第15卷 计数原理与概率统计 2026年河南省对口招生《数学45分钟模拟卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2026年河南省对口招生《数学45分钟模拟卷》，依托于近三年河南省对口招生数学真题，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 2026年河南省对口招生 第15卷 计数原理与概率统计 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）. 1．抛掷两枚均匀的骰子，向上的点数之和为 7 的概率是（    ） A． B． C． D． 2．已知的展开式的第5项为，则实数a的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 3．的展开式的第2项是（   ） A． B． C． D． 4．某中职学校学生会主席团共有5名成员，其中3名女生、2名男生，现从中任选两名去参加活动，是1男1女的概率是（    ） A． B． C． D． 5．从一块稻田里随机抽取株稻谷，测量各株稻谷的高度（单位：）.根据测量的数据得到频率分布直方图（如图所示），则样本高度落在区间上的频数为（   ） A． B． C． D． 6．甲乙丙三条生产线共生产1200只灯泡，甲生产线生产200只灯泡，乙生产线生产600只，现采用分层抽样从这1200只灯泡中抽取30只灯泡进行质检，则从丙生产线抽取多少只（   ） A．5只 B．10只 C．15只 D．20只 7．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（    ） A．72 B．120 C．144 D．288 8．甲乙两名歌手参加选拔赛，5位评委评分情况如下： 甲：77，76，88，90，94；乙：75，88，86，88，93， 记甲、乙两人的平均得分分别为，，则下列判断正确的是（    ） A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定 C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 9．某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有350名．若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.32．现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出______名． 10．的展开式的二项式系数的和是______（用数字作答）． 11．任意写出一个两位数，它能被5整除的概率是_________． 12．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为___________. 三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）. 13．某医院一科室有名医护人员，其中2名医生、8名护士，现选派4名医护人员支援外地医疗工作： (1)如果2名医生必须参加，共有多少种不同的选派方法？ (2)如果2名医生都不参加，共有多少种不同的选派方法？ (3)如果2名医生至少有1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 14．已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为512. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项. 15．已知甲袋中有3个黑球、2个白球，乙袋中有2个黑球、3个白球，且小球除颜色外其他完全相同. (1)若从甲袋中一次性取出3个球，求恰好取到2个黑球的概率； (2)若从乙袋中每次任取1个球，取后放回，连续取3次，求至少1次取到黑球的概率； (3)若从甲、乙两袋中各取2个球，求恰好取到2个黑球的概率. 16．为了解本学期数学学科的学习情况，学校组织高一年级学生进行数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，并制成如图所示的频率分布直方图，已知分数在内的频数为150．    (1)求样本容量； (2)求实数的值； (3)若成绩在60分以上（含60分）为及格，求高一年级学生的及格率． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年河南省对口招生《数学45分钟模拟卷》，依托于近三年河南省对口招生数学真题，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 2026年河南省对口招生 第15卷 计数原理与概率统计 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）. 1．抛掷两枚均匀的骰子，向上的点数之和为 7 的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列出点数之和为 7 的基本事件，再由古典概型概率公式计算即可. 【详解】抛掷两枚均匀的骰子，共有种基本事件数， 其中点数之和为 7 的情况：，共 6 种， 故向上的点数之和为 7 的概率是 ． 故选：A. 2．已知的展开式的第5项为，则实数a的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】C 【分析】先根据二项式的通项公式写出的第项，再根据系数之间的关系求得实数的值. 【详解】根据二项式的通项公式可得， 的展开式的第5项为， 又的展开式的第项为， 所以，即 解得或. 故选：C． 3．的展开式的第2项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 则第项是. 故选：B. 4．某中职学校学生会主席团共有5名成员，其中3名女生、2名男生，现从中任选两名去参加活动，是1男1女的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概率的计算公式，结合组合数公式求解即可. 【详解】由题意得，从五名成员中选两名参加活动共有种选法， 1男1女的选法有种，则1男1女的概率是. 故选：A. 5．从一块稻田里随机抽取株稻谷，测量各株稻谷的高度（单位：）.根据测量的数据得到频率分布直方图（如图所示），则样本高度落在区间上的频数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据频率之和等于1，求出在区间上的频率，再由频数与频率的关系求值即可. 【详解】设在区间上的频率为， 由频率分布直方图可得，， 解得，因为共株稻谷， 所以落在区间上的频数为， 故选：B. 6．甲乙丙三条生产线共生产1200只灯泡，甲生产线生产200只灯泡，乙生产线生产600只，现采用分层抽样从这1200只灯泡中抽取30只灯泡进行质检，则从丙生产线抽取多少只（   ） A．5只 B．10只 C．15只 D．20只 【答案】B 【分析】根据分层抽样定义及运算求解即可. 【详解】由题意可得，丙生产线生产了只灯泡， 此次质检的抽样比为， 所以此次灯泡质检从丙生产线抽取只， 故选：B. 7．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（    ） A．72 B．120 C．144 D．288 【答案】D 【分析】利用分类加法计数原理，结合排列组合的相关知识与间接法即可得解. 【详解】依题意，本题选出的节目分成三个情况： 一种都是歌舞类节目，则共有种排法； 一种有3个歌舞类节目1个语言类节目，则共有种排法； 一种有2个歌舞类节目2个语言类节目，这种情况要注意语言类节目不能相邻， 所以利用间接法，将总的排列情况减去2个语言类节目相邻的情况即可， 则共有种排法； 综上，一共有种排法. 故选：D. 8．甲乙两名歌手参加选拔赛，5位评委评分情况如下： 甲：77，76，88，90，94；乙：75，88，86，88，93， 记甲、乙两人的平均得分分别为，，则下列判断正确的是（    ） A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定 C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定 【答案】B 【分析】根据平均值计算公式，方差计算公式求出甲、乙各自成绩的平均值及方差，方差较小者较稳定. 【详解】非高教版教材 ； ； ， 所以， 因为， 所以乙比甲成绩稳定. 故选：B. 高教版教材 ； ； ， ， 所以， 因为， 所以乙比甲成绩稳定. 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 9．某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有350名．若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.32．现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出______名． 【答案】33 【分析】先计算各年级人数，再根据分层抽样计算抽样比，即可求解. 【详解】全年级有1000人，恰好选到二年级学生的概率是0.32， 所以，二年级学生人数是人. 即得到三年级人数为人. 根据分层抽样抽取100人，抽样比为. ∴三年级要选出人. 故答案为：33. 10．的展开式的二项式系数的和是______（用数字作答）． 【答案】 【分析】根据二项式系数的和的公式求值即可. 【详解】由于中，， 所以二项式系数的和为. 故答案为：. 11．任意写出一个两位数，它能被5整除的概率是_________． 【答案】/0.2 【分析】写出该古典概型包含的所有基本事件，再写出能被5整除所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】任意写出一个两位数包含10，11，12，13，…，99，共有90个数， 能被5整除包含10，15，20，25，…，80，85，90，共有18个数， 所以任意写出一个两位数，它能被5整除的概率是. 故答案为：. 12．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为___________. 【答案】 【分析】根据独立事件的概率易得答案 【详解】由于各路口信号灯工作相互独立， ∴可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率： . 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）. 13．某医院一科室有名医护人员，其中2名医生、8名护士，现选派4名医护人员支援外地医疗工作： (1)如果2名医生必须参加，共有多少种不同的选派方法？ (2)如果2名医生都不参加，共有多少种不同的选派方法？ (3)如果2名医生至少有1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 【答案】(1)（种） (2)（种） (3)（种） 【分析】（1）2名医生必须参加，选派的4人只有2人从护士中挑选，再由组合数计算即可. （2）2名医生都不参加，需从护士中挑选4人，再由组合数计算即可. （3）2名医生至少有1人参加，分两类情况考虑，分别由组合数计算即可. 【详解】（1）2名医生必须参加， 因此选派的4人只有2人从护士中挑选，有种选法． 因此，不同的选派方法共有（种）. （2）2名医生都不参加， 就需要从护士中挑选4人，有种选法 因此，不同的选派方法共有（种）. （3）2名医生至少有1人参加，可分两类情况考虑： 第一类：2名医生中只有1人参加， 此时，不同的选派方法共有（种） 第二类：2名医生都参加， 此时，不同的选派方法共有（种）， 综上，不同的选派方法共有（种）． 14．已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为512. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二项式系数之和即可求出n的值. （2）先求出二项展开式通项，再令求出k的值即可求解常数项. 【详解】（1）因为的展开式中所有项的二项式系数之和为512， 所以，即，解得. （2）由通项公式， 令，可得， 所以展开式中的常数项为 15．已知甲袋中有3个黑球、2个白球，乙袋中有2个黑球、3个白球，且小球除颜色外其他完全相同. (1)若从甲袋中一次性取出3个球，求恰好取到2个黑球的概率； (2)若从乙袋中每次任取1个球，取后放回，连续取3次，求至少1次取到黑球的概率； (3)若从甲、乙两袋中各取2个球，求恰好取到2个黑球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解； （2）根据题意，先求出三次都取到白球的概率，结合对立事件的概率的计算，即可求解； （3）根据题意，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解. 【详解】（1）由题意，设事件从甲袋中一次性取出3个球，求恰好取到2个黑球， 则， 即从甲袋中一次性取出3个球，求恰好取到2个黑球的概率为. （2）由题意，设事件从乙袋中每次任取1个球，取后放回，连续取3次，至少1次取到黑球, 因为从乙袋中任取1个球，取到白球的概率为， 则， 即从乙袋中每次任取1个球，取后放回，连续取3次，至少1次取到黑球的概率为. （3）由题意，可分三种情况：①甲乙两袋中各取出1个黑球1个白球；②甲袋中取出2个黑球、乙袋中取出2个白球； ③甲袋中取出2个白球、乙袋中取出2个黑球； 设事件从甲、乙两袋中各取2个球，恰好取到2个黑球， 则， 即从甲、乙两袋中各取2个球，恰好取到2个黑球的概率为. 16．为了解本学期数学学科的学习情况，学校组织高一年级学生进行数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，并制成如图所示的频率分布直方图，已知分数在内的频数为150．    (1)求样本容量； (2)求实数的值； (3)若成绩在60分以上（含60分）为及格，求高一年级学生的及格率． 【答案】(1)1000 (2)0.025 (3)0.8 【分析】（1）首先求出分数在内的频率，再根据频率与样本容量的关系求解即可. （2）根据频率的性质求解即可. （3）根据频率分布直方图进行概率相加求解即可. 【详解】（1）分数在内的频率为. 则样本容量. （2）因为所有组频率和为1，即， 解得. （3）及格率即60分以上（含60分）的频率和，为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $