1.1.3两角和与差的正切公式-《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 1.1.3两角和与差的正切公式 一、知识梳理 (1)公式：tan(a±B) tana±tanB(口诀：正切上同下不同) 1 tana tanB (2)、预备知识 度 309 45 60 d 孤度 π 6 4 召 sing 2 2 2 cosa 2 2 2 tand 5 二、题型精练 题型1套公式 【典例】：tan75o 【典例2】小：tan 7π 12 题型2公式逆用 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com tan81°+tan39° 【典例1】： 1-tan81°tan39° 【典例21 tan154°-tan34° 1+tan154°tan34o 题型3公式逆用2 【典例1： tan(12°+u)+tan(33°-a) 1+tan(12°+a)tan(33°-u) tan(30°+au)+tan(105°-a) 【典例2】： 1-tan(30°+au)tan(105°-) 题型4套公式2 【典例1】：若tana=2，tanB=-3,求tan(a+B) 【奥例2：若tana=,tanB=:,求tan(a+B) 2 题型5公式逆用3 【典例1】： 1-tan15 1+tan15 【典例2】： 1+tan15 1-tan15 题型6公式逆用4 【典例1】：求值：tan20°+tan40°+√3tan20°tan40° ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 【典例2】：求值：tan73°-tanl3°-√3tan73°tanl3° 题型7公式逆用5 【典例1】：计算：(1+tan21)1+tan24) 【典例21：计算：已知a+B=3弧，求1-tanw)1-tanB)的值 4 题型8正切与韦达定理 【典例1】：若an、tanp是方程x2+√3x-2=0的两根，求tan(a+β) 三、知识检测 1.tan 15 2.tan 165 3tan12°+tan33o 1-tanl2°tan33o 4tan20°.tan50°+1 tan20°-tan50° 5.tan(42+a)+tan(18°-) 1-tan(42°+a)tan(18°-) 6.tan(75°+a)-tan(30°-a) 1+tan(75°+au)tan(30°-au) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 7.若tana=2,tan(B-a)=3,求tan(β-2a) 8.已知角0的终边经过点P(4,-3),求tan(a+45) 91-tan75° 1+tan 75 10+ian15°-V2-L,求an(45°-a)的值 1-tanl5° 11.求值：tan22o+tan23°+tan22°tan23o 12.求值：tan50°tan5°-tan50°+tan5o 13.计算：已知a+阝=45°，求(1+tana)1+tanβ)的值 14.计算：(1+tan21)1+tan22)1+tan23)1+tan24) 15.若tana、tanB是方程x2-4x+2=0的两根，求tan(a+B) 16.若tana、tanB是方程x2-5x-2=0的两根，求tan(+B) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究：中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 1.1.3两角和与差的正切公式 一、知识梳理 (1)公式：tan(a±B)= tana±tanB(口诀：正切上同下不同) 1 tana tanB (2)、预备知识 度 309 45 60 d 孤度 6 4 召 sing 2 2 2 cosa 2 2 2 tand 5 二、题型精练 题型1套公式 【典例】：tan75o 【答案】2+V 【分析】由两角和的正切公式计算即可 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【详解】 tan30°+tan45° tan75°=tan(30°+45)= 1-tan30°tan45o 3 +1 3 V3+3 13 13-5 =2+V3 3 故答案为：2+√5 【典例2】：tan 7π 12 【答案】-2-√5 【分析】由两角和的正切公式计算即可 tan 7π =tan(+)= +tan 3 4 tan 12 341 【详解】 1-tan tan 3 5+1=5+1=-2-5 1-√311-V3 故答案为：-2-√3 题型2公式逆用 tan81°+tan39° 【典例1： 1-tan81°tan39° 【答案】 -5 【分析】根据两角和的正切公式求解即可 【详解】 tan81°+tan39° =tan(81°+39)=tan120°=-√3 1-tan81°tan39o 故答案为：-√5 tan154°-tan34° 【典例2】： 1+tanl54°tan34° 【答案】-√万 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【分析】根据两角和的正切公式求解即可 【详解】 tanl54°-tan34° 1+tan154°tan34° =tan(154°-34)=tan120°=-√3 故答案为：-√3 题型3公式逆用2 tan(12°+u)+tan(33°-a) 【典例1】： 1+tan(12°+ou)tan(33°-a) 【答案】1 【分析】根据两角和的正切公式求解即可 【详解】 tam12+a)+tan(33°-a）=tanl012°+a)+(33°-a】=tan(12°+3)=tan45°=l 1-tan(12°+a)tan(33°-a) 故答案为：1 【典例2小： tan(30°+)+tan(105°-a) 1-tan(30°+a)tan(105°-u) 【答案】-1 【分析】根据两角和的正切公式求解即可 【详解】 tan(30°+a)+tan(105°-a）=tanl(30°+a)+005°-a】 1-tan(30°+a)tan(105°-a) =tan(30°+105)=tan135°=-1 故答案为：-1 题型4套公式2 【典例1】：若tana=2，tanB=-3,求tan(a+B) 【灯月 【分析】根据两角和的正切公式求解 【详解】因为tana=2,tanB=-3, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com tan(a+β)= tana+tanβ2+(-3)1 1-tan a tan B 1-2.(-3)7 故答案为： 1 【典例2】：若tano= anB=,求ana+B) 2 5 7 【答案】 10 【分析】根据两角和的正切公式求解 1 【详解】因为tana=2,tanB=了所以 5 11 tan(a +B)= tana+tan B=257 1-tana tan阝 1-119 25 故答案为： 7 10 题型5公式逆用3 【典例1： 1-tan15 1+tan15 【答案】3 3 【分析】根据两角和的正切公式求解 【详解】因为1-tanl5°_tan45o-tan150 1+tan15o1+ian45°am159=tan(45°-15)=tan30°= 3 故答案为： 3 【典例2： 1+tan15 1-tan15 【答案】5 【分析】根据两角和的正切公式求解 【详解】因为1+tanl5°_ tan45°+tan15° =tan(45°+15)=tan60°=√3 1-tan15 1-tan45°tan15o ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 故答案为：√5 题型6公式逆用4 【典例1】：求值：tan20°+tan40°+√3tan20°tan40 【答案】√5 【分析】根据两角和的正切公式求解 【详解】因为tan(20°+409)=tan20°+tan40° =3， 1-tan20°tan40° 所以tan20°+tan40°=√3(1-tan20°tan40), an20°+tan40°+√3tan20°tan40° 故 √31-tan20°tan40)+√3tan20°tan40°=√3 故答案为：√ 【典例2】：求值：tan73°-tanl3°-√3tan73°tanl3o 【答案】√3 【分析】根据两角和的正切公式求解 【详解】因为tan(73°-139)=，an73°-tan13c 1+tan73°tanl3° 所以tan73°-tanl3°=√3(1+tan73°tan13), tan73°-tanl3°-√3tan73°tanl3o =√31+tan73°tanl3)-V3tan73°tanl3°=√3 故答案为：√3 题型7公式逆用5 【典例1】：计算：(1+tan21)1+tan24) 【答案】2 【分析】根据两角和的正切公式求解 【详解】因为tan(21°+24) tan21°+tan24° =1, 1-tan21°tan24° 所以tan21o+tan24°=1-tan21otan24°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 5 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com (1+tan21)(1+tan24)=1+tan21°+tan24°+tan21°tan24° 故 =1+(1-tan21°tan24)+tan21°tan24°=2 故答案为：2 【典例2：计算：已知a+B=37,求(1-anaX1-tanB)的值 4 【答案】2 【分析】根据两角和的正切公式求解 【详解】因为a+B=3江，所以an(a+B)=ana+amg-1, 4 1-tan a tan B 所以tana+tan阝=-l(l-tan o tanβ)=tan a tan B-1, (1-tan a)(1-tan B)=1-tan a-tan B tan a tan B =1-(tan a tan B-1)+tan a tan B=2 故答案为：2 题型8正切与韦达定理 【典例1】：若tana、tanB是方程x'+V5x-2=0的两根，求tan(a+B) 【答案】- 3 【分析】根据两角和的正切公式和韦达定理求解 【详解】由韦达定理可得 tna.wnB-xx-C--2.tana+tanB=+x:=-B--3. a √3 所以tan(a+β)= tana+tanβ_-√3 1-tan a tanβ1-(-2)3 故答案为： 3 3 三、知识检测 1.tan 15 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【答案】2-V3 【分析】由两角和的正切公式计算即可 tan15°=tan(450-309)=tan60°-tan45o 1+tan60°tan45° 【详解】 5-1=5-=2-5 1-V311+V3 故答案为：2-√3 2.tan 165 【答案】-2+V3 【分析】由两角和的正切公式计算即可 tan165°=tan(120°+459)=tan120°+tan450 1-tan120°tan45° 【详解】 -V3+11-√3 =-2+√3 1-(-V3)11+V3 故答案为：-2+√3 tanl2°+tan33o 1-tanl2°tan33° 【答案】1 【分析】根据两角和的正切公式求解即可 tan12°+tan33° 【详解】 =tan(12°+33)=tan45°=1 1-tanl2°tan33° 故答案为：1 4an20°.tan50°+1 tan20°-tan50° 【答案】-V3 【分析】根据两角和的正切公式求解即可 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ > 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com tan20°.tan50°+1 1 tan20°-tan50°tan20°-tan50° tan20°.tan50°+1 【详解】 tan(20°-50) am(-3095-5 3 故答案为：-√5 6、 an(42°+au)+tan(18°-a) 1-tan(42°+a)tan(18°-) 【答案】√5 【分析】根据两角和的正切公式求解即可 【详解】 tan(42+a)+tan(18-a) =tan[(42°+0)+(18°-0u)] 1-tan(42°+au)tan(18°-a) =tan(42°+18)=tan60°=√3 故答案为：√3 6. tan(75°+a)-tan(30°-u) 1+tan(75°+a)tan(30°-ou) 【答案】1 【分析】根据两角和的正切公式求解即可 【详解】 tan(75°+)-tan(30°-o) 1+tan(75°+oa)tan(30°-a) =tan[(75°+a)-(30°-a)] =tan(75°-30)=tan45°=1 故答案为：1 7.若tana=2,tan(B-)=3,求tan(β-2a) 【路案1 【分析】根据两角和的正切公式求解 【详解】因为tana=2,tan(B-a)=3, tan(B-2a)= tan B-a)-tan a 3-2 1 1+tan (B-a)tan a 1+3.2 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 故答案为： 7 8.已知角o的终边经过点P(4,-3),求tan(o+45) 【答1) 【分析】根据两角和的正切公式求解 【详解】因为角a的终边经过点P(4,3,x=4,y=-3,所以tana=上=-3 tana +tan 45 4 故tan(a+45)= 1-tan a tan 45 故答案为： 1 7 1-tan 75 9. 1+tan75° 【答案】-3 3 【分析】根据两角和的正切公式求解 【详解】因为1-tan75° 1+an7501+tan45°an750=tan(450-75)=tan(-30)=- tan45°-tan75° 3 故答案为： 3 3 1+tan15 10. =√2-1，求tan(45°-a)的值 1-tan15° 【答案】√2+1 【分析】根据两角和的正切公式求解 tan(45°-a)= tan45°-tan o_1-tano 1+tan45°tanu 1+tan a 【详解】因为 1 1 =V2+1 1+tan a V2-1 1-tan o 故答案为：√2+1 9 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 ⊙A职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 11.求值：tan22o+tan23°+tan22°tan23o 【答案】1 【分析】根据两角和的正切公式求解 【详解】因为tan(22°+23)=an22°+tan230 =1, 1-tan22°tan23° 所以tan22°+tan23°=1-tan22otan23°， 故 an22°+tan23°+tan22°tan23o =1-tan22°tan23°+tan22°tan23°=1 故答案为：1 12.求值：tan50°tan5°-tan50°+tan5 【答案】-1 【分析】根据两角和的正切公式求解 【i详解】因为tan(50°-59)=tan50°-tan59 1+ian50°an50=l, 所以tan50o-tan5°=1+tan50otan5°， an50°tan5°-tan50°+tan5°=tan50°tan5°-(tan50°-tan5) 故 =tan50°tan5°-(1+tan50°tan5)=-1 故答案为：-1 13.计算：已知u+B=45°，求(1+tan)1+tanB)的值 【答案】2 【分析】根据两角和的正切公式求解 【详解】因为a+B=45°，所以an(a+B)=ana+tamB=1, 1-tan a tan B 所以tan a+tanB=l-tan a tan B, (l+tan o)1+tanβ)=1+tana+tan阝+tan a tanβ 故 =1+(1-tan a tan B)+tan a tan B=2 故答案为：2 14.计算：(1+tan21)(1+tan22)1+tan23)1+tan24) 10 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