1.4.2正弦定理-《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

1.4.2正弦定理 一、知识梳理 1.(1)公式： ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) (2)常见变形①a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C (3)解决解斜三角形的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边（两角一边） ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角（两边一对角） 2.在△ABC中，常有以下结论 (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)在三角形中，大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A＋B)＝sin C； (5)∠A>∠B ⇔ a>b ⇔ sin A>sin B 二、题型精练 题型1 两角一边 【典例】：已知在△ABC中,,,,求. 【答案】 【分析】结合三角形内角和与正弦定理求解即可； 【详解】因为在△ABC中，已知,，所以， 又因为,所以由正弦定理,可得，所以． 故答案为： 【典例2】：已知在△ABC中,,,,求. 【答案】 【分析】结合三角形内角和与正弦定理求解即可； 【详解】因为在△ABC中，已知,,， 所以由正弦定理,可得，所以． 故答案为： 题型2 两边一对角 【典例1】：已知在△ABC中,,,,求. 【答案】 【分析】结合三角形内角和与正弦定理求解即可； 【详解】因为在△ABC中，已知,,， 因为,根据大边对大角，所以, 由正弦定理,可得，所以 因为，所以， 故答案为： 【典例2】：已知在△ABC中,,,,求. 【答案】 【分析】结合三角形内角和与正弦定理求解即可； 【详解】因为在△ABC中，已知,,， 因为,根据大边对大角，所以, 由正弦定理,可得，所以 因为，所以， 故答案为： 题型3 比例应用1 【典例1】：在△ABC中，若,则=_________; 【答案】 【分析】根据题意，结合正弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理得，所以 故答案为：. 【典例2】：在△ABC中，若,则=_________; 【答案】 【分析】根据题意，结合正弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理得，所以 故答案为：. 题型4 比例应用2 【典例1】：已知△ABC中，，则等于_________ 【答案】 【分析】根据题意利用正弦定理即可得解. 【详解】因为 故答案为：. 题型5 正弦与三角形形状 【典例1】：已知△ABC中，，则△ABC是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据题意，结合正弦定理边角互化，即可判断求解. 【详解】因为△ABC中，，由正弦定理得， 所以△ABC是直角三角形. 故选：B. 【典例2】：若,判断△ABC的形状. 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用角正弦值的特点可求. 【详解】由题意可知，在△ABC中， 因为,所以，所以. 即△ABC为等腰或直角三角形 故答案为：等腰或直角三角形. 三、知识检测 1.已知在△ABC中,,,,求. 【答案】 【分析】结合三角形内角和与正弦定理求解即可； 【详解】因为在△ABC中，已知,，所以， 又因为,所以由正弦定理,可得，所以． 故答案为： 2.已知在△ABC中,,,,求. 【答案】 【分析】结合三角形内角和与正弦定理求解即可； 【详解】因为在△ABC中，已知,,, 所以由正弦定理,可得，所以． 故答案为： 3.已知在△ABC中,,,,求. 【答案】 【分析】结合三角形内角和与正弦定理求解即可； 【详解】因为在△ABC中，已知,,， 因为,根据大边对大角，所以, 由正弦定理,可得，所以 因为，所以， 故答案为： 4.已知在△ABC中,,,,求. 【答案】 【分析】结合三角形内角和与正弦定理求解即可； 【详解】因为在△ABC中，已知,,， 因为,根据大边对大角，所以, 由正弦定理,可得，所以 因为，所以，故 故答案为： 故答案为： 5.在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，且．则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，即可求解. 【详解】因为， 根据正弦定理边角互化，得到， 即，又，则，则， 显然，所以，，得到. 故选：B. 6.在△ABC中，若,则=_________; 【答案】 【分析】根据题意，结合正弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理得 故答案为：. 7.在△ABC中，若,则=_________; 【答案】 【分析】根据题意，结合正弦定理，即可求解. 【详解】在△ABC中，由正弦定理得， 所以，故 故答案为：. 8.已知△ABC中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出的度数，利用正弦定理即可得解. 【详解】因为，， 所以，，， 由正弦定理可知， . 故选：. 9.已知△ABC中，，则等于_________ 【答案】 【分析】根据题意利用正弦定理即可得解. 【详解】因为，即 所以 故答案为：. 10.若,判断△ABC的形状. 【答案】等腰三角形 【分析】利用角正弦值的特点可求. 【详解】由题意可知，在△ABC中， 因为,所以.即△ABC为等腰三角形 故答案为：等腰三角形. 11.若,判断△ABC的形状. 【答案】等腰三角形 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】由题意可知，因为，所以 因为,所△ABC为等腰三角形 故答案为：等腰三角形. 12．在△ABC中，角A，，所对的边分别为，，，若，则△ABC为（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理化简可知结果. 【详解】由，所以， 又，所以， 由，所以，. 故选：C 13.在△ABC中，若,判断△ABC的形状. 【答案】等腰三角形 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】因为,所以 所以 因为,所△ABC为等腰三角形 故答案为：等腰三角形. 14.在△ABC中，若,判断△ABC的形状. 【答案】等腰三角形 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】由题意可知，因为，所以 因为,所△ABC为等腰三角形 故答案为：等腰三角形. 15.在△ABC中，若,判断△ABC的形状. 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用正弦倍角和正弦定理可求. 【详解】由题意可知，因为，所以 因为，所以.即△ABC为等腰或直角三角形 故答案为：等腰或直角三角形. 16.在中，. (1)若，求；(2)若，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】（1）中，，由正弦定理可知，， 于是，， 又因为，所以或， 当时，， 当时，. 因此，或. （2）由正弦定理可知，， 于是，， 又因为，所以或， 当时，，不合题意， 因此，. 从而. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2正弦定理 一、知识梳理 1.(1)公式： ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) (2)常见变形①a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C (3)解决解斜三角形的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边（两角一边） ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角（两边一对角） 2.在△ABC中，常有以下结论 (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)在三角形中，大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A＋B)＝sin C； (5)∠A>∠B ⇔ a>b ⇔ sin A>sin B 二、题型精练 题型1 两角一边 【典例】：已知在△ABC中,,,,求. 【典例2】：已知在△ABC中,,,,求. 题型2 两边一对角 【典例1】：已知在△ABC中,,,,求. 【典例2】：已知在△ABC中,,,,求. 题型3 比例应用1 【典例1】：在△ABC中，若,则=_________; 【典例2】：在△ABC中，若,则=_________; 题型4 比例应用2 【典例1】：已知△ABC中，，则等于_________ 题型5 正弦与三角形形状 【典例1】：已知△ABC中，，则△ABC是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【典例2】：若,判断△ABC的形状. 三、知识检测 1.已知在△ABC中,,,,求. 2.已知在△ABC中,,,,求. 3.已知在△ABC中,,,,求. 4.已知在△ABC中,,,,求. 5.在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，且．则角（   ） A． B． C． D． 6.在△ABC中，若,则=_________; 7.在△ABC中，若,则=_________; 8.已知△ABC中，，则等于（    ） A． B． C． D． 9.已知△ABC中，，则等于_________ 10.若,判断△ABC的形状. 11.若,判断△ABC的形状. 12．在△ABC中，角A，，所对的边分别为，，，若，则△ABC为（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 13.在△ABC中，若,判断△ABC的形状. 14.在△ABC中，若,判断△ABC的形状. 15.在△ABC中，若,判断△ABC的形状. 16.在中，. (1)若，求；(2)若，求. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $