第6章 专题强化练5 利用导数研究函数的零点（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

专题强化练5　利用导数研究函数的零点 1.(2025北京四中期中)函数f(x)=ex,则方程f(x)=4+1的解的个数为(　　) A.0　　　B.1　　　 C.2　　　D.3 2.(2025湖北部分高中联考)已知函数f(x)=ln-ax+a有3个零点,则实数a的取值范围为(　　) A.(1,+∞)　　　B.(-∞,-2) C.(-∞,-1)　　　D.(2,+∞) 3.(2024四川宜宾诊断性考试)已知关于x的方程axex+x=1-ln x有解,则实数a的取值范围为(　　) A.　　　B. C.　　　 D. 4.(多选题)(2025吉林松原质量检测)已知函数f(x)=ex+kx,g(x)=kln x+x,k∈R,则(　　) A.当k=-e时,g(x)有且只有一个零点 B.当k<-e时, f(x)有两个零点 C.无论k为何值,都存在正数x,使得f(x)=g(x) D.当k≠0时, f(x)与g(x)的零点个数相同 5.(2025豫西北教研联盟质量检测)已知a>0,若函数f(x)=没有零点,则实数a的取值范围是(　　) A.(e,+∞)　　　B.(1,e) C.(0,1)　　　 D.(1,+∞) 6.(2025江苏扬州高邮期中)函数f(x)=(mx-1)ex+mx+1有三个不同的零点,则实数m的取值范围为　　　　.  7.(2025福建厦门外国语学校期中)已知函数f(x)=ln x-mx2+(2-m)x. (1)若函数f(x)的极值点在(2,3)内,求实数m的取值范围; (2)若f(x)有两个零点,求正实数m的取值范围. 8.已知函数f(x)=+a. (1)试讨论函数f(x)的零点个数; (2)设g(x)=x2-f(x),x1,x2为函数g(x)的两个零点,证明:x1x2<1. 答案与分层梯度式解析 1.C　f(x)=ex=,定义域为(-∞,1)∪(1,+∞), f'(x)==, 令f'(x)>0,解得x<0或x>, 令f'(x)<0,解得0<x<1或1<x<, 因此函数f(x)=在(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在上单调递减,在上单调递增, 故f(x)在x=0处取得极大值,为f(0)=1,在x=处取得极小值,为f=4, 又当x<0时, f(x)>0,当x=时, f(x)=0,所以函数y=f(x)的大致图象如图所示, 因为4+1>4,所以直线y=4+1与y=f(x)的图象有2个交点,故方程f(x)=4+1有2个解. 方法技巧　利用导函数处理零点个数问题,涉及多类问题特征(包括单调性,特殊位置的函数值符号,隐零点的探索,参数的分类讨论等),已知函数有零点(方程有根),求参数值(取值范围)常用的方法: (1)直接法:直接求解方程,得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解; (4)分类讨论法:通过对函数求导,根据参数分类讨论函数的单调性和最值,结合函数简图进行推理求解. 2.B　易知函数f(x)的定义域满足 解得0<x<2. f'(x)=-a=--a=. 因为函数f(x)有3个零点,所以f'(x)=0即ax2-2ax-2=0在(0,2)上有两个变号零点, 所以解得a<-2, 故实数a的取值范围为(-∞,-2). 3.A　关于x的方程axex+x=1-ln x有解,即a=有解,令f(x)=,x>0, 则f'(x)=,x>0, 令g(x)=x-2+ln x,x>0,则g'(x)=1+>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, 又g(1)=-1<0,g(2)=ln 2>0,所以存在x0∈(1,2),使得g(x0)=0,即x0-2+ln x0=0, 当x∈(0,x0)时,g(x)<0,即f'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,即f'(x)>0, 所以函数f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=x0处取得极小值,也是最小值,由x0-2+ln x0=0,可得x0=e2, 所以f(x0)===-, 所以a≥-. 4.ABD　对于A,当k=-e时,g(x)=-eln x+x,x>0,则g'(x)=-+1=, 令g'(x)>0,得x>e;令g'(x)<0,得0<x<e,所以g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增. 又g(e)=0,所以g(x)有且只有一个零点,故A正确. 对于B,易得f'(x)=ex+k, 令f'(x)>0,得ex>-k,所以x>ln(-k);令f'(x)<0,得x<ln(-k),所以函数f(x)在(-∞,ln(-k))上单调递减,在(ln(-k),+∞)上单调递增. 易知f(ln(-k))=-k+kln(-k)<-k+k=0,k<-e, 又当x→-∞时, f(x)>0,当x→+∞时, f(x)>0,所以函数f(x)有两个零点,故B正确. 对于C,当k=0时, f(x)=ex,g(x)=x. 设h(x)=ex-x,x>0,则h'(x)=ex-1>0, 所以h(x)在(0,+∞)上单调递增, 又h(0)=1,所以h(x)在(0,+∞)上无零点,所以k=0时,不存在正数x,使得f(x)=g(x),故C错误. 对于D,当k≠0时,令f(x)=ex+kx=0,得-=. 令g(x)=kln x+x=0,得-=. 设m(x)=,n(x)=,则m'(x)=,n'(x)=. 令m'(x)>0,得x<1;令m'(x)<0,得x>1, 所以m(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且m(1)=. 令n'(x)>0,得0<x<e;令n'(x)<0,得x>e, 所以n(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,且n(e)=. 在同一平面直角坐标系中作出函数m(x)=,n(x)=的图象,如图所示. 由图可知,当k≠0时, f(x)与g(x)的零点个数相同,故D正确. 5.D　由题设可得当x>0时, f(x)=-ax2-(a-2)x+ln x无零点,此时f'(x)=-2ax-(a-2)+==, 当0<x<时, f'(x)>0;当x>时, f'(x)<0, 故f(x)在上单调递增,在上单调递减, 此时f(x)max=f=--+ln=ln+-1<0,令g(x)=ln x+x-1(x>0), 易知g(x)=ln x+x-1在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,所以<1,所以a>1. 当x<0时,因为a>1,所以ax<x,所以f(x)=ln(-x+1)-axex>ln(-x+1)-xex, 设v(x)=ln(1-x)-xex(x<0),则v'(x)=, 设u(x)=1-(x2-1)ex,x<0,则u'(x)=-(x2-1+2x)·ex,x<0, 当x<-1-时,u'(x)<0,当-1-<x<0时,u'(x)>0, 故u(x)在(-∞,-1-)上单调递减,在(-1-,0)上单调递增, 故u(x)min=u(-1-)=1-[(-1-)2-1]=1-, 易知2+2<5,>e2>7,故<1, 故u(x)min>0,故v'(x)<0在(-∞,0)上恒成立,故v(x)在(-∞,0)上单调递减, 故v(x)>v(0)=0,即f(x)>0在(-∞,0)上恒成立, 故f(x)在(-∞,0)上无零点. 综上,a>1. 6.答案　 解析　由f(x)=(mx-1)ex+mx+1=0,可得mx=, 令g(x)=-mx,易知函数g(x)的定义域为R, g(-x)=+mx=+mx=+mx=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,且g(0)=0,因为函数f(x)有三个零点,所以函数g(x)有三个零点, 所以函数g(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点, 即直线y=mx与函数y=的图象在(0,+∞)上有且只有一个公共点,令h(x)=, 当x>0时,h'(x)==>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增, 易得h(x)===1-<1, 令p(x)=,x>0,则p'(x)=<0,即函数h'(x)在(0,+∞)上单调递减, 作出直线y=mx与函数h(x)=在(0,+∞)上的图象,如图所示: 当直线y=mx与函数h(x)的图象相切于原点时,m=h'(0)=, 由图可知,当0<m<时,直线y=mx与函数h(x)的图象在(0,+∞)上有且只有一个交点,故实数m的取值范围是. 7.解析　易得f'(x)=-2mx+2-m=-,x>0. (1)因为函数f(x)的极值点在(2,3)内,所以f'(x)=0在(2,3)上有解,即mx-1=0在(2,3)上有解,所以<m<,故实数m的取值范围为. (2)令f'(x)=0,得x=. 当0<x<时, f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增, 当x>时, f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减, 又x→0时, f(x)→-∞,x→+∞时, f(x)→-∞, 所以要使f(x)有两个零点,需满足f=ln-+(2-m)·=ln+-1>0恒成立. 设g(x)=ln x+x-1,x>0,则g'(x)=+1>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, 又g(1)=0,所以>1,解得0<m<1, 故正实数m的取值范围为(0,1). 8.解析　(1)令f(x)=0,则=-a,令h(x)=,则h'(x)=, 当0<x<e时,h'(x)>0;当x>e时,h'(x)<0, 所以h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,则h(x)≤h(e)=. 当x→0时,h(x)→-∞,当x>1时,h(x)>0,作出h(x)的图象,如图. 当-a≤0,即a≥0时,h(x)的图象与直线y=-a有一个交点,故f(x)有一个零点; 当0<-a<,即-<a<0时,h(x)的图象与直线y=-a有两个交点,故f(x)有两个零点; 当-a=,即a=-时,h(x)的图象与直线y=-a有一个交点,故f(x)有一个零点; 当-a>,即a<-时,h(x)的图象与直线y=-a没有交点,故f(x)没有零点. 综上,当a≥0或a=-时,f(x)有一个零点, 当-<a<0时,f(x)有两个零点, 当a<-时,f(x)没有零点. (2)证明:由已知得g(x)=x2--a,其定义域为(0,+∞), g'(x)=2x-=, 设r(x)=x3+ln x-1,易知r'(x)=3x2+>0在(0,+∞)上恒成立, 所以函数r(x)在(0,+∞)上单调递增,易得r(1)=0,即g'(1)=0. 列表如下: x (0,1) 1 (1,+∞) g'(x) - 0 + g(x) ↘ 极小值 ↗ 所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 设x1<x2,可得0<x1<1<x2,0<<1, 因为g(x1)=g(x2)=0, 所以g(x1)-g=g(x2)-g =- =,x2>1, 设φ(x)=x--2ln x(x>1),则φ'(x)=1+-=>0,故函数φ(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以φ(x2)=x2--2ln x2>φ(1)=0, 所以g(x1)-g>0,即g(x1)>g, 又函数g(x)=x2--a在(0,1)上单调递减, 所以0<x1<<1,所以x1x2<1. 12 学科网（北京）股份有限公司 $