6.3.2 二项式系数的性质（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

6.3.2　二项式系数的性质 基础过关练 题组一　二项式系数的和与对称性 1.(教材习题改编)在(a+b)n的展开式中,与第k项的二项式系数相同的项是(　　) A.第(n-k)项　　　　B.第(n-k-1)项 C.第(n-k+1)项 　　　　D.第(n-k+2)项 2.(2025河北保定唐县第一中学月考)在(a+b)n的展开式中,若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和,则n=(　　) A.16　　　　B.15　　　　C.14　　　　D.13 3.(2025福建部分优质校联考)若的展开式的二项式系数之和为64,则其展开式中常数项为(　　) A.-240　　　　B.-60　　　　C.60　　　　D.240 4.(2025甘肃张掖检测)已知(a>0)的展开式中奇数项的二项式系数和为256,x2的系数为84,则a的值为(　　) A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D. 题组二　赋值法求系数和 5.(2025安徽芜湖期末)若(1+ax)5的展开式各项系数之和为-1,则实数a为(　　) A.0　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.-2 6.(2025河南洛阳第一高级中学期中)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=(　　) A.243　　　　B.27　　　　C.1　　　　D.-1 7.(多选题)(2025湖南多校联考)已知(2-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则(　　) A.a0=-64　　　　 B.a3=-160 C.a1+a2+a3+a4+a5+a6=1　　　　 D.a1-a2+a3-a4+a5-a6=-665 8.(2025广东东莞第五高级中学月考)已知(1+ax)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,若a3=-32,则a1+a2+a3+a4=　　　　.  9.(2025北京昌平期末)设(2x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求: (1)a6+a5+a4+a3+a2+a1; (2)a6+a4+a2+a0; (3)64a6+32a5+16a4+8a3+4a2+2a1+a0; (4)|a6|+|a5|+|a4|+|a3|+|a2|+|a1|. 题组三　系数的增减性与最值问题 10.(2025湖北部分高中联考)已知(x+y)2m,(x+y)2m+1的二项式系数的最大值分别为a,b,若11a=6b,则正整数m=(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 11.(多选题)(2025广东河源中学质量检测)在的展开式中,下列说法正确的是(　　) A.常数项为160 B.第4项的二项式系数最大 C.第3项的系数最大 D.系数最大的项为240x-2 12.(易错题)(2025广东深圳盐田高级中学月考)在的展开式中,若仅有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最大的项是第　　　　项.  能力提升练 题组一　二项式系数的性质及其应用 1.(多选题)(2025江西期末)记S=,n∈N*,则(　　) A.若S的展开式中存在常数项,则n是7的倍数 B.若S的展开式中存在常数项,则n是6的倍数 C.若n是奇数,则第项一定是S的展开式中系数最大的项 D.若n是偶数,则第项是S的展开式中二项式系数最大的项 2.(创新题)(2025湖北襄阳优质高中联考)已知的展开式中所有偶数项的二项式系数和为32,现将展开式中的各项重新排列,则有理项互不相邻的概率为　　　　.  3.(2025江苏盐城七校联盟联考)设函数f(x,y)=(y>0). (1)若f(3,y)=a0+,a2=27,求ai; (2)当m=-3时,求f(6,y)展开式中系数最大的项; (3)当m>0时,设n是正整数,t为正实数,实数t满足f(n,1)=mnf(n,t),求证:f(2 025,1 000)>7f(-2 025,t). 题组二　赋值法求系数和 4.(2025安徽宿州期中)已知的展开式共有7项,则下列说法不正确的是(　　) A.二项式系数和为128 B.展开式的所有项的系数和为1 C.含x3项的系数与含x6项的系数和为-128 D.所有项的系数绝对值之和为729 5.(多选题)(2025浙江杭州第二中学期中)已知(1+2x)(x-2)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则(　　) A.a0的值为-32 B.a5的值为160 C.(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5)2的值为-36 D.(2i·ai)=0 6.(多选题)(2025浙江绍兴阶段检测)已知(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6+a7(x-1)7,则　　(　　) A.a0=1 B.a1+a2+a3+…+a7=37-1 C.a5=-672 D.+…+=127 7.(多选题)若(2x+y)2 024=a0x2 024+a1x2 023y+a2x2 022y2+…+a2 024y2 024,则下列正确的是(　　) A.a0=2 024 B.a0+a1+…+a2 024=32 024 C.a0-a1+a2-a3+…+a2 024=1 D.a1-2a2+3a3-…-2 024a2 024=-2 024 8.在(x-2y+z)7的展开式中,所有形如xaybz2(a,b∈N)的项的系数之和是　　　　.  答案与分层梯度式解析 6.3.2　二项式系数的性质 基础过关练 1.D 2.D 3.C 4.A 5.D 6.D 7.BD 10.D 11.BCD 1.D　第k项的二项式系数是,由于,因此第(n-k+2)项的二项式系数与第k项的二项式系数相同. 2.D　由题意可得,则,可得n+1=14,所以n=13. 3.C　由题意得2n=64,解得n=6, 的展开式的通项为Tr+1=·(-2x)r=(-2)r,r=0,1,…,6, 令r-3=0,得r=2,所以展开式中常数项为T3=(-2)2x0=60. 方法总结 　　二项展开式中二项式系数之和为+…+=2n,所有奇数项的二项式系数和与所有偶数项的二项式系数和相等,均为2n-1. 4.A　展开式中奇数项的二项式系数和为2n-1=256,所以n=9, 的展开式的通项为Tr+1=)9-r·(r=0,1,2,…,9), 令=2,得r=3,所以a9-3=84,解得a=±1,又a>0,所以a=1. 5.D　令x=1,得(1+ax)5的展开式各项系数之和为(1+a)5=-1,所以a=-2. 方法总结 　　求展开式各项系数之和,采用赋值法,令x=1. 6.D　(1-2x)5的展开式的通项为Tk+1=(-2x)k(k=0,1,2,…,5),当k为偶数时,a0,a2,a4为正数;当k为奇数时,a1,a3,a5为负数, 所以|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=(1-2)5=-1. 7.BD　对于A,令x=0,得a0=26=64,故A错误; 对于B,a3=23(-1)3=-160,故B正确; 对于C,令x=1,得a0+a1+…+a6=1,又a0=64,所以a1+a2+…+a6=-63,故C错误; 对于D,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36=729,又a0=64,所以a1-a2+a3-a4+a5-a6=-665,故D正确. 8.答案　0 解析　由题意得a3=·a3=4a3=-32,所以a=-2,即(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4, 令x=0,则a0=1,令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=1, 所以a1+a2+a3+a4=0. 9.解析　(1)令x=0,得a0=(-1)6=1, 令x=1,得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=(2-1)6=1, 所以a6+a5+a4+a3+a2+a1=1-1=0. (2)令x=-1,得a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-2-1)6=729, 由(1)知,a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=1, 两式相加得2(a6+a4+a2+a0)=1+729=730, 所以a6+a4+a2+a0=365. (3)令x=2,得64a6+32a5+16a4+8a3+4a2+2a1+a0=(4-1)6=729. (4)设(2x+1)6=b6x6+b5x5+b4x4+b3x3+b2x2+b1x+b0, 令x=0,得b0=16=1, 令x=1,得b6+b5+b4+b3+b2+b1+b0=36, 所以|a6|+|a5|+|a4|+|a3|+|a2|+|a1|=b6+b5+b4+b3+b2+b1=36-1=728. 10.D　因为2m为偶数,2m+1为奇数,所以a=,又11a=6b,所以11,即11·=6·,整理得11=,解得m=5. 11.BCD　的展开式的通项为Tr+1=·(-x)r=(-1)r26-rx2r-6,r=0,1,…,6, 由2r-6=0,得r=3,所以常数项为(-1)323=-160,故A错误; 展开式共有7项,所以第4项的二项式系数最大,故B正确; 由通项可得,当r为偶数时,系数才有可能取到最大值,由T1=64x-6,T3=240x-2,T5=60x2,T7=x6,可知第3项的系数最大,即系数最大的项为240x-2,故C,D正确. 12.答案　3和4 解析　因为的展开式中,仅第5项的二项式系数最大,所以展开式共9项,则n=8, 的展开式的通项为Tr+1=x8-2r,r=0,1,…,8, 设展开式中系数最大的项是Tr+1, 则 即 解得2≤r≤3,又r∈N,所以r=2或r=3,所以展开式中系数最大的项是第3项和第4项. 易错警示 　　“二项式系数最大”和“项的系数最大”是两个概念.“二项式系数最大”:当n是偶数时,最大,当n是奇数时,最大.“项的系数最大”:第(r+1)项的系数大于前一项,也大于后一项. 能力提升练 1.AD 4.A 5.ACD 6.ABD 7.BC 1.AD　的展开式的通项为Tr+1=(x-5)n-r·(-x2)r=(-1)rx7r-5n. 对于A,B,若S的展开式中存在常数项,则x7r-5n是常数,即5n=7r, 因为r,n为正整数,故n是7的倍数,故A正确,B错误; 对于C,若n是奇数,设n=2k+1(k∈N),则=k+1,所以第项为(-1)kx-3k-5,其系数为(-1)k,不能确定正负,故C错误; 对于D,若n是偶数,设n=2k+2(k∈N),则+1=k+2,所以第项为(-1)k+1x-3k-3,其二项式系数最大,故D正确. 2.答案　 解析　由题意可得2n-1=32,解得n=6,则的展开式共7项. 的展开式的通项为Tr+1== (-3)r,r=0,1,…,6, 当r=0,2,4,6时,Tr+1是有理项,所以的展开式中有理项共4项, 所以将展开式中的各项重新排列,其中有理项互不相邻的概率P=. 3.解析　(1)由题可得f(3,y)=a0+, 所以a2=m2=27,则m2=9,故m=±3. 令y=1,可得ai=64或-8. (2)当m=-3时,f(6,y)=,其展开式的通项为Tr+1=(-3)ry-r,r=0,1,2,…,6, 设展开式的系数为br=(-3)r,r=0,1,2,…,6,则r为偶数时系数为正,r为奇数时系数为负, 又b0=1,b2=(-3)4=15×81=1 215,b6=(-3)6=1×729=729, 所以f(6,y)展开式中系数最大的项为T5=1 215y-4. (3)证明:由f(n,1)=mnf(n,t)可得(1+m)n=mn, 即1+m=m+,所以m=, 所以f(2 025,1 000=7, 而7f(-2 025,t)=7<7, 所以不等式f(2 025,1 000)>7f(-2 025,t)成立. 4.A　因为的展开式共有7项,所以n=6. 对于A,二项式系数和为26=64,故A错误; 对于B,令x=1,可得展开式中所有项的系数和为(1-2)6=1,故B中说法正确; 对于C,的展开式的通项为Tk+1=·(-2x)k=(-2)kx3k-12,k=0,1,…,6, 令3k-12=3,得k=5,则含x3项的系数为(-2)5=-192, 令3k-12=6,得k=6,则含x6项的系数为(-2)6=64, 所以这两项的系数和为-192+64=-128,故C中说法正确; 对于D,由C得T1~T7的系数正负交错排列, 令x=-1,得36=729,故所有项的系数绝对值之和为729,故D中说法正确. 5.ACD　对于A,令x=0,则a0=(-2)5=-32,故A正确; 对于B,a5=·(-2)=1-20=-19,故B错误; 对于C,令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=-3, 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=35, 则(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5)2 =(a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6)(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6)=-36,故C正确; 对于D,令x=2,则a0+2a1+22a2+23a3+24a4+25a5+26a6=0,即(2i·ai)=0,故D正确. 6.ABD　对于A,令x=1,可得a0=(2-1)7=1,故A正确; 对于B,令x=2,可得a0+a1+a2+…+a6+a7=(4-1)7=37, 所以a1+a2+…+a6+a7=37-a0=37-1,故B正确; 对于C,[1+2(x-1)]7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6+a7(x-1)7, 而T6=T5+1=×12×[2(x-1)]5=672(x-1)5,所以a5=672,故C错误; 对于D,令x=,可得+…+a6,所以a0++…+=27=128,又a0=1,所以+…+=127,故D正确. 7.BC　对于A,令x=1,y=0,则a0=22 024,故A错误; 对于B,令x=1,y=1,则a0+a1+…+a2 024=32 024,故B正确; 对于C,令x=1,y=-1,则a0-a1+a2-a3+…+a2 024=1,故C正确; 对于D,令x=1,则(2+y)2 024=a0+a1y+a2y2+…+a2 024y2 024, 两边同时求导得2 024(2+y)2 023=a1+2a2y+3a3y2+…+2 024a2 024y2 023, 令y=-1,则a1-2a2+3a3-…-2 024a2 024=2 024,故D错误. 8.答案　-21 解析　因为(x-2y+z)7=[(x-2y)+z]7,所以展开式中含z2的项为(x-2y)5z2,令x=y=z=1,则所求系数之和为×(1-2)5×12=-21. 15 学科网（北京）股份有限公司 $