1.4.1余弦定理-《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

1.4.1余弦定理 一、知识梳理 1.(1)公式： 求边公式：a2＝ b2＋c2－2bccos A；b2＝ a2＋c2－2accos B；c2＝ a2＋b2－2abcos C 求角公式：cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ (2)解决斜三角形的问题 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（两边一夹角） 2.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B ⇔ a>b ⇔ cos A<cos B． 二、题型精练 题型1 两边一夹角 【典例】：已知在△ABC中,,,,求. 【典例2】：已知在△ABC中,，,,,求. 题型2 知三边求角 【典例1】：在△ABC中， 已知,,，求 【典例2】：在△ABC中， 已知,,，求 题型3 判断三角形的形状 【典例1】：在△ABC中， 已知,,，判断该三角形的形状（锐角，直角，钝角） 【典例2】：若三角形的三边之比为,判断该三角形的形状（锐角，直角，钝角） 题型4 利用余弦负值为钝角 【典例1】：在△ABC中，若,则此三角形形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【典例2】：在△ABC中，若,则此三角形形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【典例3】：在△ABC中，若，判断△ABC的形状. 【典例4】：在△ABC中，若，判断△ABC的形状. 【典例5】：在△ABC中，若，判断△ABC的形状. 三、知识检测 1.已知在△ABC中,,,,求. 2.已知在△ABC中,,,,求. 3.在△ABC中， 已知,,，求 4.在△ABC中， 若三边分别为，则最大角的为________（弧度制表示） 5.在△ABC中， 已知,,，判断该三角形的形状（锐角，直角，钝角） 6.若三角形的三边之比为，求最大角与最小角的和. 7.在△ABC中，若,则此三角形形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 8.在△ABC中，若,则此三角形形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 9.在△ABC中，,则△ABC的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 10.在△ABC中，的对边分别为，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 11.△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 12.在△ABC中，若，判断△ABC的形状. 13.在△ABC中，若,判断△ABC的形状. 14.在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，若，则△ABC为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1余弦定理 一、知识梳理 1.(1)公式： 求边公式：a2＝ b2＋c2－2bccos A；b2＝ a2＋c2－2accos B；c2＝ a2＋b2－2abcos C 求角公式：cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ (2)解决斜三角形的问题 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（两边一夹角） 2.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B ⇔ a>b ⇔ cos A<cos B． 二、题型精练 题型1 两边一夹角 【典例】：已知在△ABC中,,,,求. 【答案】 【分析】利用余弦定理求解即可； 【详解】因为在△ABC中，已知,,， 所以由余弦定理,可得． 故答案为： 【典例2】：已知在△ABC中,，,,,求. 【答案】 【分析】利用余弦定理求解即可； 【详解】因为在△ABC中，已知，,， 所以，由余弦定理,可得． 故答案为： 题型2 知三边求角 【典例1】：在△ABC中， 已知,,，求 【答案】 【分析】利用余弦定理可求. 【详解】在△ABC中，,,，则， 因为为三角形内角，则； 故答案为：. 【典例2】：在△ABC中， 已知,,，求 【答案】 【分析】利用余弦定理可求. 【详解】在△ABC中，,,， 则，因为为三角形内角，则； 故答案为：. 题型3 判断三角形的形状 【典例1】：在△ABC中， 已知,,，判断该三角形的形状（锐角，直角，钝角） 【答案】钝角三角形 【分析】利用余弦定理可求. 【详解】在△ABC中，,,， 因为,根据大边对大角，所以, 则， 因为为三角形内角，则；所以为钝角，即△ABC为钝角三角形. 故答案为：钝角三角形. 【典例2】：若三角形的三边之比为,判断该三角形的形状（锐角，直角，钝角） 【答案】锐角三角形 【分析】利用余弦定理可求. 【详解】由题意可知，设,,， 因为,根据大边对大角，所以, 则， 因为为三角形内角，则；所以为锐角，即△ABC为锐角三角形. 故答案为：锐角三角形. 题型4 利用余弦负值为钝角 【典例1】：在△ABC中，若,则此三角形形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理可求. 【详解】由题意可知，在△ABC中，，，所以,所以为钝角，即△ABC为钝角三角形 故答案为：C. 【典例2】：在△ABC中，若,则此三角形形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【答案】C 【分析】利用两角和与差的余弦公式可求. 【详解】由题意可知，在△ABC中，，， 所以,所以. 又因为,所以， 因此为钝角，即△ABC为钝角三角形 故答案为：C. 【典例3】：在△ABC中，若，判断△ABC的形状. 【答案】钝角三角形 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】因为，所以 在△ABC中，由余弦定理得，. 因为在△ABC中，，所以.所以△ABC为钝角三角形. 故答案为：钝角三角形. 【典例4】：在△ABC中，若，判断△ABC的形状. 【答案】等腰三角形 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】因为，在△ABC中，由余弦定理得， 所以.所以，又因为，所以△ABC为等腰三角形. 故答案为：等腰三角形. 【典例5】：在△ABC中，若，判断△ABC的形状. 【答案】钝角三角形 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由可得，即． 根据余弦定理得. 因为为△ABC的内角，所以，所以△ABC为钝角三角形. 故答案为：钝角三角形. 三、知识检测 1.已知在△ABC中,,,,求. 【答案】 【分析】利用余弦定理求解即可； 【详解】因为在△ABC中，已知,,， 所以由余弦定理,可得． 故答案为： 2.已知在△ABC中,,,,求. 【答案】 【分析】利用余弦定理求解即可； 【详解】法一：因为在△ABC中，已知,,， 因为,根据大边对大角，所以, 由正弦定理,可得，所以 因为，所以，故 所以由余弦定理,可得． 法二：因为在△ABC中，已知,,， 因为由余弦定理, 所以，解得. 故答案为： 3.在△ABC中， 已知,,，求 【答案】 【分析】利用余弦定理可求. 【详解】在△ABC中，,,，则， 因为为三角形内角，则； 故答案为：. 4.在△ABC中， 若三边分别为，则最大角的为________（弧度制表示） 【答案】 【分析】利用余弦定理可求. 【详解】在△ABC中，设,,， 因为,根据大边对大角，所以, 则，因为为三角形内角，则； 故答案为：. 5.在△ABC中， 已知,,，判断该三角形的形状（锐角，直角，钝角） 【答案】钝角三角形 【分析】利用余弦定理可求. 【详解】在△ABC中，,,， 因为,根据大边对大角，所以, 则， 因为为三角形内角，则；所以为钝角，即△ABC为钝角三角形. 故答案为：钝角三角形. 6.若三角形的三边之比为，求最大角与最小角的和. 【答案】 【分析】利用余弦定理可求. 【详解】由题意可知，设,,， 因为,根据大边对大角，所以,因为 则， 因为为三角形内角，则；所以 故答案为：. 7.在△ABC中，若,则此三角形形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理可求. 【详解】由题意可知，在△ABC中，，， 所以,所以为锐角，即△ABC为锐角三角形 故答案为：A. 8.在△ABC中，若,则此三角形形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【答案】B 【分析】利用两角和与差的余弦公式可求. 【详解】由题意可知，在△ABC中，，， 所以,所以. 又因为,所以， 因此为直角，即△ABC为直角三角形 故答案为：B. 9.在△ABC中，,则△ABC的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据两角和的余弦公式和诱导公式求解. 【详解】因为, 所以,所以, 所以,因为，所以， 所以，所以△ABC为直角三角形. 故选：B 10.在△ABC中，的对边分别为，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据余弦定理的变形公式求解即可. 【详解】因为， 由余弦定理得，且，所以． 故选：A. 11.△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合余弦定理即可得解. 【详解】，即， 由余弦定理，，因为，所以， 故选：. 12.在△ABC中，若，判断△ABC的形状. 【答案】直角三角形 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】因为，由余弦定理得， 所以.所以，又因为，所以△ABC为直角三角形. 故答案为：直角三角形. 13.在△ABC中，若,判断△ABC的形状. 【答案】等腰三角形 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】因为，由余弦定理得， 所以.又因为，所以△ABC为等腰三角形. 故答案为：等腰三角形. 14.在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，若，则△ABC为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由余弦定理边角互化的应用即可得解. 【详解】由，结合余弦定理的推论得， 则，则， 所以为钝角，所以△ABC为钝角三角形. 故答案为：A. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $