第9题 统计概率 分类训练-2026届高考数学三轮冲刺

2026年新高考第9题分类训练 统计概率 考点 3年考题 考情分析 统计概率 2025年新高考Ⅰ卷第14题 2025年新高考Ⅱ卷第1题 2024年新高考Ⅰ卷第9题 2024年新高考Ⅱ卷第4题 2023年新高考Ⅰ卷第9题 2023年新高考Ⅱ卷第12题 概率统计小题主要考查概率计算、数字特征求解、各类分布应用及事件关系判定等知识点，难度以基础和中档为主，兼具少量综合型难题。结合最近3年命题趋势可预测，2026 年新高考该板块命题方向将围绕数字特征与概率计算的综合问题展开，还会融入频率分布直方图、事件独立性判定等内容，注重知识的灵活运用与实际场景的建模考查。 1．（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第14题）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望 . 【答案】## 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【解析】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 2．（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【解析】样本数据的平均数为. 故选：C. 3.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【解析】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 4.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第8题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 24 10 据表中数据，结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【解析】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，亩产量在的频数为， 所以平均值为，故D错误. 故选；C. 5.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第9题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【解析】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：因为是最小值，是最大值， 则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差， 例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差， 显然，即；故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 6.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答. 【解析】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 1.百分位数、众数、平均数的定义 (1)如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数． 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值， 它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． (2)第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数； 第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3.众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 4.平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)． 5.样本的数字特征之方差 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的 (1)标准差s＝ . (2)方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 6.平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 7.古典概型概率公式 P(A)＝＝. 8.概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 9.互斥事件的概率加法公式（性质3） 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 10.对立事件的概率（性质4） 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；特别地， 11.概率的一般加法公式（性质6） 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有 12.事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 13.条件概率及其性质 （1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为()．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则(n(AB)表示A，B共同发生的基本事件的个数)． （2）条件概率具有的性质 ①； ②如果B和C是两个互斥事件，则. （特别地，） 14.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 15.贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 16.离散型随机变量的分布列 （1）;（2）. （3）数学期望 方差 数学期望的性质.方差的性质； 方差与期望的关系. 17.二项分布 （1）一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 若，则，． 18.超几何分布 （1）在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 19.正态分布 正态分布密度函数，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有 ；；． 20.定义：公式称为二项式定理 （1）二项展开式： （2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数 （3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为： （4）在二项式定理中，若设，，则得到公式 21.求二项式系数和： （1）令，则 （2）令，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即 22.求各项系数和 （1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，； （2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为； （3）若，则的各项系数之和为， 奇数项系数之和为，偶数项系数之和为 统计特征量 1.（多选）（浙江金丽衢十二校2026届高三第一次联考）有一组数据，则（    ） A．该组数据的极差为6 B．该组数据的中位数为5 C．该组数据的平均数为4 D．将数据1均改为3后，方差会变大 【答案】AC 【解析】数据的极差为，所以A正确；数据的中位数为，故B错误； 数据的平均数为，故C正确； 原数据的方差 . 数据1均改为3后的数据为，平均数为 . 因为，所以数据1均改为3后，方差会变小，故D错误. 故选：AC 2.（多选）（江西省部分学校2025-2026学年高三上学期1月测试）已知2017—2024年中国城镇新增就业人数（单位：万人）依次为：1351，1361，1352，1186，1269，1206，1244，1256，对于这8个数据，下列结论正确的是（ ） A. 极差是175 B. 平均数不小于1300 C. 中位数是1256 D. 60%分位数是1269 【答案】AD 【解析】对于A，根据极差的定义，可得数据的极差是，所以A正确； 对于B，根据平均数的计算公式，可得数据的平均数为，所以B错误； 对于C，把这8个数据按照从小到大顺序排列，可得中位数是第4个数1256与第5个数1269的平均数，所以C错误； 对于D，由，把这8个数据按照从小到大顺序排列，60%分位数是第5个数1269，所以D正确． 故选：AD． 3.（多选）（广东省东莞市2026届高三调研考试）甲、乙两名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，两人的测试成绩如下表： 甲的成绩 乙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 4 5 8 3 频数 5 3 9 3 则下列说法正确的有（ ） A. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 B. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D. 甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差 【答案】AC 【解析】由题意可得甲的成绩的中位数为9，平均数为， 方差为，极差为3； 乙的成绩的中位数为9，平均数为， 方差为，极差为3. 故甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数、甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数、甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差、甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差. 故AC正确，BD错误. 故选：AC 4.（多选）（2026届T8联考）已知一组数据 的平均数为 ,将这组数据分别加上它们的平均数,得到一组新数据 ,则新数据与原数据相比 A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 【答案】 【解析】极差为最大值与最小值的差, 极差相同, 选项 A 正确; 原数据的平均数 ,新数据的平均数 平均数不同, 选项 正确; 原数据的方差 ,新数据的方差 方差相同， 选项 C 错误； 中位数显然不同, 选项 D 错误. 故选：AB 5.（多选）（广东省2026届普通高中毕业班第二次调研）两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（ ） A．的平均数为 B．的方差为 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】根据平均数与方差的性质，易知A、C正确，B、D错误， 故选：AC． 6.（四川省成都市多校2026届高三上学期第一次联合诊断性考试）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解析】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 7.（多选）（浙江省宁波市2026届高三第一学期期末考试） 海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法.收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如下图所示. 记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70，则（ ） A. 乙试验区产量频率分布直方图中， B. 甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数 C. 甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数 D. 甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数 【答案】AC 【解析】对于A，记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70， 则， 解得，A正确； 对于B，甲试验区产量的众数为，乙试验区产量的众数为， 甲试验区产量的众数小于乙试验区产量的众数，B错误； 对于C，甲试验区产量的平均数为 乙试验区产量的平均数为 甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数，C正确； 对于D，设甲试验区产量的75%分位数为，则， 解得 设乙试验区产量的中位数为，则，解得 甲试验区产量的75%分位数小于乙试验区产量的中位数，D错误； 故选：AC. 8.（多选）（湖北省部分市州2026届高三上学期1月联考）下列命题中正确的有（    ） A．数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24 B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C．若样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数和方差分别为8和27 D．若为两个随机事件，，，，则 【答案】ACD 【解析】对于A：先将这8个数进行从小到大排列：12，14，15，17，19，24，27，30， ，因为是小数，故这组数据的第70百分位数为第6个数， 即，故A正确； 对于B：若两个随机变量为负相关，且两个随机变量的线性相关性越强，则此时相关系数r的值越接近于，故B错误； 对于C：若样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数为，方差为，故C正确； 对于D：由题可知，，得， 则， ，故D正确. 故选：ACD. 事件关系与概率 1.（多选）（四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高三上学期期末（第二阶段学情）考试）下列说法正确的是（   ） A．某人掷骰子1次，“掷出5”与“掷出6”是互斥事件 B．某人掷骰子1次，“掷出奇数”与“掷出偶数”是对立事件 C．数据4，3，4，6，8，7，8，9的第60百分位数是8 D．数据的方差为，则数据的方差为 【答案】ABD 【解析】由于“掷出5”与“掷出6”不可能同时发生，即它们为互斥事件，A正确； “掷出奇数”与“掷出偶数”不可能同时发生，且必有1个发生，为对立事件，B正确； 数据4，3，4，6，8，7，8，9从小到大排列为：3，4，4，6，7，8，8，9，由于，因此该组数据的第60百分位数是7，C错误； 数据的方差为，则数据的方差为，D正确. 故选：ABD． 2.（多选）（河南省郑州市2026届高三上学期第一次质量预测）任意抛掷一枚骰子一次，观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（    ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，事件包含10个样本点 【答案】AC 【解析】A，样本空间包含 6 个样本点，事件，因此，正确； B，由题意得，故，而， 因，故事件A与B不独立，错误； C，事件时，，已知，， 代入得，，解得，正确； D，样本空间仅包含 6 个样本点，事件C是的子集，不可能包含 10 个样本点，错误. 故选：AC 3.（多选）（2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一））已知事件，满足，，则下列结论正确的是(    ). A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则与相互独立 D．若与相互独立，则 【答案】BC 【解析】对于A，由，得，A错误； 对于B，由A与B互斥，得，B正确； 对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确； 对于D，由A与B相互独立，得，相互独立，则，D错误. 故选：BC 4.（多选）（浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价）我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1-12的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义： 事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体） 事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体） 事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标） 现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】由题可得总样本数为 12（编号 1-12）， 事件为“选中奇数编号目标”：，共6个，则， 事件为“选中编号小于7的目标”，共6个，则， 事件为“选中1，2，4，8号目标” ，共4个，则; 事件AB 为“奇数且编号小于 7”，即 ，共 3 个，, ,所以，故A正确； 事件AC为“编号为1”，共1个，所以,则，故B正确； 事件 为“编号为3,5,7,9,11”，共5个，所以,所以; 所以，故C错误； 事件为“编号为1”，共1个，所以,; 所以，故D正确. 故选：ABD. 5.（多选）（山东省济南市2026届高三第一次模拟考试）现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（    ） A． B． C． D．且 【答案】BCD 【解析】对于A，若数字9被选到，有两种情况： 第一次选数时，从1到10中选到9，概率为， 第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为， 所以，选项A错误； 对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为； 发生后，下一次从1到8中选到8，概率为， 发生后，下一次从1到9中选到8，概率为， 这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确； 对于C，根据条件概率公式，， 若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下， 下一次从1到8中选到8的概率为，即， 若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8， 也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8， 即， 所以，选项C正确； 对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数， 则 ， 当时，有，，， 结合知，， 所以最大数选取是任意的，始终有， 对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数， 选中的概率，则有， 可得，选项D正确. 故选：BCD 分布列 1.（湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末） 已知随机变量服从正态分布，且，则 ________。 【答案】 【解析】因为，而，所以，. 故答案为： 2.（安徽省黄山市2026届高三第一次质量检测）已知随机变量，若，则 ． 【答案】0.2/ 【解析】由题意，. 故答案为：. 3.（多选）（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】依据二项分布相关公式，． 依据正态分布定义，． 故而由期望可加性，A选项正确． 由随机变量数学期望和方差的相关性质，， ，因此B选项正确，C选项错误． 由正态分布的相关性质，有， 而，所以，D选项正确． 故选：ABD 4.（2026届辽宁省重点高中协作体调研测试（二））设随机变量，当正整数n很大，p很小，不大时，X的分布接近泊松分布，即．现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为（已知…）（ ） A. 100 B. 101 C. 102 D. 103 【答案】D 【解析】记随机变量X为购买a个元件后的次品数． 由题意，此时X可看成泊松分布．则，记， 则． 由于t很小，故大致有． 分别计算，左边约等于0.37，0.74，0.91，0.98，故， 即． 故选：D. 5.（Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第二次联考）有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球。记(i=1,2,3,4,5)为标有数字i的球被取出的次数， ，则 。 【答案】 【解析】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， ，，， 所以, 故答案为： 6.（多选）（浙江杭州学军中学2025-2026学年高三期末考试）（多选）下列命题中，真命题的是（ ） A. 数据的第70百分位数是23 B. 若回归方程为，则变量与成负相关 C. 若随机变量服从正态分布，，则 D. 在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 【答案】AB 【解析】对于A，数据共8个数， ，所以第70百分位数是第个数，说法正确； 对于B，回归方程中，所以变量与成负相关，说法正确； 对于C，因为随机变量服从正态分布，， 所以，所以，说法错误； 对于D，在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越大，越接近1，则模型的拟合效果越好，说法错误； 故选：AB 二项式定理 1.（多选）（广东省2026年1月普通高等学校招生适应性测试）若的展开式中的系数为，则（    ） A． B．所有项系数之和为1 C．二项式系数之和为64 D．二项式系数最大项为第3项 【答案】ABC 【解析】因为，可知二项式系数之和为，二项式系数最大项为第项，故C正确，D错误； 因为的展开式中项为， 可得，解得，故A正确； 则， 令，所有项系数之和为，故B正确； 故选：ABC. 2.（多选）（江西省部分省示范高中2025-2026学年高三一轮复习摸底监测数）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】令，得，A错误． 令，得①，B错误． 令，得②，由①-②得，C正确． 令，得， 则，D正确． 故选：CD 3.（多选）（湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，令，则，故A错误； 对于B，由的系数为，故B正确； 对于C，令，则①， 令，则②， 所以，故C错误； 对于D，对原式两边求导，有， 令，得，故D正确. 故选：BD 4.（多选）（山东省名校考试联盟2026届高三下学期2月份核心素养评估）若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，因此本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：在中， 令，得， 令，得， 所以本选项说法正确； D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，所以本选项说法不正确. 故选：AC 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年新高考第9题分类训练 统计概率 考点 3年考题 考情分析 统计概率 2025年新高考Ⅰ卷第14题 2025年新高考Ⅱ卷第1题 2024年新高考Ⅰ卷第9题 2024年新高考Ⅱ卷第4题 2023年新高考Ⅰ卷第9题 2023年新高考Ⅱ卷第12题 概率统计小题主要考查概率计算、数字特征求解、各类分布应用及事件关系判定等知识点，难度以基础和中档为主，兼具少量综合型难题。结合最近3年命题趋势可预测，2026 年新高考该板块命题方向将围绕数字特征与概率计算的综合问题展开，还会融入频率分布直方图、事件独立性判定等内容，注重知识的灵活运用与实际场景的建模考查。 1．（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第14题）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望 . 2．（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 3.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 4.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第8题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 24 10 据表中数据，结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 5.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第9题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 6.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 1.百分位数、众数、平均数的定义 (1)如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数． 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值， 它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． (2)第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数； 第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3.众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 4.平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)． 5.样本的数字特征之方差 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的 (1)标准差s＝ . (2)方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 6.平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 7.古典概型概率公式 P(A)＝＝. 8.概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 9.互斥事件的概率加法公式（性质3） 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 10.对立事件的概率（性质4） 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；特别地， 11.概率的一般加法公式（性质6） 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有 12.事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 13.条件概率及其性质 （1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为()．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则(n(AB)表示A，B共同发生的基本事件的个数)． （2）条件概率具有的性质 ①； ②如果B和C是两个互斥事件，则. （特别地，） 14.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 15.贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 16.离散型随机变量的分布列 （1）;（2）. （3）数学期望 方差 数学期望的性质.方差的性质； 方差与期望的关系. 17.二项分布 （1）一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 若，则，． 18.超几何分布 （1）在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 19.正态分布 正态分布密度函数，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有 ；；． 20.定义：公式称为二项式定理 （1）二项展开式： （2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数 （3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为： （4）在二项式定理中，若设，，则得到公式 21.求二项式系数和： （1）令，则 （2）令，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即 22.求各项系数和 （1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，； （2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为； （3）若，则的各项系数之和为， 奇数项系数之和为，偶数项系数之和为 统计特征量 1.（多选）（浙江金丽衢十二校2026届高三第一次联考）有一组数据，则（    ） A．该组数据的极差为6 B．该组数据的中位数为5 C．该组数据的平均数为4 D．将数据1均改为3后，方差会变大 2.（多选）（江西省部分学校2025-2026学年高三上学期1月测试）已知2017—2024年中国城镇新增就业人数（单位：万人）依次为：1351，1361，1352，1186，1269，1206，1244，1256，对于这8个数据，下列结论正确的是（ ） A. 极差是175 B. 平均数不小于1300 C. 中位数是1256 D. 60%分位数是1269 3.（多选）（广东省东莞市2026届高三调研考试）甲、乙两名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，两人的测试成绩如下表： 甲的成绩 乙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 4 5 8 3 频数 5 3 9 3 则下列说法正确的有（ ） A. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 B. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D. 甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差 4.（多选）（2026届T8联考）已知一组数据 的平均数为 ,将这组数据分别加上它们的平均数,得到一组新数据 ,则新数据与原数据相比 A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 5.（多选）（广东省2026届普通高中毕业班第二次调研）两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（ ） A．的平均数为 B．的方差为 C．若，则 D．若，则 6.（四川省成都市多校2026届高三上学期第一次联合诊断性考试）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 7.（多选）（浙江省宁波市2026届高三第一学期期末考试） 海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法.收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如下图所示. 记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70，则（ ） A. 乙试验区产量频率分布直方图中， B. 甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数 C. 甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数 D. 甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数 8.（多选）（湖北省部分市州2026届高三上学期1月联考）下列命题中正确的有（    ） A．数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24 B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C．若样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数和方差分别为8和27 D．若为两个随机事件，，，，则 事件关系与概率 1.（多选）（四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高三上学期期末（第二阶段学情）考试）下列说法正确的是（   ） A．某人掷骰子1次，“掷出5”与“掷出6”是互斥事件 B．某人掷骰子1次，“掷出奇数”与“掷出偶数”是对立事件 C．数据4，3，4，6，8，7，8，9的第60百分位数是8 D．数据的方差为，则数据的方差为 2.（多选）（河南省郑州市2026届高三上学期第一次质量预测）任意抛掷一枚骰子一次，观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（    ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，事件包含10个样本点 3.（多选）（2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一））已知事件，满足，，则下列结论正确的是(    ). A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则与相互独立 D．若与相互独立，则 4.（多选）（浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价）我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1-12的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义： 事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体） 事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体） 事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标） 现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有（ ） A. B. C. D. 5.（多选）（山东省济南市2026届高三第一次模拟考试）现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（    ） A． B． C． D．且 分布列 1.（湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末） 已知随机变量服从正态分布，且，则 ________。 2.（安徽省黄山市2026届高三第一次质量检测）已知随机变量，若，则 ． 3.（多选）（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）（　　） A． B． C． D． 4.（2026届辽宁省重点高中协作体调研测试（二））设随机变量，当正整数n很大，p很小，不大时，X的分布接近泊松分布，即．现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为（已知…）（ ） A. 100 B. 101 C. 102 D. 103 5.（Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第二次联考）有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球。记(i=1,2,3,4,5)为标有数字i的球被取出的次数， ，则 。 6.（多选）（浙江杭州学军中学2025-2026学年高三期末考试）（多选）下列命题中，真命题的是（ ） A. 数据的第70百分位数是23 B. 若回归方程为，则变量与成负相关 C. 若随机变量服从正态分布，，则 D. 在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 二项式定理 1.（多选）（广东省2026年1月普通高等学校招生适应性测试）若的展开式中的系数为，则（    ） A． B．所有项系数之和为1 C．二项式系数之和为64 D．二项式系数最大项为第3项 2.（多选）（江西省部分省示范高中2025-2026学年高三一轮复习摸底监测数）已知，则（ ） A. B. C. D. 3.（多选）（湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测）设，则（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（山东省名校考试联盟2026届高三下学期2月份核心素养评估）若，则（ ） A. B. C. D. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $