第8章 专题强化练5 独立性检验的综合应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

专题强化练5　独立性检验的综合应用 时间:40分钟 1.(2024湖北武汉期中)电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式,是互联网应用最广的服务.我们在使用电子邮件时发现一个有趣的现象:中国人的邮箱名称里含有数字的比较多,而外国人的邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究邮箱名称里有无数字是否与国籍有关,某人随机调取了40个邮箱名称,得到如下2×2列联表: 单位:人 中国人 外国人 总计 邮箱名称里有数字 15 5 20 邮箱名称里无数字 5 15 20 总计 20 20 40 (1)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析邮箱名称里有无数字是否与国籍有关; (2)用样本估计总体,将频率视为概率,在中国人的邮箱名称里和外国人的邮箱名称里各随机抽取6个邮箱名称,记“6个中国人的邮箱名称里恰有3个有数字”的概率为P1,“6个外国人的邮箱名称里恰有3个有数字”的概率为P2,试比较P1与P2的大小. 附: χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2.(2025辽宁模拟)对于人工智能公司而言,不同的客户使用需求不同,造成公司运营的技术成本不同.某调研公司对A,B两家公司的客户使用的技术成本进行调研,随机抽取200个客户,将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高、低廉三个类别进行数据统计如下表,其中技术成本高昂和较高情况下都称为高成本运营,低廉称为低成本运营. 高昂 较高 低廉 总计 A 36 14 50 100 B 46 24 30 100 (1)请填写如下列联表,并判断能否有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异; 高成本运营 低成本运营 A B (2)对于技术成本而言,高成本运营占比越低,则认为技术水平越高.已知A公司的技术成果发布前B公司高成本运营占比为m0=0.7,设m为A公司的技术成果发布后这两家公司抽取的n个客户使用时的高成本运营占比,若m<m0-,则可以认为A公司的技术水平高于B公司,根据抽取的200个客户信息,是否能够认为A公司的技术水平高于B公司. 附: χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 3.(2024广西桂林模拟)某农场主拥有两个面积都是200亩的农场——“生态农场”与“亲子农场”,种植的都是黄桃,黄桃根据品相和质量分为优级果、一级果和残次果三个等级.农场主随机抽取了两个农场的黄桃各100千克,并得到如下数据:“生态农场”的优级果和一级果共95千克,两个农场的残次果共20千克,“生态农场”的优级果有20千克,“亲子农场”的优级果有25千克. (1)根据所提供的数据及α=0.050的独立性检验,分析残次果率与农场是否有关; (2)种植黄桃的成本为5元/千克,且黄桃价格如表: 等级 优级果 一级果 残次果 价格/ (元/千克) 10 8 -0.5 (无害化处理费用) ①以样本的频率作为概率,请分别计算两个农场每千克黄桃的平均利润; ②由于农场主精力有限,决定卖掉其中的一个农场,请你根据以上数据帮他进行决策.(假设两个农场的产量相同) 附: χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 4.(2025上海杨浦高级中学月考)为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况,某校进行了一次抽样调查.若被调查的男女生人数均为20n(n∈N*),统计得到以下列联表.经过计算,依据小概率值α=0.025的独立性检验,认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关,但依据小概率值α=0.01的独立性检验,认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关. 单位:人 不了解 了解 合计 女生 10n 男生 5n 合计 (1)求n的值; (2)将频率视为概率,用样本估计总体,从全校男生中随机抽取5人,记其中对“反诈”知识了解的人数为X,求X的分布列及数学期望; (3)为了增强同学们的防范意识,该校举办了主题为“防电信诈骗,做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加本次竞赛的学生分数η近似服从正态分布N(80,25),若某同学成绩满足μ-σ≤η≤μ+2σ,则该同学被评为“反诈标兵”;若η>μ+2σ,则该同学被评为“反诈达人”. (i)试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”; (ii)若全校共有50名同学被评为“反诈达人”,试估计参与本次知识竞赛的学生人数.(四舍五入后取整) 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 答案与分层梯度式解析 专题强化练5　独立性检验的综合应用 1.解析　(1)零假设为H0:邮箱名称里有无数字与国籍无关. 经计算得χ2==10<10.828=x0.001, 根据小概率值α=0.001的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此认为邮箱名称里有无数字与国籍无关. (2)由题意可知,中国人的邮箱名称里有数字的概率为,外国人的邮箱名称里有数字的概率为. 设6个中国人的邮箱名称里有数字的邮箱名称个数为随机变量X,6个外国人的邮箱名称里有数字的邮箱名称个数为随机变量Y, 则X~B, 则P1=, P2=, 所以P1=P2. 2.解析　(1)补全列联表如下: 高成本运营 低成本运营 A 50 50 B 70 30 可得χ2=≈8.333, 因为8.333>6.635, 所以有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异. (2)由题意得m==0.6,m0=0.7, 则m0-=0.7-0.021=0.679, 可知m<m0-, 所以能够认为A公司的技术水平高于B公司. 3.解析　(1)由题中相关数据可作出2×2列联表如下: 单位:千克 非残次果 残次果 总计 生态农场 95 5 100 亲子农场 85 15 100 总计 180 20 200 零假设为H0:残次果率与农场无关. 计算得χ2=≈5.556>3.841=x0.050, 根据小概率值α=0.050的独立性检验,推断H0不成立,即认为残次果率与农场有关. (2)①对于“生态农场”,抽到的产品中每千克盈利为5元的频率为=0.2,每千克盈利为3元的频率为=0.75,每千克盈利为-5.5元的频率为=0.05,所以该农场每千克黄桃的平均利润为5×0.2+3×0.75+(-5.5)×0.05=2.975(元); 对于“亲子农场”,抽到的产品中每千克盈利为5元的频率为=0.25,每千克盈利为3元的频率为=0.6,每千克盈利为-5.5元的频率为=0.15,所以该农场每千克黄桃的平均利润为5×0.25+3×0.6+(-5.5)×0.15=2.225(元). ②因为两个农场的产量相同,且“生态农场”每千克黄桃的平均利润更大,盈利能力更大,所以应该卖掉“亲子农场”. 4.解析　(1)由已知,完成列联表: 单位:人 不了解 了解 合计 女生 10n 10n 20n 男生 5n 15n 20n 合计 15n 25n 40n 则χ2=, 根据条件,可得5.024≤<6.635,解得1.884≤n<2.488, 因为n∈N*,所以n=2. (2)由(1)知,样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为, 用样本估计总体,从全校男生中随机抽取一人,其对“反诈”知识了解的概率为,则X~B, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, P(X=4)=, P(X=5)=. 则X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P E(X)=5×=3.75. (3)(i)μ=80,σ=5,而75<88<90, 则分数为88分的同学能被评为“反诈标兵”. (ii)设全校参与本次竞赛的人数为n, “反诈达人”的概率为P(η>μ+2σ)=[1-P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)]≈×(1-0.954 5)=0.022 75, 则=0.022 75,解得n≈2 198, 所以参与本次知识竞赛的学生人数约为2 198人. 10 学科网（北京）股份有限公司 $