1.5.1 第2课时 向量的投影及数量积的运算律 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.5.1 第2课时 向量的投影及数量积的运算律 （5）向量垂直的判断： 向量的数量积的相关知识 （6）向量夹角与数量积的正负的关系： O A B θ [0，π] 1 0 -1 -cos α 设a，b的夹角为θ，则 (1)a·b>0，则θ∈； (2)a·b<0，则θ∈. 向量的数量积还能解决哪些问题？ 1.投影向量，投影长 |||cos α| 如图，作向量=a，=b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则=+，其中与共线. 我们把 称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||= 称为投影长.  2.在方向上的投影 ||cos α刻画了投影向量的 和 ，称为在方向上的投影. 大小 方向 |b|cos α 试一试：你能写出投影的计算公式吗？a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是否相同呢？ 3.数量积 的几何意义 一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积.  投影的计算公式 b在a方向上的投影|b|cos α的公式为 a在b方向上的投影|a|cos α的公式为|a|cos α=. 想一想：投影和投影向量有何不同？如何求向量a 在 b 方向上的投影向量？它与 b 在 a 方向上的投影向量是否相同？ （1）向量 a 在 b 方向上的投影向量为｜ a ｜ cos θ e （其中 e 为与 b 同向的单位向量，e= ），它是一个向量，且与 b 共线，其方向由向量 a 和 b 夹角θ的余弦值决定. 向量 a 在 b 方向上的投影向量可表示为 · . （3）向量 b 在 a 上的投影向量可表示为｜ b ｜ cos θ ＝ · . a 在 b 方向上的投影向量与 b 在 a 方向上的投影向量不同. 投影向量 b在a方向上的投影|b|cos α的公式为 a在b方向上的投影|a|cos α的公式为|a|cos α=. 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影. (3)求b在a上的投影. 解：（1）a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 120°=-10. （2）a在b上的投影为|a|cos θ===-. （3）b在a上的投影为|b|cos θ===-2. 7 a 想一想：对于实数a，b，c满足如下运算律，向量a，b，c是否也满足呢？ (1)ab=ba； (2)a(b+c)=ab+ac； (3)若ab=ac，则b=c其中a≠0. a·b=b·a 数量积的运算律 若a·b=a·c未必有b=c. a·(b+c)=a·b+a·c 1.数量积的运算律 设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则有 交换律 a·b=b·a 与数乘的结合律 a·(λb)=λ(a·b) 分配律 a·(b+c)=a·b+a·c 注意：一般地，对于非零向量a，b，c. (1)a·b=b·c推不出a=c. (2)向量的数量积不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c). 10 2.平面向量数量积的运算性质 (1)(a+b)2= ； (2)(a-b)2=a2-2a·b+b2； (3)(a+b)·(a-b)=a2-b2； (4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a. a2+2a·b+b2 11 例2 已知向量a，b满足|a|=1，|b|=，a与-b的夹角为，则(a-b)· (2a+b)等于（ ） A.1　 B.3　 C.-1　 D.-5 A 解：因为a与-b的夹角为，则a与b的夹角为，又|a|=1，|b|=， 则a·b=1××=-1， 所以(a-b)·(2a+b)=2a2-a·b-b2=2×12-(-1)-()2=1. 12 例3 已知｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝4， a 与 b 的夹角为120°，求｜ a ＋ b ｜及 ｜ a － b ｜的值. [正解]　由错解知｜ a ＋ b ｜2＝12，∴｜ a ＋ b ｜＝2 . ｜ a － b ｜2＝28，∴｜ a － b ｜＝2 . 以下是某位同学的求解过程，你认为正确吗？ 解：由已知｜ a ｜2＝ a 2＝4，｜ b ｜2＝ b 2＝16， a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos 120°＝－4， ∴｜ a ＋ b ｜2＝ a 2＋2 a · b ＋ b 2＝12， ∴｜ a ＋ b ｜＝±2 . ∵｜ a － b ｜2＝ a 2－2 a · b ＋ b 2＝28， ∴｜ a － b ｜＝±2 . 1.进行数量积运算时，能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2=a·a. (2)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. (3)(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. 要点归纳 2.已知|a|=1，|b|=3，且|a-b|=2，求|a+b|. 解：方法一:　∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=1+9-2a·b=4， ∴a·b=3. ∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+9+2×3=16，∴|a+b|=4. 方法二：∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2，|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2， ∴|a-b|2+|a+b|2=2a2+2b2=2×1+2×9=20. 又|a-b|=2，∴|a+b|2=16，∴|a+b|=4. 15 例4 若两个向量a与b的夹角为，且a是单位向量，|b|=2，c=2a+b，则向量c与b的夹角为　　　.  解：由题知a·b=1×2×cos =1， 所以c·b=(2a+b)·b=2a·b+b2=6， |c|=|2a+b|===2. 设c与b的夹角为θ，则cos θ===. 因为θ∈[0，π]，所以θ=. 16 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ=求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. (2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解. (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]. 要点归纳 3. 若非零向量 a ， b 满足｜ a ｜＝｜ b ｜，（2 a ＋ b ）· b ＝0，则 a 与 b 的夹角为 （　C　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：设 a 与 b 的夹角为θ，则0＝（2 a ＋ b ）· b ＝2 a · b ＋ b 2 ＝2｜ a ｜｜ b ｜ cos θ＋｜ b ｜2， ∵｜ a ｜＝｜ b ｜≠0， ∴2 cos θ＋1＝0，即 cos θ＝－ ，∴θ＝120°. C 4.已知向量 a ， b ，其中｜ a ｜＝ ，｜ b ｜＝2，且（ a － b ）⊥ a ， 则向量 a 与 b 的夹角是（　B　） A. B. C. D. B 解析：（1）由题意，知（ a － b ）· a ＝ a 2－ a · b ＝2－ a · b ＝0，所以 a · b ＝2. 设 a 与 b 的夹角为θ， 则 cos θ＝ ＝ ， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝ . 故选B. 1.知识清单： (1)投影的概念及运用. (2)数量积的运算律. (3)利用数量积求向量的模和夹角. 2.方法归纳：类比法. 3.常见误区：向量夹角；向量共起点；a·b>0⇏两向量夹角为锐角；a·b<0⇏两向量夹角为钝角. 本节课你学到了哪些知识与方法？ eq \f(1,2) 1.已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为eq \f(π,3)，则b在a方向上的投影向量为________，a在b方向上的投影为________． 解析：b在a方向上的投影向量为eq \f(a,|a|)|b|coseq \f(π,3)＝2×eq \f(1,2)a＝a. a在b方向上的投影为|a|cos eq \f(π,3)＝1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). $