∵，，∴， 在中，由余弦定理得，化简整理得， ∴由余弦定理得， ∵，∴. （2）由（1）知. ∵，∴，∴. 在中，∵，，又， ∴，. ∵，且，∴. 令，因为，所以 则，， ∴，， 令，，∵在上单调递增，∴. 又在上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得在上单调递减，∴， 即的取值范围为. 3. （24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知分别为三个内角的对边，且，且 (1)求； (2)若的面积为，求 (3)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理边化角，化简已知关系式可求； （2）由面积公式及余弦定理可得和，从而求出； （3）方法一，边化角求范围，进而得周长范围；方法二，由基本不等式及余弦定理求出，由三角形性质得，从而求得周长范围. 【小题1】由正弦定理得 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小题2】由（1）知，则，所以， 由余弦定理，，又， 则， 解得，所以； 【小题3】（方法一）因为，由正弦定理， 得 又因为，所以 所以 又因为，所以 所以， 所以 即，所以 所以三角形的周长的取值范围. （方法二）因为，由余弦定理，得， 即，又，当且仅当时等号成立. 所以，即， 所以，又因为，所以，所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 4. （24-25高一下·安徽合肥·期中）在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由正余弦定理与和角的正弦公式化简计算得到，利用三角形内角范围推得，由锐角三角形求出，将所求式进行恒等变换为，利用正弦函数的性质与对勾函数的单调性即可求得其范围. 【详解】由余弦定理，和 可得 即，由正弦定理，（*）， 因 代入（*）化简得：，即， 因，则，所以，即， 因是锐角三角形，故，解得， 由 令，因函数 在上单调递增， 则，故的取值范围是. 故答案为：. 题型18 多三角形问题 多三角形问题方法汇总： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 1. （24-25高一下·新疆·期中）如图，在中，点在线段上，且，． (1)若是正三角形，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理计算即可求得； （2）由两角差的正弦公式即可求得，再由正弦定理求，从而得． 【详解】（1）因为是正三角形，则，所以， 因为，，所以， 在中， 由余弦定理得 . （2）因为，则为锐角，所以， 则， 在中，由正弦定理，得， 因为，所以. 2. （24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点且. (1)若， （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）已知，，可计算出，在中，利用正弦定理，结合已知的、和，建立等式求解；（ii）先由余弦定理，结合已知的、和，求解，最后依据三角形面积公式，计算的面积. （2）在中，用角表示；在中，结合角、的关系，用角表示，然后将转化为关于角的三角函数，根据角度范围，结合三角函数的性质求取值范围. 【详解】（1）（i），，又，. 在中，已知，，，根据正弦定理可得， 即. （ii）在中，已知，，，根据余弦定理可得 ，将数值代入可得， 即，解得或. 由图可知，在中，，则，，. 根据三角形面积公式可得， 的面积. （2）由（1）可知，，，又， 则在中， ，即； 在中，由正弦定理可得，即. 在中，因为，所以，即. 因此， . ，，，即. 故的取值范围为. 3. （24-25高一下·广东深圳·期中）已知中，分别为内角的对边，且， (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）利用三角形的面积关系解出即可 【详解】（1）在中，由正弦定理及得：， 化简可得：， 由余弦定理得， 又，所以 （2） 是的角平分线，则， 由可得 因为，，即有， 故. 4. （24-25高一下·云南文山·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系，诱导公式，两角和的正弦公式得出，再根据正弦定理即可求解； （2）由诱导公式及同角三角函数的平方关系得出，由余弦定理求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）在中，∵，， ∴，， ∴ ， 在中，由正弦定理得：， 即，解得． （2）∵， ∴， 在中，由余弦定理可得， ∴， 整理得：， 解得或（舍）， ∴， ∴四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $