第11卷 平面向量 2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，依托于山东省春季高考数学科目考试大纲，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共20份试卷，本卷是2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》的第11卷。 2026年山东省春季高考 第11卷 平面向量 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知向量，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3．是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在△ABC中，，点M满足，则（    ） A． B． C．5 D．6 5．已知平面向量，与垂直，则是（    ） A．1 B． C．2 D． 6．在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记，则（    ）    A． B． C． D． 7．已知向量 ，，且与共线，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．与向量平行的单位向量为（    ） A． B． C．或 D．或 9．已知平面向量满足，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．如果向量满足，且，则和的夹角大小为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．若，且，则实数m的值是________． 12．已知向量，，则________. 13．在菱形中，，，则________． 14．已知向量不共线，且，则_______. 三、解答题:本大题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知，是两个不共线的向量，，，，若，B，D三点共线，求的值. 16．已知向量，是平面上不共线的两个非零向量，且，，且，求向量的坐标. 17．已知向量. (1)若，求实数的值. (2)若实数k满足，求. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，依托于山东省春季高考数学科目考试大纲，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共20份试卷，本卷是2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》的第11卷。 2026年山东省春季高考 第11卷 平面向量 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知向量，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积公式计算即可. 【详解】，解得. 故选：A. 2．在△ABC中，，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量加减法法则及模的定义判断. 【详解】因为，，，， 所以， 所以△ABC是等边三角形． 故选：A． 3．是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由向量的模相等和充要条件即可判断. 【详解】当时，有或，即充分性不成立； 当时，必有，即必要性成立； 故是的必要不充分条件. 故选：B. 4．在△ABC中，，点M满足，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量的坐标表示和已知条件求出点M的坐标，再根据向量内积的坐标表示即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示： 由，得， 设点，则 又，则， 所以， 所以. 故选：D. 5．已知平面向量，与垂直，则是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算以及向量垂直于数量积的关系求解即可. 【详解】由向量的坐标运算公式可得.由于与垂直， 所以， ,即，化简得. 故选：C. 6．在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法、减法、数乘的几何运算即可求得. 【详解】解：, . 故选：D. 7．已知向量 ，，且与共线，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示求解. 【详解】∵向量 ，，且与共线， ∴，解得. 故选：D. 8．与向量平行的单位向量为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据与已知向量共线的单位向量的求法即可求解. 【详解】与向量平行的单位向量为， 即或． 故选：C． 9．已知平面向量满足，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，不妨设，，，根据内积的坐标表示，可得，，再利用模的坐标表示及不等式的性质可求解. 【详解】由题意，不妨设，，， ，，则， ， ，，即的最小值为. 故选：D 10．如果向量满足，且，则和的夹角大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直以及向量的内积运算求解即可. 【详解】设和的夹角为，由得. 因为所以，所以. 由于，所以. 故选：D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．若，且，则实数m的值是________． 【答案】 【分析】利用再向量夹角得到两向量反向平行，再利用向量平行的坐标表示求得，再进行检验即可得解. 【详解】因为,所以与反向平行， 又， 所以，解得， 当时，，向量同向，舍去； 当时，，向量反向，满足题意； 综上，. 故答案为：. 12．已知向量，，则________. 【答案】 【分析】先求解的坐标，再由模长公式计算即可. 【详解】因为向量，， 所以， 则. 故答案为：. 13．在菱形中，，，则________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质与平面向量的线性运算求解即可. 【详解】如图所示，作出菱形，连接，，交于点， 在菱形中，，， ∵ ∴. 故答案为: 14．已知向量不共线，且，则_______. 【答案】 【分析】根据平面向量共线定理即可求解. 【详解】因为向量不共线，且， 所以有， 则，即，解得， 故答案为：. 三、解答题:本大题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知，是两个不共线的向量，，，，若，B，D三点共线，求的值. 【答案】. 【分析】先求出，结合平面向量的共线定理即可得解. 【详解】，是两个不共线的向量，，，， ， ，B，D三点共线，则， 所以，解得， 所以. 16．已知向量，是平面上不共线的两个非零向量，且，，且，求向量的坐标. 【答案】 【分析】设，由向量的模和内积公式联立求解即可. 【详解】依题意，设，又， 因为，所以， 因为，所以，即， 将代入中有， 整理得，即，解得， 将代入得， 所以. 17．已知向量. (1)若，求实数的值. (2)若实数k满足，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算的坐标表示列方程组求解即可. （2）首先根据向量的线性运算的坐标表示得出，再由向量垂直的坐标表示列方程求出的值，代入中求出其坐标，再由模的坐标表示求值即可. 【详解】（1）已知向量， 则， 由，得， 解得. （2）已知， 则， 由，得， 解得，则， 所以. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $