4. 宇宙航行（举一反三讲义）物理人教版必修第二册

第4节 宇宙航行 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 2 【知识梳理】 2 知识点1：宇宙速度的理解与计算 2 知识点2：人造同步卫星 6 知识点3：同步卫星、近地卫星、赤道上物体的运行参量比较.......................................................................10 知识点4：卫星变轨...........................................................................................................................................17 知识点5：多星系统............................................................................................................................................21 知识点6：天体的“追及相遇”问题...............................................................................................................28 【方法技巧】 34 方法技巧 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 34 方法技巧 各运行参量比较的两条思路 34 【巩固训练】 35 【学习目标】 1.了通过近地卫星的运行推导第一宇宙速度并计算其数值，同时理解第二、第三宇宙速度的含义。 2.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化。 3.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度。 重点： 1. 知道三个宇宙速度的含义及大小，会计算第一宇宙速度； 2. 了解不同类型的人造卫星的轨道，掌握同步卫星的轨道特点； 难点： 1. 掌握多星系统的运行特点，会计算运行周期和角速度； 2. 掌握卫星的发射与变轨，会分析卫星变轨前后物理量的变化 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：宇宙速度的理解与计算 1．第一宇宙速度 ①第一宇宙速度（环绕速度）：物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，称为第一宇宙速度. ②第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m 得v1＝ ；方法二：由mg＝m得v1＝ 第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度和最小发射速度，v1= 7.9 km/s . 2．第二宇宙速度 第二宇宙速度(脱离速度)：在地面上发射飞行器，使之能够挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度，称为第二宇宙速度，11.2km/s . 3．第三宇宙速度 第三宇宙速度(逃逸速度)：在地面上发射飞行器，使之最后能挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外所需的最小速度，称为第三宇宙速度，＝16.7km/s . 注意区分运行速度与发射速度 卫星绕中心天体做匀速圆周运动的速度为运行速度，轨道半径越大，运行速度越小；发射速度是在地面上发射卫星的速度，发射速度越大，卫星能到达的轨道越高，为保证发射成功，发射速度应满足不低于对应轨道上的宇宙速度。 【典例1】2024年5月，天文学家观测到了Gliese-12行星，据推测其环境可能跟地球类似。已知该行星半径与地球半径相当，质量约为地球的4倍。Gliese-12行星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的（    ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．4倍 【答案】B 【解析】第一宇宙速度是物体绕天体表面做匀速圆周运动的最小发射速度，由万有引力公式，可得第一宇宙速度公式为 ，其中 为万有引力常数， 为天体质量， 为天体半径。已知该行星半径与地球半径相当，故相同，质量约为地球的4倍，设地球第一宇宙速度为，则此行星的第一宇宙速度 ，是地球第一宇宙速度的2倍。 故选B。 【变式1】下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是（　　） A．第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 B．火星探测卫星的发射速度大于 C．第三宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度 D．人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于或等于、小于 【答案】A 【解析】A．根据 得 可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速越小，是人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度，也是人造地球卫星的最小的发射速度，故A正确； B．火是探期卫星仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，故B错误； C．第二宇宙速度是使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度，故C错误； D．实际上由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫量绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，故D错误。 故选A。 【变式2】搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。约10分钟后。神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功。如图所示，虚线为飞船的运行轨道，周期为，离地高度为。若飞船绕地球做匀速圆周运动，地球半径为，则地球的第一宇宙速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据万有引力提供向心力有 则地球质量 设地球的第一宇宙速度大小为，则 解得 故选B。 【变式3】（多选）火星与地球的质量比为a，半径比为b，则它们的第一宇宙速度之比和表面的重力加速度之比分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由可得 知 由 结合 可得 知 故BC正确，AD错误。 故选BC。 知识点2：人造同步卫星 1． 轨道特点 一般情况下可近似认为人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其向心力由地球对它的万有引力提供，方向指向地心，因此人造卫星的轨道圆心与地心重合。卫星运动的轨道平面可以在赤道平面内（如地球同步卫星），也可以和赤道平面垂直（如极地卫星），还可以和赤道平面成任意夹角. 2． 运行参量 人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力＝ 由v＝可知，卫星的线速度随r的增大而减小；由ω＝可知，卫星的角速度随r的增大而减小； 由T＝2π可知，卫星的运行周期随r的增大而增大. 3．几种特殊的卫星 （1）近地卫星 围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星，轨道半径近似等于地球半径；万有引力提供向心力， = , ， ，是人造卫星做匀速圆周运动的最大速度和最小周期. （2） 同步卫星 ①概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫作地球同步卫星，主要用于通信，因此也叫通信卫星。 ②由 = 可知，同步卫星的特点： 定方向：和地球自转方向一致；定周期、角速度：和地球自转周期、角速度相同，即T＝24 h； 定轨道平面：所有的同步卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合； 定高度：离地面高度固定不变(3.6×104 km)；定速率：线速度大小一定(3.1×103 m/s)； 定加速度：由于同步卫星高度确定，所以轨道半径确定，因此向心加速度大小一定。 （3）卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星. 【典例2】关于地球静止卫星，下列说法中正确的是（　　） A．静止卫星处于平衡状态 B．静止卫星的周期是一定的 C．静止卫星的受到的向心力是不变的 D．静止卫星的速度大于第一宇宙速度 【答案】B 【解析】A．静止卫星做圆周运动，有向心加速度，不处于平衡状态，故A错误； B．静止卫星做匀速圆周运动，则周期是一定的，故B正确； C．静止卫星的向心力大小不变，但方向时刻改变，故C错误； D．第一宇宙速度是最大的环绕速度，静止卫星的速度小于第一宇宙速度，故D错误。 故选 B。 【变式1】“嫦娥四号”探测器在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设“嫦娥四号”、地球质量分别为和M，则“嫦娥四号”在地球表面时和绕月球做半径为月球半径的K倍的圆周运动时，分别有 ， 解得 故选D。 【变式2】北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．其中北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，北斗—M3为一颗中圆地球轨道卫星（轨道半径小于静止轨道半径），下列说法正确的是（    ） A．北斗—G4和北斗—IGSO2都相对地面静止 B．北斗—G4和北斗—IGSO2的轨道半径相等 C．北斗—M3与北斗—G4的周期平方之比等于高度立方之比 D．北斗—M3的线速度比北斗—IGSO2的线速度小 【答案】B 【解析】A．北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，可知北斗—G4相对地面静止；北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，则北斗—IGSO2的周期等于地球自转周期，但北斗—IGSO2相对地面不是静止的，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 可得 由于北斗—G4和北斗—IGSO2的周期相等，则北斗—G4和北斗—IGSO2的轨道半径相等，故B正确； C．根据开普勒第三定律 可知北斗—M3与北斗—G4的周期平方之比等于轨道半径立方之比，故C错误； D．根据万有引力提供向心力 可得 由于中圆地球轨道卫星轨道半径小于静止轨道半径，则北斗—M3的线速度比北斗—IGSO2的线速度大，故D错误。 故选B。 【变式3】“天问二号”探测器即将出征，将再次创造中国航天新高度。假设“天问二号”绕地球的运动可视为匀速圆周运动，距地面的高度为h，飞行n圈所用时间为t，“天问二号”的总质量为m，地球半径为R，引力常量为G，则（　　） A．地球的质量 B．地球表面的重力加速度 C．探测器的向心加速度 D．探测器的线速度 【答案】B 【解析】A．“天问二号”绕地球做圆周运动的周期 根据 可得地球的质量 选项A错误； B．根据 地球表面的重力加速度 选项B正确； C．根据 探测器的向心加速度 选项C错误； D．探测器的线速度 选项D错误。 故选B。 知识点3：同步卫星、近地卫星、赤道上物体的运行参量比较 近地卫星 同步卫星 赤道上随地球自转的物体 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 >＝ 角速度 由G＝mω2r得ω＝，故> 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故＝ >＝ 线速度 由G＝m得v＝ ，故> 由v＝rω得 > 向心加 速度 由G＝ma得a＝，故 > 由a＝ω2r得 > 【典例3】如图所示，a为静止在赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。以地心为参考系，关于它们的向心加速度，线速度，下列描述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】AB．由题意，根据 得 由于，可知 根据，， 可得 所以 故AB错误； CD．由题意，根据 得 由于，可知 根据，， 可得 所以 故C错误，D正确。 故选D。 【变式1】如图所示，a、b、c是人造地球卫星，三者的轨道与赤道共面，且a是静止卫星，c是近地卫星，d是静止在赤道地面上的一个物体，以下关于a、b、c、d四者的说法正确的是（    ）    A．a的线速度比b的线速度小，且两者线速度都小于第一宇宙速度 B．角速度大小关系是 C．d的向心加速度等于赤道处的重力加速度 D．周期关系是 【答案】A 【解析】A．卫星围绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有 可得 可知，a的轨迹半径r大，则a的线速度比b的线速度小，两者的轨道半径r都大于地球半径R，所以两者线速度都小于第一宇宙速度，故A正确； BD．a是静止卫星，d是静止在赤道地面上的一个物体，则有 、 卫星围绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有 可得 由于a的轨道半径r大于b的轨道半径r，b的轨道半径r大于c的轨道半径r，则有 根据可得 故BD错误； C．d是静止在赤道地面上的物体，其做圆周运动向心力来自于地球万有引力的一小部分，不等于重力，所以其向心加速度不等于赤道处的重力加速度，故C错误。 故选A。 【变式2】如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球静止卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中错误的是（　　） A．a、b、c三物体，都仅由万有引力提供向心力 B．周期关系为 C．线速度的大小关系为 D．向心加速度的大小关系为 【答案】A 【解析】A．b、c围绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，a为地球赤道上的物体，由万有引力垂直于地轴的分力提供向心力，故A错误，符合题意； B．c为地球静止卫星，a为地球赤道上的物体，两者的周期与地球自转周期相等，根据开普勒第三定律有 由于 则有 可知 故B正确，不符合题意； C．c为地球静止卫星，根据 a、c角速度相等，a的轨道半径小一些，则有 根据 则有 c的轨道半径大于b的轨道半径，则c的线速度小于b的线速度，则有 故C正确，不符合题意； D．c为地球静止卫星，根据 a、c角速度相等，a的轨道半径小一些，则有 根据 则有 c的轨道半径大于b的轨道半径，则c的加速度小于b的加速度，则有 故D正确，不符合题意。 故选A。 【变式3】有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球静止卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有（    ） A．a的向心加速度等于重力加速度g B．b在相同时间内转过的弧长最长 C．c在4h内转过的圆心角是 D．d的运动周期有可能是23h 【答案】B 【解析】A．静止卫星c的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据 可知c的向心加速度比a的大，由牛顿第二定律可得 可得 卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则静止卫星c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误； B．由万有引力提供向心力可得 可得 卫星的轨道半径越大，线速度越小，则有 由 可得 所以b的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B正确； C．c是地球静止卫星，周期是24h，则c在4h内转过的圆心角是，故C错误； D．由开普勒第三定律 可知卫星的轨道半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期，则d的运动周期一定大于24h，故D错误。 故选B。 知识点4：卫星变轨 1.变轨原因 (1)当卫星的速度增加时，由于G<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道进入高轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝ 可知其运行速度比在原轨道时小。 (2)当卫星的速度减小时，由于G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道进入低轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝ 可知其运行速度比在原轨道时大。 2.变轨过程 （1）在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，如图所示。 （2）在A点（近地点）点火加速，由于速度变大，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 （3）在椭圆轨道B点（远地点）再次点火加速，卫星做离心运动进入圆轨道Ⅲ。 3.变轨过程中运行参量的分析比较 (1)速度：卫星在圆轨道 Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为vⅠ、vⅢ，vⅠ>vⅢ ； 在轨道Ⅱ上过A、B点时的速率分别为 、 ，在A点加速，则 >vⅠ；在B点加速，则 <vⅢ； 四个速率关系： >vⅠ >vⅢ > (2)加速度：在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同，即＝ ；同理，在B点， ；A、B两点向心加速度关系，。 (3)卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为TⅠ、、TⅢ，由开普勒第三定律可知TⅠ<<TⅢ。 【典例4】2023年我国“天宫号”太空实验室实现了长期有人值守，我国迈入空间站时代。如图所示，“天舟号”货运飞船沿椭圆轨道运行，A、B两点分别为椭圆轨道的近地点和远地点，则以下说法正确的是（　　） A．“天舟号”在A点的线速度大于“天宫号”的线速度 B．“天舟号”在B点的加速度小于“天宫号”的加速度 C．“天舟号”在椭圆轨道的周期比“天宫号”周期大 D．“天舟号”与“天宫号”对接前必须先减速运动 【答案】A 【解析】A．以中心天体的球心为圆心，过A点建一圆轨道，根据变轨原理可知，“天舟号”在A点从圆轨道加速可进入椭圆轨道。根据 解得 可知“天舟号”在A点所在圆轨道的线速度大于在 B点所在圆轨道的线速度。所以“天舟号”在A点的线速度大于“天宫号”的线速度，故A正确； B．根据 可得 则“天舟号”在B点的加速度大小等于“天宫号”的加速度大小，故B错误； C．由开普勒第三定律，可知“天舟号”比“天宫号”运动周期小，故C错误； D．“天舟号”与“天宫号”对接前必须先加速，做离心运动，才能与天宫号对接，故D错误。 故选A。 【变式1】2024年4月，神舟十八号载人飞船发射升空，并与空间站天和核心舱自主交会对接成功。将二者对接前飞船和空间站的稳定运行轨道简化，如图，轨道Ⅰ为载人飞船稳定运行的椭圆轨道，轨道Ⅱ为空间站稳定运行的圆轨道，在两轨道的相切点载人飞船与空间站可实现对接，则（　　） A．飞船在椭圆轨道I上经过远地点P的速度大于经过近地点Q的速度 B．飞船在椭圆轨道I上稳定运行时机械能不守恒 C．飞船在轨道I的运行周期大于空间站在轨道II的运行周期 D．飞船要想从轨道I变轨至轨道II，需要在P点点火加速 【答案】D 【解析】A．由开普勒第二定律，可知飞船在椭圆轨道Ⅰ上远地点的速度小于近地点的速度，A错误； B．由于只有万有引力做功，飞船在椭圆轨道Ⅰ上运行时机械能守恒，B错误； C．由开普勒第三定律，可知飞船在轨道Ⅰ的运行周期小于空间站在轨道Ⅱ的运行周期，C错误； D．飞船由内轨道向外轨道变轨，必须点火加速做离心运动，D正确。 故选D。 【变式2】2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功。70后、80后、90后航天员齐聚“天宫”，完成中国航天史上第5次“太空会师”。飞船入轨后先在近地轨道上进行数据确认，后经椭圆转移轨道与在运行轨道上做匀速圆周运动的空间站组合体完成自主快速交会对接，其变轨过程可简化为如图所示，假设除了变轨瞬间，飞船在轨道上运行时均处于无动力航行状态。下列说法正确的是（　　） A．飞船在近地轨道的A点减速后进入转移轨道 B．飞船在转移轨道上的A点速度大于点速度 C．飞船在近地轨道时的速度小于在运行轨道时的速度 D．飞船在近地轨道时的周期大于在运行轨道时的周期 【答案】B 【解析】A．飞船在近地轨道的A点加速后进入转移轨道，故A错误； B．根据开普勒第二定律，可知飞船在转移轨道上的A点速度大于点速度，故B正确； CD．根据 解得 ， 可知，飞船在近地轨道时的速度大于在运行轨道时的速度，飞船在近地轨道时的周期小于在运行轨道时的周期，故CD错误。 故选B。 【变式3】（多选）2023年10月26日17时46分，我国发射的神舟十七号载人飞船与已在轨的空间站组合体完成自主快速交会对接，它们在地球上空的对接过程如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．神舟十七号的发射速度应大于第一宇宙速度 B．神舟十七号进入II轨道后周期变长 C．“M卫星”若要与空间站对接，可以在III轨道上点火加速追上空间站 D．神舟十七号在II轨道上c点点火加速进入III轨道，此时在III轨道上的c点的加速度大于II轨道上的c点的加速度 【答案】AB 【解析】A．第一宇宙速度是发射地球卫星的最小发射速度，发射“神舟十七号”的速度大于第一宇宙速度，A正确； B．由开普勒第三定律知，神舟十七号进入II轨道后周期变长，B正确； C．“M卫星”若要与空间站对接，“M卫星”应该由低轨道与高轨道的空间站对接，对接开始时需要点火加速，脱离原有轨道，此后做离心运动与空间站实现对接，若在同一轨道，“M卫星”点火加速轨道会变的更高，C错误； D．根据牛顿第二定律有 可得 III轨道上的c点的加速度等于II轨道上的c点的加速度，D错误； 故选AB。 知识点5：多星系统 1.双星系统 (1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，只考虑他们之间相互作用的万有引力，称为双星系统，如图所示。 (2)双星问题的特点 ①两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点； ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供， = ， =； ③两星的运动周期、角速度相同； ④两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即 2.多星系统 在多星系统中：各个星体围绕同一点做匀速圆周运动，做圆周运动的周期、角速度相同；某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。 示意图 解题规律 轨道半径 常 见 的 三 星 模 型 ＋＝ r ×cos 30°×2＝ r＝ 常 见 的 四 星 模 型 ×2cos 45°＋＝ r＝L ×2×cos 30°＋＝ r＝ 【典例5】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比，则两颗天体的（　　） A．质量之比 B．角速度之比 C．线速度大小之比 D．双星间距离一定，双星的质量之和越大，其转动周期越大 【答案】A 【解析】B．双星运动的角速度大小相等，即 故B错误； A．由万有引力提供向心力有 解得 故A正确； C．由公式可得，线速度大小之比 故C错误； D．由万有引力提供向心力有 解得 ， 则 可知，双星间距离一定，双星的质量之和越大，其转动周期越小，故D错误。 故选A。 【变式1】人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则（　　） A．黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量 B．黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度 C．黑洞A的向心力一定小于黑洞B的向心力 D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大 【答案】A 【解析】BC．两个黑洞A、B组成双星系统，两者的角速度相同，由相互作用的万有引力提供向心力，则黑洞A和B的向心力大小相等，根据，且黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，可知黑洞A的线速度一定大于黑洞B的线速度，故BC错误； AD．设黑洞A、B的轨道半径分别为、，由牛顿第二定律得 又 联立解得， 由于黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，可知黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量；两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越小，故A正确，D错误。 【变式2】宇宙中存在一些特殊的天体，这些天体离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，这些特殊的天体常见的有双星系统、三星系统。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上（如图甲），两颗星围绕中央星做匀速圆周运动；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上（如图乙），并沿外接于等边三角形的圆形轨道运动。设三星系统各星的质量、距离、公转轨道半径分别如图所示，引力常量为G，则下列各表达式中正确的是（　　） A．直线三星系统星体做圆周运动的周期为 B．直线三星系统星体做圆周运动的向心加速度大小为 C．三角形三星系统中星体做圆周运动的周期为 D．三角形三星系统中星体做圆周运动的向心加速度大小为 【答案】C 【解析】A．对于直线三星系统中左侧星体，根据万有引力提供向心力，有 解得 故A错误； B．对于直线三星系统中左侧星体，根据牛顿第二定律有 解得 a1＝ 故B错误； C．对于三角形三星系统中其中一个星体，根据万有引力提供向心力，有 解得 故C正确； D．对于三角形三星系统中其中一个星体，根据牛顿第二定律有 解得 故D错误。 故选C。 【变式3】如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法中正确的是（　　） A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心 B．每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为 C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍 D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小变为原来的4倍 【答案】B 【解析】A．四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 解得每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为 故B正确； C．根据牛顿第二定律 可得 若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误； D．根据 可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为 所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D错误。 故选B。 知识点6：天体的“追及相遇”问题 1.天体“追及相遇”问题的理解 天体运动中的“追及相遇”是指围绕同一中心天体而且轨道共面运行的两个星体间相距“最近”或“最远”的问题。如图甲所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的同侧时，行星和地球间相距“最近”（也称为“某星冲日”现象）；而图乙时刻，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的异侧时，行星和地球间相距“最远”。 2.两个关键关系 地球和行星同向运行，从图甲位置开始计时。 角度 关系 相距 最近 ω1t－ω2t＝n·2π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时相距最近 相距 最远 ω1t－ω2t＝（2n－1）π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远 圈数 关系 相距 最近 －＝n，（n＝1，2，3，…） 相距 最远 －＝n－，（n＝1，2，3，…） 【典例6】（多选）如图所示，甲、乙两卫星沿相同方向绕地球做匀速圆周运动，甲卫星周期为，乙卫星周期为，某时刻两卫星恰好相距最远，则（　　） A．至少需时间，两卫星相距最近 B．至少需时间，两卫星相距最近 C．至少需时间，两卫星再次相距最远 D．至少需时间，两卫星再次相距最远 【答案】AD 【解析】AB．某时刻两卫星相距最近，则可知经过时间两卫星再次相距最近时 （取1，2，3…） 则 当取1时 A正确，B错误； CD．同理当两颗卫星经过时间两卫星相距最远时 （取1，2，3…） 则 当取1时 C错误，D正确； 故选AD。 【变式1】某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设卫星转动的周期为，根据题意可得 可得 根据万有引力提供向心力 可得 代入 可得 故选A。 【变式2】（多选）如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb=1∶4，则下列说法中正确的有（　　）    A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb=1∶8 B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb=1∶4 C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次 D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次 【答案】AD 【解析】AB．根据开普勒第三定律半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，故A正确，B错误； CD．设题图所示位置ac连线与bc连线的夹角为，b转动一周（圆心角为2π）的时间为Tb，则a、b相距最远时有 Tb－Tb>（π－θ）＋n·2π（n＝0，1，2，3，…） 可知n＝0，1，2，…，6，n可取7个值；a、b相距最近时有 Tb－Tb>（2π－θ）＋m·2π（m＝0，1，2，3，…） 可知m＝0，1，2，…，6，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式3】（多选）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当金星恰好运行到地球和太阳之间，且三者排成一条直线的现象，天文学称为“金星凌日”。当太阳位于金星和地球之间，且三者排成一条直线的现象，天文学称为“金星合日”。已知金星与太阳间的距离约为地球和太阳间距的0.72倍。下列判定正确的有（    ） A．金星绕太阳的周期约为0.6年 B．“金星凌日”的周期小于1年 C．从某次“金星凌日”到最近的“金星合日”的时间小于1年 D．从某次“金星凌日”到最近的“金星合日”的时间大于1年 【答案】AC 【解析】A．根据万有引力提供向心力，有 可得 有 所以 故A正确； B．设“金星凌日”的周期为，有 解得 故B错误； CD．设从某次“金星凌日”到最近的“金星合日”的时间为，有 解得 故C正确，D错误。 故选AC。 【方法技巧】 方法技巧1 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 (1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。 (2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。 (3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。 (4)判断卫星的加速度大小时，可根据判断 方法技巧2 各运行参量比较的两条思路 (1)绕地球运行的不同高度的卫星各运行参量大小的比较，可应用：＝m＝mω2r＝m·r＝ma，选取适当的关系式进行比较。 (2)忽略中心天体的自传，中心天体表面的重力近似等于物体所受的万有引力：mg＝m＝mω2r＝m·r＝ma。 (3)赤道上的物体的运行参量与其他卫星运行参量大小的比较，可先将赤道上的物体与同步卫星的运行参量进行比较，再结合(1)中结果得出最终结论。 【巩固训练】 1．我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星（　　） A．运动速度大于第一宇宙速度 B．运动速度小于第一宇宙速度 C．轨道半径大于“静止”在赤道上空的静止卫星 D．轨道半径小于“静止”在赤道上空的静止卫星 【答案】B 【解析】AB．第一宇宙速度是指绕地球表面做圆周运动的速度，是环绕地球做圆周运动的所有卫星的最大环绕速度，该卫星的运转半径远大于地球的半径，可知运行线速度小于第一宇宙速度，选项A错误B正确； CD．根据 可知 因为该卫星的运动周期与地球自转周期相同，等于“静止”在赤道上空的静止卫星的周期，可知该卫星的轨道半径等于“静止”在赤道上空的静止卫星的轨道半径，选项CD错误。 故选B。 2.我国某研究团队提出以磁悬浮旋转抛射为核心的航天器发射新技术。已知地球和月球质量之比约为，半径之比约为。若在地球表面抛射绕地航天器，在月球表面抛射绕月航天器，所需最小抛射速度的比值约为（　　） A．20 B．6 C．4.5 D．1.9 【答案】C 【解析】要抛射航天器，所需要的最小速度为中心天体的第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力 可得天体的第一宇宙速度 地球和月球质量之比约为，半径之比约为，则地球和月球的第一宇宙速度之比为 即所需最小抛射速度的比值约为4.5。 故选C。 3.（多选）据报道，我国计划发射的“巡天号”望远镜将运行在离地面约的轨道上，其视场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约的轨道上，若两望远镜绕地球近似做匀速圆周运动，则“巡天号”（　　） A．角速度大小比“哈勃”的小 B．线速度大小比“哈勃”的小 C．运行周期比“哈勃”的小 D．向心加速度大小比“哈勃”的大 【答案】CD 【解析】根据万有引力提供向心力可得 可得 ，，， 由于巡天号的轨道半径小于哈勃号的轨道半径，则有 ，，， 故选CD。 4.龙年首发，“长征5号”遥七运载火箭搭载通信技术试验卫星十一号发射成功，卫星进入地球同步轨道后，主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。下列说法正确的是（　　） A．静止卫星的加速度大于地球表面的重力加速度 B．静止卫星的运行速度小于7.9km/s C．所有静止卫星都必须在赤道平面内运行 D．卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力不变 【答案】B 【解析】A．根据 解得 静止卫星的轨道半径大于地球半径，则静止卫星的加速度小于地球表面的重力加速度，故A错误； B．地球的第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，根据 解得 静止卫星的轨道半径大于地球半径，则静止卫星的运行速度小于7.9km/s，故B正确； C．周期、角速度与地球自转周期、角速度相等的卫星叫静止卫星，可知，静止卫星的轨道不一定在赤道平面，在赤道平面的静止卫星叫静止卫星，故C错误； D．卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力大小不变，方向改变，即卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力发生变化，故D错误。 故选B。 5.（多选）长征五号遥五运载火箭搭载嫦娥五号探测器成功发射升空并将其送入轨道，11月28日，嫦娥五号进入环月轨道飞行，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤着陆地球。假设嫦娥五号环绕月球飞行时，在距月球表面高度为h处，绕月球做匀速圆周运动（不计周围其他天体的影响），测出其飞行周期T，已知引力常量G和月球半径R，则下列说法正确的是（　　） A．嫦娥五号绕月球飞行的线速度为 B．月球的质量为 C．月球的第一宇宙速度为 D．月球表面的重力加速度为 【答案】ACD 【解析】A．嫦娥五号绕月球飞行的轨道半径是R+h，则线速度 故A正确； B．嫦娥五号绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有 解得月球的质量 故B错误； C．设月球的第一宇宙速度为v1，有 联立可得 故C正确； D．在月球表面有 解得月球表面的重力加速度 故D正确。 故选ACD。 6.A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离随时间变化的关系如图所示。已知地球的半径为r，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，若不考虑A、B之间的万有引力，则卫星A、B绕地球运行的周期分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，则卫星B的轨道半径大于卫星A的轨道半径，A、B间最近距离 A、B间最远距离 由开普勒第三定律 A、B间相邻两次相距最近满足 解得卫星A、B绕地球运行的周期分别为 故选A。 7.宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在形式之一是：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每个星体的质量均为M，则（　　） A．环绕星运动的线速度为 B．环绕星运动的线速度为 C．环绕星动的周期为运 D．环绕星运动的周期为 【答案】D 【解析】AB.对某一个环绕星 解得 故AB错误； CD.而环绕行星运动的周期 解得 故C错误，D正确。 故选D。 8.如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A．b卫星转动线速度大于7.9 km/s B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc<Tb D．在b、c中，b的线速度大 【答案】D 【解析】A．b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有 解得 又 可得 与第一宇宙速度大小相同，即，故A错误。 B．地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以，根据知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据得b的向心加速度大于c的向心加速度，即，故B错误。 C．卫星c为地球同步卫星，所以，根据得c的周期大于b的周期，即，故C错误。 D．在b、c中，根据，可知b的线速度比c的线速度大，故D正确。 故选D。 9.（多选）许多科学家研究向火星进军，提出了把火星变为适宜人类居住的设想。若人类发射火星同步静止轨道卫星及近火星表面运行的卫星。已知火星的半径为，火星表面重力加速度为，火星的自转周期为，引力常量为，忽略火星自转因素影响。则下列说法正确的是（　　） A．火星的质量为 B．卫星的运行速度大小为 C．卫星到火星表面的高度为 D．卫星运行的速度大小、周期、角速度都是唯一的 【答案】AD 【解析】A．根据万有引力与重力的关系可得 所以 故A正确； B．根据万有引力与提供向心力可得 所以 故B错误； C．根据万有引力与提供向心力可得 所以 故C错误； D．卫星运行的周期等于火星自转周期，距火星表面的高度为定值，则运行速度大小、角速度都是唯一的，故D正确。 故选AD。 10.宇宙双星系统是由两颗相距较近的恒星组成的系统，它们在相互引力作用下，围绕着共同的圆心运动。它们为天文学家研究恒星的演化提供了很好的素材。已知某双星之间的距离为，相互绕行周期为，引力常量为，可以估算出（　　） A．双星的质量之和 B．双星的质量之积 C．双星的速率之比 D．双星的加速度之比 【答案】A 【解析】AB．由万有引力提供向心力可得 联立可得 所以 又由 可得 质量之和可以估算，质量之积无法求解，故A项正确，B项错误； C．由线速度与角速度的关系 可得 速率之和可以估算，速率之比无法求解，C项错误； D．由加速度与角速度的关系 可得 由于双星的半径之比未知，故双星的加速度之比无法求解，D项错误。 故选A。 11.我国于2018年12月成功发射“嫦娥四号”探测器，实现了人类首次月球背面着陆。假设“嫦娥四号”探测器的发射过程简化如下：探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过M点时变轨进入距离月球表面100km的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是（　　） A．“嫦娥四号”探测器的发射速度大于地球的第二宇宙速度 B．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过M点的速度小于在轨道Ⅱ上经过Q点的速度 C．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P点的加速度小于在轨道Ⅱ上经过P点的加速度 D．“嫦娥四号”在M点需要加速才能实现从地月转移轨道转移到Ⅰ轨道 【答案】B 【解析】A．“嫦娥四号”探测器绕月球运行时，并没有脱离地球引力的约束，所以发射速度大于地球的第一宇宙速度，小于地球的第二宇宙速度，故A错误； B．卫星绕月球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力得 可得 可知“嫦娥四号”在过Q点圆轨道的运行速度大于在轨道Ⅰ上经过M点的速度，而“嫦娥四号”在过Q点圆轨道需要点火加速变轨到椭圆轨道Ⅱ，所以“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过M点的速度小于在轨道Ⅱ上经过Q点的速度，故B正确； C．根据牛顿第二定律可得 可得 可知“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P点的加速度等于在轨道Ⅱ上经过P点的加速度，故C错误； D．卫星从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，所以“嫦娥四号”在M点需要减速才能实现从地月转移轨道转移到Ⅰ轨道，故D错误。 故选B。 12.（多选）土星是太阳系中的第二大行星，距离地球约30亿千米。如图所示为发射土星探测器的简易图，探测器经地土转移轨道后，经停泊轨道1、2，最后到达探测轨道3。已知土星的半径约为地球半径的9.5倍，质量约为地球质量的95倍，地球表面的重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．探测器的发射速度一定大于 B．土星表面的重力加速度大小为 C．探测器在轨道1，2，3的运行周期关系为 D．探测器在轨道1经点的速度小于轨道3经点的速度 【答案】BC 【解析】A．探测器需要到达土星，因此最终会脱离地球的引力束缚，但还在太阳系中，故发射速度应大于，小于，故A错误； B．由重力等于万有引力，有 解得 故土星表面的重力加速度大小 解得土星表面的重力加速度大小为 故B正确； C．由开普勒第三定律，有 可知轨道1的半长轴最大、轨道3的轨道半径最小，所以探测器在轨道1、2、3的运行周期关系为 故C正确； D．探测器在轨道1上经过点后做离心运动，有 探测器在轨道3上经过点做匀速圆周运动，有 故 故D错误。 故选BC。 13.科学家将首批宇航员送往火星进行考察。假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测一质量为的物体，其重力的读数为，在火星赤道上宇航员用同一个弹簧测力计测其重力的读数为（其中），通过天文观测测得火星的自转周期为，引力常量为，将火星看成是质量分布均匀的球体，求： (1)火星的密度； (2)火星的第一宇宙速度。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据题意，物体在火星两极处万有引力等于重力，则有 在火星赤道上有 联立得火星的半径为， 根据密度公式得，火星的密度为 体积 联立得 （2）由万有引力提供向心力，对在火星表面匀速圆周运动的物体有 结合小问（1）解得，火星的第一宇宙速度为 14.如图所示，A是地球的一颗静止卫星，O为地球中心，地球半径为R，地球自转周期为T0。另一卫星B的圆形轨道也位于赤道平面内，且距地面的高度h=R，地球表面的重力加速度大小为g。 （1）求卫星B所在处的重力加速度； （2）求卫星B的运行周期T1； （3）若卫星B运行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近，求从A、B两卫星相距最近时刻到紧邻的相距最远时刻的时间间隔。（用T0和T1表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）地球表面 卫星B处 又，解得 （2）卫星B向心力公式 解得 （3）从相距最近到相距最远 即 解得 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4节 宇宙航行 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 2 【知识梳理】 2 知识点1：宇宙速度的理解与计算 2 知识点2：人造同步卫星 4 知识点3：同步卫星、近地卫星、赤道上物体的运行参量比较.......................................................................6 知识点4：卫星变轨.............................................................................................................................................8 知识点5：多星系统............................................................................................................................................11 知识点6：天体的“追及相遇”问题...............................................................................................................14 【方法技巧】 17 方法技巧 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 17 方法技巧 各运行参量比较的两条思路 17 【巩固训练】 18 【学习目标】 1.了通过近地卫星的运行推导第一宇宙速度并计算其数值，同时理解第二、第三宇宙速度的含义。 2.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化。 3.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度。 重点： 1. 知道三个宇宙速度的含义及大小，会计算第一宇宙速度； 2. 了解不同类型的人造卫星的轨道，掌握同步卫星的轨道特点； 难点： 1. 掌握多星系统的运行特点，会计算运行周期和角速度； 2. 掌握卫星的发射与变轨，会分析卫星变轨前后物理量的变化 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：宇宙速度的理解与计算 1．第一宇宙速度 ①第一宇宙速度（环绕速度）：物体在地球附近绕地球做 运动的速度，称为第一宇宙速度. ②第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m 得v1＝ ；方法二：由mg＝m得v1＝ 第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大 速度和最小 速度，v1= 2．第二宇宙速度 第二宇宙速度(脱离速度)：在地面上发射飞行器，使之能够挣脱 引力的束缚，成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度，称为第二宇宙速度， 3．第三宇宙速度 第三宇宙速度(逃逸速度)：在地面上发射飞行器，使之最后能挣脱 引力的束缚，飞到太阳系以外所需的最小速度，称为第三宇宙速度，＝ 注意区分运行速度与发射速度 卫星绕中心天体做匀速圆周运动的速度为运行速度，轨道半径越大，运行速度越小；发射速度是在地面上发射卫星的速度，发射速度越大，卫星能到达的轨道越高，为保证发射成功，发射速度应满足不低于对应轨道上的宇宙速度。 【典例1】2024年5月，天文学家观测到了Gliese-12行星，据推测其环境可能跟地球类似。已知该行星半径与地球半径相当，质量约为地球的4倍。Gliese-12行星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的（    ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．4倍 【变式1】下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是（　　） A．第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 B．火星探测卫星的发射速度大于 C．第三宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度 D．人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于或等于、小于 【变式2】搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。约10分钟后。神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功。如图所示，虚线为飞船的运行轨道，周期为，离地高度为。若飞船绕地球做匀速圆周运动，地球半径为，则地球的第一宇宙速度大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）火星与地球的质量比为a，半径比为b，则它们的第一宇宙速度之比和表面的重力加速度之比分别是（　　） A． B． C． D． 知识点2：人造同步卫星 1． 轨道特点 一般情况下可近似认为人造卫星绕地球做 运动，其向心力由地球对它的 提供，方向指向地心，因此人造卫星的轨道圆心与 重合。卫星运动的轨道平面可以在赤道平面内（如地球同步卫星），也可以和赤道平面垂直（如极地卫星），还可以和赤道平面成任意夹角. 2． 运行参量 人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力＝ 由v＝可知，卫星的线速度随r的增大而 ；由ω＝可知，卫星的角速度随r的增大而 ；由T＝2π可知，卫星的运行周期随r的增大而 3．几种特殊的卫星 （1）近地卫星 围绕地球 做匀速圆周运动的卫星，轨道半径近似等于 半径；万有引力提供向心力， = , ， ，是人造卫星做匀速圆周运动的 速度和 周期. （2） 同步卫星 ①概念：相对于地面 且与地球自转具有相同 的卫星，叫作地球同步卫星，主要用于通信，因此也叫 卫星。 ②由 = 可知，同步卫星的特点： 定方向：和地球自转方向 ；定周期、角速度：和地球自转周期、角速度 ，即T＝24 h； 定轨道平面：所有的同步卫星都在赤道的 ，其轨道平面必须与赤道平面 ； 定高度：离地面高度固定 (3.6×104 km)；定速率：线速度大小 (3.1×103 m/s)； 定加速度：由于同步卫星高度确定，所以轨道半径确定，因此向心加速度大小 。 （3）卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星. 【典例2】关于地球静止卫星，下列说法中正确的是（　　） A．静止卫星处于平衡状态 B．静止卫星的周期是一定的 C．静止卫星的受到的向心力是不变的 D．静止卫星的速度大于第一宇宙速度 【变式1】“嫦娥四号”探测器在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（　　） A． B． C． D． 【变式2】北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．其中北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，北斗—M3为一颗中圆地球轨道卫星（轨道半径小于静止轨道半径），下列说法正确的是（    ） A．北斗—G4和北斗—IGSO2都相对地面静止 B．北斗—G4和北斗—IGSO2的轨道半径相等 C．北斗—M3与北斗—G4的周期平方之比等于高度立方之比 D．北斗—M3的线速度比北斗—IGSO2的线速度小 【变式3】“天问二号”探测器即将出征，将再次创造中国航天新高度。假设“天问二号”绕地球的运动可视为匀速圆周运动，距地面的高度为h，飞行n圈所用时间为t，“天问二号”的总质量为m，地球半径为R，引力常量为G，则（　　） A．地球的质量 B．地球表面的重力加速度 C．探测器的向心加速度 D．探测器的线速度 知识点3：同步卫星、近地卫星、赤道上物体的运行参量比较 近地卫星 同步卫星 赤道上随地球自转的物体 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 角速度 由G＝mω2r得ω＝，故> 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故 线速度 由G＝m得v＝ ，故> 由v＝rω得 向心加 速度 由G＝ma得a＝，故 > 由a＝ω2r得 【典例3】如图所示，a为静止在赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。以地心为参考系，关于它们的向心加速度，线速度，下列描述正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，a、b、c是人造地球卫星，三者的轨道与赤道共面，且a是静止卫星，c是近地卫星，d是静止在赤道地面上的一个物体，以下关于a、b、c、d四者的说法正确的是（    ）    A．a的线速度比b的线速度小，且两者线速度都小于第一宇宙速度 B．角速度大小关系是 C．d的向心加速度等于赤道处的重力加速度 D．周期关系是 【变式2】如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球静止卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中错误的是（　　） A．a、b、c三物体，都仅由万有引力提供向心力 B．周期关系为 C．线速度的大小关系为 D．向心加速度的大小关系为 【变式3】有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球静止卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有（    ） A．a的向心加速度等于重力加速度g B．b在相同时间内转过的弧长最长 C．c在4h内转过的圆心角是 D．d的运动周期有可能是23h 知识点4：卫星变轨 1.变轨原因 (1)当卫星的速度增加时，由于G<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做 运动，脱离原来的圆轨道进入高轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝ 可知其运行速度比在原轨道时 。 (2)当卫星的速度减小时，由于G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做 运动，脱离原来的圆轨道进入低轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝ 可知其运行速度比在原轨道时 。 2.变轨过程 （1）在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，如图所示。 （2）在A点（近地点）点火 ，由于速度变大，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 （3）在椭圆轨道B点（远地点）再次点火 ，卫星做离心运动进入圆轨道Ⅲ。 3.变轨过程中运行参量的分析比较 (1)速度：卫星在圆轨道 Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为vⅠ、vⅢ， > ； 在轨道Ⅱ上过A、B点时的速率分别为 、 ，在A点加速，则 > ；在B点加速，则 < ； 四个速率关系： (2)加速度：在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都 ，即 ；同理，在B点， ；A、B两点向心加速度关系， 。 (3)卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为TⅠ、、TⅢ，由开普勒第三定律可知 。 【典例4】2023年我国“天宫号”太空实验室实现了长期有人值守，我国迈入空间站时代。如图所示，“天舟号”货运飞船沿椭圆轨道运行，A、B两点分别为椭圆轨道的近地点和远地点，则以下说法正确的是（　　） A．“天舟号”在A点的线速度大于“天宫号”的线速度 B．“天舟号”在B点的加速度小于“天宫号”的加速度 C．“天舟号”在椭圆轨道的周期比“天宫号”周期大 D．“天舟号”与“天宫号”对接前必须先减速运动 【变式1】2024年4月，神舟十八号载人飞船发射升空，并与空间站天和核心舱自主交会对接成功。将二者对接前飞船和空间站的稳定运行轨道简化，如图，轨道Ⅰ为载人飞船稳定运行的椭圆轨道，轨道Ⅱ为空间站稳定运行的圆轨道，在两轨道的相切点载人飞船与空间站可实现对接，则（　　） A．飞船在椭圆轨道I上经过远地点P的速度大于经过近地点Q的速度 B．飞船在椭圆轨道I上稳定运行时机械能不守恒 C．飞船在轨道I的运行周期大于空间站在轨道II的运行周期 D．飞船要想从轨道I变轨至轨道II，需要在P点点火加速 【变式2】2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功。70后、80后、90后航天员齐聚“天宫”，完成中国航天史上第5次“太空会师”。飞船入轨后先在近地轨道上进行数据确认，后经椭圆转移轨道与在运行轨道上做匀速圆周运动的空间站组合体完成自主快速交会对接，其变轨过程可简化为如图所示，假设除了变轨瞬间，飞船在轨道上运行时均处于无动力航行状态。下列说法正确的是（　　） A．飞船在近地轨道的A点减速后进入转移轨道 B．飞船在转移轨道上的A点速度大于点速度 C．飞船在近地轨道时的速度小于在运行轨道时的速度 D．飞船在近地轨道时的周期大于在运行轨道时的周期 【变式3】（多选）2023年10月26日17时46分，我国发射的神舟十七号载人飞船与已在轨的空间站组合体完成自主快速交会对接，它们在地球上空的对接过程如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．神舟十七号的发射速度应大于第一宇宙速度 B．神舟十七号进入II轨道后周期变长 C．“M卫星”若要与空间站对接，可以在III轨道上点火加速追上空间站 D．神舟十七号在II轨道上c点点火加速进入III轨道，此时在III轨道上的c点的加速度大于II轨道上的c点的加速度 知识点5：多星系统 1.双星系统 (1)绕 转动的两个星体组成的系统，只考虑他们之间相互作用的万有引力，称为双星系统，如图所示。 (2)双星问题的特点 ①两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点； ②两星的向心力大小 ，由它们间的万有引力提供， = ， = ； ③两星的运动 相同； ④两星的轨道半径之和等于两星之间的 ，即 2.多星系统 在多星系统中：各个星体围绕同一点做匀速圆周运动，做圆周运动的周期、角速度相同；某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。 示意图 解题规律 轨道半径 常 见 的 三 星 模 型 ＋＝ r ×cos 30°×2＝ r＝ 常 见 的 四 星 模 型 ×2cos 45°＋＝ r＝L ×2×cos 30°＋＝ r＝ 【典例5】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比，则两颗天体的（　　） A．质量之比 B．角速度之比 C．线速度大小之比 D．双星间距离一定，双星的质量之和越大，其转动周期越大 【变式1】人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则（　　） A．黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量 B．黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度 C．黑洞A的向心力一定小于黑洞B的向心力 D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大 【变式2】宇宙中存在一些特殊的天体，这些天体离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，这些特殊的天体常见的有双星系统、三星系统。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上（如图甲），两颗星围绕中央星做匀速圆周运动；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上（如图乙），并沿外接于等边三角形的圆形轨道运动。设三星系统各星的质量、距离、公转轨道半径分别如图所示，引力常量为G，则下列各表达式中正确的是（　　） A．直线三星系统星体做圆周运动的周期为 B．直线三星系统星体做圆周运动的向心加速度大小为 C．三角形三星系统中星体做圆周运动的周期为 D．三角形三星系统中星体做圆周运动的向心加速度大小为 【变式3】如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法中正确的是（　　） A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心 B．每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为 C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍 D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小变为原来的4倍 知识点6：天体的“追及相遇”问题 1.天体“追及相遇”问题的理解 天体运动中的“追及相遇”是指围绕同一中心天体而且轨道共面运行的两个星体间相距“最近”或“最远”的问题。如图甲所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的同侧时，行星和地球间相距“最近”（也称为“某星冲日”现象）；而图乙时刻，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的异侧时，行星和地球间相距“最远”。 2.两个关键关系 地球和行星同向运行，从图甲位置开始计时。 角度 关系 相距 最近 ω1t－ω2t＝n· ，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时相距最近 相距 最远 ω1t－ω2t＝ π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远 圈数 关系 相距 最近 －＝ ，（n＝1，2，3，…） 相距 最远 －＝ ，（n＝1，2，3，…） 【典例6】（多选）如图所示，甲、乙两卫星沿相同方向绕地球做匀速圆周运动，甲卫星周期为，乙卫星周期为，某时刻两卫星恰好相距最远，则（　　） A．至少需时间，两卫星相距最近 B．至少需时间，两卫星相距最近 C．至少需时间，两卫星再次相距最远 D．至少需时间，两卫星再次相距最远 【变式1】某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb=1∶4，则下列说法中正确的有（　　）    A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb=1∶8 B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb=1∶4 C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次 D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次 【变式3】（多选）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当金星恰好运行到地球和太阳之间，且三者排成一条直线的现象，天文学称为“金星凌日”。当太阳位于金星和地球之间，且三者排成一条直线的现象，天文学称为“金星合日”。已知金星与太阳间的距离约为地球和太阳间距的0.72倍。下列判定正确的有（    ） A．金星绕太阳的周期约为0.6年 B．“金星凌日”的周期小于1年 C．从某次“金星凌日”到最近的“金星合日”的时间小于1年 D．从某次“金星凌日”到最近的“金星合日”的时间大于1年 【方法技巧】 方法技巧1 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 (1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。 (2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。 (3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。 (4)判断卫星的加速度大小时，可根据判断 方法技巧2 各运行参量比较的两条思路 (1)绕地球运行的不同高度的卫星各运行参量大小的比较，可应用：＝m＝mω2r＝m·r＝ma，选取适当的关系式进行比较。 (2)忽略中心天体的自传，中心天体表面的重力近似等于物体所受的万有引力：mg＝m＝mω2r＝m·r＝ma。 (3)赤道上的物体的运行参量与其他卫星运行参量大小的比较，可先将赤道上的物体与同步卫星的运行参量进行比较，再结合(1)中结果得出最终结论。 【巩固训练】 1．我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星（　　） A．运动速度大于第一宇宙速度 B．运动速度小于第一宇宙速度 C．轨道半径大于“静止”在赤道上空的静止卫星 D．轨道半径小于“静止”在赤道上空的静止卫星 2.我国某研究团队提出以磁悬浮旋转抛射为核心的航天器发射新技术。已知地球和月球质量之比约为，半径之比约为。若在地球表面抛射绕地航天器，在月球表面抛射绕月航天器，所需最小抛射速度的比值约为（　　） A．20 B．6 C．4.5 D．1.9 3.（多选）据报道，我国计划发射的“巡天号”望远镜将运行在离地面约的轨道上，其视场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约的轨道上，若两望远镜绕地球近似做匀速圆周运动，则“巡天号”（　　） A．角速度大小比“哈勃”的小 B．线速度大小比“哈勃”的小 C．运行周期比“哈勃”的小 D．向心加速度大小比“哈勃”的大 4.龙年首发，“长征5号”遥七运载火箭搭载通信技术试验卫星十一号发射成功，卫星进入地球同步轨道后，主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。下列说法正确的是（　　） A．静止卫星的加速度大于地球表面的重力加速度 B．静止卫星的运行速度小于7.9km/s C．所有静止卫星都必须在赤道平面内运行 D．卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力不变 5.（多选）长征五号遥五运载火箭搭载嫦娥五号探测器成功发射升空并将其送入轨道，11月28日，嫦娥五号进入环月轨道飞行，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤着陆地球。假设嫦娥五号环绕月球飞行时，在距月球表面高度为h处，绕月球做匀速圆周运动（不计周围其他天体的影响），测出其飞行周期T，已知引力常量G和月球半径R，则下列说法正确的是（　　） A．嫦娥五号绕月球飞行的线速度为 B．月球的质量为 C．月球的第一宇宙速度为 D．月球表面的重力加速度为 6.A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离随时间变化的关系如图所示。已知地球的半径为r，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，若不考虑A、B之间的万有引力，则卫星A、B绕地球运行的周期分别为（    ） A． B． C． D． 7.宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在形式之一是：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每个星体的质量均为M，则（　　） A．环绕星运动的线速度为 B．环绕星运动的线速度为 C．环绕星动的周期为运 D．环绕星运动的周期为 8.如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A．b卫星转动线速度大于7.9 km/s B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc<Tb D．在b、c中，b的线速度大 9.（多选）许多科学家研究向火星进军，提出了把火星变为适宜人类居住的设想。若人类发射火星同步静止轨道卫星及近火星表面运行的卫星。已知火星的半径为，火星表面重力加速度为，火星的自转周期为，引力常量为，忽略火星自转因素影响。则下列说法正确的是（　　） A．火星的质量为 B．卫星的运行速度大小为 C．卫星到火星表面的高度为 D．卫星运行的速度大小、周期、角速度都是唯一的 10.宇宙双星系统是由两颗相距较近的恒星组成的系统，它们在相互引力作用下，围绕着共同的圆心运动。它们为天文学家研究恒星的演化提供了很好的素材。已知某双星之间的距离为，相互绕行周期为，引力常量为，可以估算出（　　） A．双星的质量之和 B．双星的质量之积 C．双星的速率之比 D．双星的加速度之比 11.我国于2018年12月成功发射“嫦娥四号”探测器，实现了人类首次月球背面着陆。假设“嫦娥四号”探测器的发射过程简化如下：探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过M点时变轨进入距离月球表面100km的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是（　　） A．“嫦娥四号”探测器的发射速度大于地球的第二宇宙速度 B．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过M点的速度小于在轨道Ⅱ上经过Q点的速度 C．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P点的加速度小于在轨道Ⅱ上经过P点的加速度 D．“嫦娥四号”在M点需要加速才能实现从地月转移轨道转移到Ⅰ轨道 12.（多选）土星是太阳系中的第二大行星，距离地球约30亿千米。如图所示为发射土星探测器的简易图，探测器经地土转移轨道后，经停泊轨道1、2，最后到达探测轨道3。已知土星的半径约为地球半径的9.5倍，质量约为地球质量的95倍，地球表面的重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．探测器的发射速度一定大于 B．土星表面的重力加速度大小为 C．探测器在轨道1，2，3的运行周期关系为 D．探测器在轨道1经点的速度小于轨道3经点的速度 13.科学家将首批宇航员送往火星进行考察。假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测一质量为的物体，其重力的读数为，在火星赤道上宇航员用同一个弹簧测力计测其重力的读数为（其中），通过天文观测测得火星的自转周期为，引力常量为，将火星看成是质量分布均匀的球体，求： (1)火星的密度； (2)火星的第一宇宙速度。 14.如图所示，A是地球的一颗静止卫星，O为地球中心，地球半径为R，地球自转周期为T0。另一卫星B的圆形轨道也位于赤道平面内，且距地面的高度h=R，地球表面的重力加速度大小为g。 （1）求卫星B所在处的重力加速度； （2）求卫星B的运行周期T1； （3）若卫星B运行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近，求从A、B两卫星相距最近时刻到紧邻的相距最远时刻的时间间隔。（用T0和T1表示） / 学科网（北京）股份有限公司 $