全书综合测评（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 全书综合测评 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.对图中5个区域涂色,有4种不同的颜色可供选择(不一定每种颜色都使用),要求每个区域涂1种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方法有(　　) A.24种　　　　B.324种　　　　C.432种　　　　D.1 024种 2.已知变量x和y的统计数据如下表: x 3 4 5 6 7 y 2.5 3 4 4.5 6 根据上表可得经验回归方程为x-0.25,据此可以预测当x=10时,y的值为(　　) A.8.25　　　　B.8.5　　　　C.9.25　　　　D.9.5 3.(x-2y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A.-200　　　　B.-120　　　　C.120　　　　D.200 4.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一次发球成功,则停止发球,否则一直发球3次为止.设学生每次发球成功的概率均为p,p∈(0,1),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是(　　) A. 5.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出,泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立,且每个站台候车人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等,则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为(　　) A. 6.植树节这天,某学校组织5名学生依次给树木浇水,其中甲和乙必须相邻,丙不在第三位,则不同的浇水顺序的种数为(　　) A.30　　　　B.36　　　　C.40　　　　D.42 7.现有三枚质地均匀的骰子,分别为红色、绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子,已知这三枚骰子朝上面的点数之和为15,设红色骰子掷出的点数为X,绿色骰子掷出的点数为Y,下列结论中正确的是(　　) A.P(X+Y=12)=P(X=6)P(Y=6)　　　　B.P(X=5|Y=4)=P(X=4|Y=5) C.E(X+Y)=10　　　　D.D(X+Y)=4D(X) 8.为测试一种新药的有效性,研究人员对某种动物种群进行试验,从该试验种群中随机抽查了100只,得到如下数据: 单位:只 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只,记事件A表示此动物发病,事件B表示此动物使用药物,定义A的优势R1=,在B发生的条件下A的优势R2=,则(　　) A.可化简为,估计其值为 B.可化简为,估计其值为 C.可化简为,估计其值为 D.可化简为,估计其值为 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列说法正确的是(　　) A.在经验回归方程=-0.85x+2.3中,y与x具有负相关关系 B.两个随机变量的线性相关性越强,样本相关系数的绝对值就越大 C.对于事件A,B,若A⊆B,且P(A)=0.3,P(B)=0.6,则P(B|A)=0.6 D.已知随机变量X服从正态分布N(4,1),若P(X≥5)=0.2,则P(3<X<5)=0.6 10.已知(1+x)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,则下列选项正确的有(　　) A.a0=1　　　　B.a6=14 C.a0+a1+…+a7=1　　　　D.a1+a3+a5+a7=-364 11.已知min{x1,x2,…,xn}表示x1,x2,…,xn中最小的数,max{x1,x2,…,xn}表示x1,x2,…,xn中最大的数.若数列{an},{bn}都只有8项,且都是由数字1,2,3,4,5,6,7,8随机排列而成的(每个数字都出现,但不重复出现),记X=min{max{a1,a2,a3,a4},max{a5,a6,a7,a8}},Y=max{min{b1,b2,b3,b4},min{b5,b6,b7,b8}},则(　　) A.X的值可能为4,5,6,7　　　　B.Y的值可能为3,4,5,6 C.X≥6的概率为　　　　D.X>Y的概率为 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.某水泥厂流水线上生产的一批袋装水泥,其质量指标X(单位:kg)可以看作一个随机变量,且X~N(50,σ2),满足X≥51或X≤49的产品为不合格产品,且P(X≥51)=0.05,现从这批袋装水泥中随机抽取500袋,用Y表示这500袋水泥的质量指标X位于区间(49,51)的袋数,则随机变量Y的方差是　　　　.  13.设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,则P(B|A)=　　　　.  14.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,以Pn表示没有出现连续3次正面向上的概率.给出下列四个结论:①P3=;③当n≥2时,Pn+1<Pn;④Pn=Pn-3(n≥4).其中所有正确结论的序号是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知马拉松赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑三个项目,社会各界踊跃参加志愿服务,现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿服务. (1)若每个项目至少安排1人,有多少种不同的分配方案? (2)若全程马拉松项目安排3人,其余两个项目各安排1人,且甲、乙不能安排在同一项目,则有多少种不同的分配方案? 16.(15分)根据交管部门有关规定,驾驶电动自行车必须佩戴头盔,保护自身安全,某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据: 月份x 1 2 3 4 5 不戴头盔人数y 120 100 90 75 65 (1)请利用所给数据求不戴头盔人数y与月份x之间的经验回归方程; (2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动自行车出事故的100人,分析不戴头盔行为与事故伤亡的关系,得到下表,依据α=0.05的独立性检验,分析不戴头盔行为与事故伤亡是否有关. 不戴头盔 戴头盔 伤亡 15 10 不伤亡 25 50 参考数据和公式:xiyi=1 215,,χ2=,n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 17.(15分)甲、乙两人参加单位组织的知识答题活动,每轮活动由甲、乙各答一个题,已知甲、乙第一轮答对的概率都为.甲如果第k(k∈N*)轮答对,则他第(k+1)轮也答对的概率为,如果第k轮答错,则他第(k+1)轮也答错的概率为;乙如果第k轮答对,则他第(k+1)轮也答对的概率为,如果第k轮答错,则他第(k+1)轮也答错的概率为.在每轮活动中,甲、乙答对与否互不影响. (1)若前两轮活动中第二轮甲、乙都答对,求两人第一轮也都答对的概率; (2)如果在每一轮活动中至少有一人答对,游戏就可以一直进行下去,直到他们都答错为止.设停止游戏时进行了Y轮游戏,求证:E(Y)<4. 18.(17分)甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为:从6个不同体育项目中随机抽取3个,甲、乙将在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中,有4个是甲擅长的,必定通过测试,另外2个是甲不擅长的,必定无法通过测试;6个项目中,乙通过每个项目测试的概率均为p,且各次测试相互独立.在本次测试的3个项目中,记甲、乙通过测试的项目个数分别为X,Y. (1)若p=,分别写出随机变量X和Y的分布列,并求它们的数学期望; (2)规定:若3个项目中至少有2个项目通过测试,则考核“达标”;若3个项目全部通过测试,则考核“优秀”. (i)当运动员甲考核“达标”时,求运动员甲考核“优秀”的概率; (ii)已知p=p1时,两位运动员考核“达标”的概率相等,p=p2时,两位运动员考核“优秀”的概率相等.求证:p2<<p1. 19.(17分)设点集Mn={(a1,a2,a3,…,an)|ai∈{0,1},1≤i≤n,i∈N*},从集合Mn中任取两个不同的点A(a1,a2,a3,…,an),B(b1,b2,b3,…,bn),定义A,B两点间的距离d(A,B)=|ai-bi|. (1)求M3中d(A,B)=2的点对的个数; (2)从集合Mn中任取两个不同的点A,B,用随机变量X表示A,B两点间的距离d(A,B). ①求X的分布列与期望; ②证明:当n→+∞时,4D(X)<n2.(注:当n→+∞时,2-n→0) 答案全解全析 全书综合测评 1.B　先涂区域1,有4种选择,再涂区域2,3,4,5,各有3种选择,故不同的涂色方法有4×34=324种. 2.A　由题意知×(2.5+3+4+4.5+6)=4, 则4=5-0.25,解得=0.85, ∴=0.85x-0.25, 当x=10时,=0.85×10-0.25=8.25. 3.A　(2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r(-y)r, 当r=3时,T4=25-3x5-3(-y)3=-40x2y3,此时只需乘第一个因式(x-2y)中的x即可,得到-40x3y3;当r=2时,T3=25-2x5-2(-y)2=80x3y2,此时只需乘第一个因式(x-2y)中的-2y即可,得到-160x3y3.故x3y3的系数为-40-160=-200. 4.C　由题意得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2, 则E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3,因为E(X)>1.75,所以p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,又p∈(0,1),所以p∈. 5.D　由题可知P(X=2)=P(X=3),即,所以λ=3, 因此P(X=k)=e-3(k=0,1,2,…),则P(X=1)=, 所以两个站台各有1个乘客候车的概率P=. 6.C　若丙在第一或第五位,甲、乙进行捆绑,内部全排列,再和剩余的两个学生进行全排列,则不同的浇水顺序有2=24种; 若丙在第二位或第四位,甲、乙进行捆绑,内部全排列,且甲、乙这个整体只有两种选择,再将剩余的两位同学全排列,则不同的浇水顺序有2×2=16种. 故不同的浇水顺序共有24+16=40种. 7.C　设蓝色骰子掷出的点数为Z,则X+Y+Z=15,(X,Y,Z)的可能情况有(3,6,6),(4,5,6),(4,6,5),(5,4,6),(5,6,4),(5,5,5),(6,3,6),(6,6,3),(6,4,5),(6,5,4),共10种. 对于A,X+Y=12等价于Z=3,只有(6,6,3)一种情况,所以P(X+Y=12)=,易得P(X=6)=P(Y=6)=,所以P(X=6)P(Y=6)=,所以P(X+Y=12)≠P(X=6)P(Y=6),故A错误; 对于B,满足Y=4的情况有(5,4,6),(6,4,5),则P(X=5|Y=4)=, 满足Y=5的情况有(4,5,6),(5,5,5),(6,5,4),则P(X=4|Y=5)=,所以P(X=5|Y=4)≠P(X=4|Y=5),故B错误; 对于C,Z的可能取值为3,4,5,6,E(Z)=×6=5, 因此E(X+Y)=E(15-Z)=15-E(Z)=10,故C正确; 对于D,D(Z)=×(6-5)2=1,同理得D(X)=1, 则D(X+Y)=D(15-Z)=D(Z)=1≠4D(X),故D错误. 8.A　由于1-P(A|B)=1-|B), 因此R2=, 所以. 由题中列联表可知P(A)=, 则P(B|A)=, 所以. 9.ABD　对于A,由于经验回归直线=-0.85x+2.3的斜率小于0,所以y与x具有负相关关系,因此A正确;易知B正确;对于C,当A⊆B时,P(B|A)=1,因此C错误;对于D,因为X~N(4,1),所以P(3<X<5)=1-2P(X≥5)=1-2×0.2=0.6,因此D正确. 10.BC　令t=1-x,则x=1-t,所以(2-t)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7. 对于A,令t=0,得a0=(2-0)7=27=128,因此A错误; 对于B,(2-t)7的展开式的通项为Tr+1=27-rtr,r=0,1,…,7, 令r=6,则a6=(-1)6·2=14,因此B正确; 对于C,令t=1,得a0+a1+a2+…+a7=(2-1)7=1①,因此C正确; 对于D,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a7=(2+1)7=37②, 由①②得a1+a3+a5+a7==-1 093,因此D错误. 11.ACD　将1,2,3,4,5,6,7,8平均分成2组,有=35种分法, 不妨设max{a1,a2,a3,a4}<max{a5,a6,a7,a8}, 若a1,a2,a3,a4中的最大值为4,则a5,a6,a7,a8中的最大值为8,有1种情况,此时X=4; 若a1,a2,a3,a4中的最大值为5,则a5,a6,a7,a8中的最大值为8,有=4种情况,此时X=5; 若a1,a2,a3,a4中的最大值为6,则a5,a6,a7,a8中的最大值为8,有=10种情况,此时X=6; 若a1,a2,a3,a4中的最大值为7,则a5,a6,a7,a8中的最大值为8,有=20种情况,此时X=7, 则X的值可能为4,5,6,7,P(X=4)=. P(X≥6)=P(X=6)+P(X=7)=,故A,C正确. 不妨设min{b1,b2,b3,b4}>min{b5,b6,b7,b8}, 若b1,b2,b3,b4中的最小值为5,则b5,b6,b7,b8中的最小值为1,有1种情况,此时Y=5; 若b1,b2,b3,b4中的最小值为4,则b5,b6,b7,b8中的最小值为1,有=4种情况,此时Y=4; 若b1,b2,b3,b4中的最小值为3,则b5,b6,b7,b8中的最小值为1,有=10种情况,此时Y=3; 若b1,b2,b3,b4中的最小值为2,则b5,b6,b7,b8中的最小值为1,有=20种情况,此时Y=2, 则Y的值可能为2,3,4,5,P(Y=5)=. P(X>Y)=P(X=4)·[P(Y=3)+P(Y=2)]+P(X=5)·[P(Y=4)+P(Y=3)+P(Y=2)]+P(X=6)+P(X=7)=,故B错误,D正确. 12.答案　45 解析　由正态分布的性质得,质量指标位于区间(49,51)的概率为1-2×0.05=0.9,即1袋水泥的质量指标位于区间(49,51)的概率为0.9, 则Y~B(500,0.9),所以D(Y)=500×0.9×0.1=45. 13.答案　 解析　因为P(A+, 所以P(AB)=,于是P(B|A)=. 14.答案　①③④ 解析　当n=3时,P3=1-,①正确. 当n=4时,出现连续3次正面向上的情况是正正正正、正正正反、反正正正,所以P4=1-3×,②错误. 抛掷n次没有出现连续3次正面向上有以下情况: 若第n次反面向上,则前(n-1)次没有出现连续3次正面向上; 若第n次正面向上,则需要对第(n-1)次进行讨论, 得到下表: 第n次 第(n-1)次 第(n-2)次 概率 反 Pn-1 正 反 Pn-2 正 正 反 Pn-3 所以Pn=Pn-3(n≥4),④正确. 由上式可得Pn+1=Pn-2, 则Pn+1-Pn-3, 所以Pn+1-Pn=-Pn-3<0(n≥4),所以Pn+1<Pn, 又P1=P2=1,P3=,P4<P3<P2,故当n≥2时,Pn+1<Pn,③正确. 15.解析　(1)将5人分成3组,每组至少1人,有两种分法, 若为1,1,3,则有=10种分组方式, 再将分好的组进行分配,则不同的分配方案有10=60种;(2分) 若为1,2,2,则有=15种分组方式, 再将分好的组进行分配,则不同的分配方案有15=90种.(4分) 由分类加法计数原理可知,共有60+90=150种不同的分配方案.(6分) (2)从5人中选3人安排到全程马拉松项目,有=10种方法, 剩下的2人安排到其余两个项目,每个项目安排1人,有=2种方法, 则共有10×2=20种不同的分配方案.(9分) 若甲、乙两人安排在同一个项目,则甲、乙只能安排到全程马拉松项目,则剩下的3人每人安排在一个项目,有=6种不同的分配方案.(11分) 故有20-6=14种不同的分配方案.(13分) 16.解析　(1)由题表得=55,(3分) 所以=-13.5, =90+13.5×3=130.5,(7分) 所以经验回归方程为=-13.5x+130.5.(8分) (2)零假设为H0:不戴头盔行为与事故伤亡无关. 由题意得χ2=≈5.556>3.841=x0.05,　(12分) 依据α=0.05的独立性检验,有充分证据推断H0不成立,即认为不戴头盔行为与事故伤亡有关,此推断犯错误的概率不大于0.05.(15分) 17.解析　(1)设Ai=“甲在第i轮活动中答对”,Bi=“乙在第i轮活动中答对”,Ci=“甲、乙在第i轮活动中都答对”, 则P(C2)=P(A1A2)P(B1B2)+P(,(3分) 又P(C1C2)=P(A1A2)P(B1B2)=,(5分) 故P(C1|C2)=.(7分) (2)证明:第二轮甲答对的概率为P(A2)=P(A1A2)+P(, 第二轮乙答对的概率为P(B2)=P(B1B2)+P(, 依此类推得到P(An)=, 每一轮甲、乙都答错的概率为, 因此P(Y=i)=·(i=1,2,…,n,…),(10分) 则E(Y)=1×+…+n×+…,① 所以+…+n×+…,② ①-②得+…++…, 则E(Y)=1++…++…, 1++…+, 又<1, 所以E(Y)<4.(15分) 18.解析　(1)由题意得,X的可能取值为1,2,3,且X服从超几何分布, 则P(X=1)=, 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)=1×=2.(4分) Y的可能取值为0,1,2,3,且Y~B, 则P(Y=0)=, P(Y=2)=, 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P E(Y)=3×=2.(8分) (2)(i)因为P(X=3|X≥2)=, 所以运动员甲考核“达标”时,运动员甲考核“优秀”的概率是.(11分) (ii)证明:甲考核“达标”的概率为P(X≥2)=0.8,记乙考核“达标”的概率为f(p), 则f(p)=P(Y≥2)=p2(1-p)+p3=-2p3+3p2,(12分) 则f'(p)=-6p2+6p=-6p(p-1), 当p∈(0,1)时,f'(p)>0,f(p)单调递增, 又f<0.8=f(p1),所以p1>.(14分) 甲考核“优秀”的概率为P(X=3)=0.2,记乙考核“优秀”的概率为g(p), 则g(p)=P(Y=3)=p3,易知g(p)=p3在(0,1)上单调递增, 又g>0.2=g(p2),所以p2<.(16分) 综上,p2<<p1.(17分) 19.解析　(1)由题意知n=3,d(A,B)=2, 由ai与bi取0或1知,若ai与bi相等,则|ai-bi|=0,若ai与bi不相等,则|ai-bi|=1,因此|a1-b1|、|a2-b2|、|a3-b3|中有两个1一个0, 所以A,B有两个对应位置的坐标不相等,另一个对应位置的坐标相等,(3分) 所以共有=12对.(6分) (2)①由题意可知,ai有两种取法, 所以Mn中的元素个数为=2n,(7分) 随机变量X的取值为1,2,3,…,n. 当X=k时,在坐标(a1,a2,a3,…,an)与(b1,b2,b3,…,bn)中有k个对应位置的坐标不相等,剩下(n-k)个对应位置的坐标相等, 此时A,B的取法有·2k·2n-k=·2n种,(9分) 所以P(X=k)=,(10分) 故X的分布列为 X 1 2 … n P … (11分) 所以E(X)=1×+…+n× =+…+n) =+…+n.(13分) (化简的关键是运用公式:r+…+=2n-1) ②证明:E(X)=,当n→+∞时,→0,E(X)→.(14分) 因为k≤n,所以当n→+∞时,(Xk-E(X))2≈. 由方差的定义得D(X)=Pk·(Xk-E(X))2 ≈+…+ <+…+ =+…+) =,(16分) 所以4D(X)<n2.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $