专题21 平面解析几何中的二级结论、三定义在解题中的应用（复习课件）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

平面解析几何中的二级结论、三定义在解题中的应用 模块七 专题21 考点一 二级结论、三定义 真题动向 必备知识（8大知识点） 命题预测（8大题型） 01 析·考情精解 命题轨迹透视 近三年全国卷中，圆锥曲线二级结论是小题核心解题利器，覆盖中档及以上难度，聚焦焦半径、焦点弦、焦点三角形、第三定义、阿基米德三角形等核心结论，巧用结论可转化几何关系、直接公式代入，大幅提升解题速度、降低计算量，实现小题“秒杀”。 解答题中二级结论虽极少作为直接得分点，但其思想方法深度渗透，常围绕焦点三角形周长、顶角与面积最值，中点弦、内切圆、阿基米德三角形等结论相关考点设题，需依托结论转化解题思路，是突破解答题的重要支撑。 考点频次总结     考点 2025年 2024年 2023年 二级结论 一卷T10，5分 二卷T11，5分 甲卷T12，5分 I卷T16，5分 2026命题 预测 2026年全国卷圆锥曲线二级结论仍为小题核心考查点，命题会增强结论隐蔽性、侧重应用灵活性，需学生识别条件背后的结论模型，还会融合多个结论设题。核心仍聚焦焦半径、焦点三角形、第三定义等，解答题仍渗透其思想方法，复习需理解推导再记忆，灵活转化应用。 02 构·知能框架 03 破·题型攻坚 真题动向 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：ACD. 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：B. 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：ACD. 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 真题动向 【解析】 考点一 二级结论及三定义 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 二级结论及三定义 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 二级结论及三定义 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 二级结论及三定义 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 二级结论及三定义 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 二级结论及三定义 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 二级结论及三定义 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 二级结论及三定义 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 二级结论及三定义 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 二级结论及三定义 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 二级结论及三定义 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 二级结论及三定义 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1焦半径、焦点弦 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1焦半径、焦点弦 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：C. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1焦半径、焦点弦 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1焦半径、焦点弦 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1焦半径、焦点弦 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：B. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1焦半径、焦点弦 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1焦半径、焦点弦 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：A. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1焦半径、焦点弦 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1焦半径、焦点弦 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：ACD. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1焦半径、焦点弦 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：A. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：AB. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：ACD. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：AC. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：ABD. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 【解析】 考点一 二级结论及三定义 命题预测 题型2焦点三角形的周长和面积 03 破·题型攻坚 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3椭圆与双曲线的共焦点问题 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3椭圆与双曲线的共焦点问题 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：D. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3椭圆与双曲线的共焦点问题 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3椭圆与双曲线的共焦点问题 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：A. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3椭圆与双曲线的共焦点问题 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3椭圆与双曲线的共焦点问题 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：B. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3椭圆与双曲线的共焦点问题 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3椭圆与双曲线的共焦点问题 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3椭圆与双曲线的共焦点问题 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：A. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：C. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4焦点三角形的外接圆与内切圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5垂径定理与第三定义 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5垂径定理与第三定义 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：B. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5垂径定理与第三定义 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5垂径定理与第三定义 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5垂径定理与第三定义 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5垂径定理与第三定义 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：ABD. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5垂径定理与第三定义 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5垂径定理与第三定义 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5垂径定理与第三定义 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5垂径定理与第三定义 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5垂径定理与第三定义 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5垂径定理与第三定义 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：B. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：A. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：D. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：ABD. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：ABC. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6双曲线的渐近线 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型7蒙日圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型7蒙日圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：A. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型7蒙日圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型7蒙日圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：C. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型7蒙日圆 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型7蒙日圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型7蒙日圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：ACD. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型7蒙日圆 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型7蒙日圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型7蒙日圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：ACD. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型7蒙日圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型7蒙日圆 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：B. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：ABCD. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：BD. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：AB. 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 【解析】 考点一 二级结论及三定义 03 破·题型攻坚 命题预测 题型8阿基米德三角形 【解析】 考点一 二级结论及三定义 故选：ACD. 1．（2025·全国一卷·高考真题，10，6分）（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以，所以，同理， 又，所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误；对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，，联立，得， 易知，则，又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确；对于D，在与中，， 所以，则，即，同理， 又， ，所以，则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以，所以，同理， 又，所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误；对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，消去，得，易知，则，所以 ， 综上，，故C正确；对于D，在与中，， 所以，则，即，同理， 当直线的斜率不存在时，，；所以，即；当直线的斜率存在时，， ， 所以，则；综上，，故D正确. 方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 2．（2023·全国甲卷·高考真题，12，5分）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 3．（2025·全国二卷·高考真题，11，6分）（多选）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故，由B可知，故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故，故，故四边形为，故D正确， 方法一：依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去），所以，，则，故，所以在 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，16，5分）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 中，，整理得，故. 方法二:依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 知识1焦半径与焦点弦 1．椭圆焦半径 设为椭圆上一点，为椭圆的一个焦点， （1）坐标式：焦点在轴时遵循左加右减原则，； 焦点在轴时遵循上加下减原则， （2）角度公式：，直接代入角度即可求焦半径长度 2．双曲线焦半径 设为双曲线上一点，为双曲线的一个焦点， （1）坐标式： 焦点在轴时，需区分在左支或右支：①若在左支，则；②若在右支，则； 焦点在轴时，需区分在下支或上支：①若在上支，则；②若在下支， 则 （2）角度公式：，P与F位于同侧取正，位于异侧取负 3．抛物线焦半径 设为抛物线上一点，为抛物线的焦点， （1）坐标式：焦点在轴时，；焦点在轴时， （2）角度公式：，适用于已知焦点弦倾斜角的情况 4．定比模型 椭圆、双曲线的过焦点的弦倾斜角为，斜率为，若焦点分得 则离心率与定比、角度/斜率的关系为： 知识2焦点三角形的周长与面积 设为圆锥曲线的两个焦点，为曲线上一点， 1．椭圆焦点三角形 （1）面积公式： （2）焦半径乘积： 2．双曲线焦点三角形 （1）面积公式： （2）焦半径乘积： 3．通用坐标法（椭圆/双曲线通用） 若已知点的坐标为，则焦点三角形面积可直接用： 知识3椭圆与双曲线共焦点结论 椭圆与双曲线有相同焦点，是二者的公共点，； 设椭圆参数为，双曲线参数为，公共焦距为 （1）面积等价关系： （2）离心率恒等关系： （3）半轴与离心率关系： 知识4焦点三角形的内切圆与外接圆 1．椭圆焦点三角形（，，为内心，为重心） （1）离心率推论：，可通过内切圆相关线段快速求离心率 （2）内心坐标：，且内心的轨迹为椭圆（） （3）轨迹方程： 2．双曲线焦点三角形 核心结论：双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标恒为，为定值，可直接使用 知识5垂径定理与第三定义 1．椭圆（标准方程，） （1）垂径定理：直线与椭圆交于两点，为中点，为原点，斜率均存在时， （2）第三定义：为椭圆长轴或短轴的端点，是椭圆上异于的点，则 2．双曲线（标准方程，） （1）垂径定理：直线与双曲线交于两点，为中点，为原点，斜率均存在时， （2）第三定义：为双曲线实轴的端点，是双曲线上异于的点，则 （3）渐近线推论：若为双曲线渐近线上两点，为中点，斜率均存在时，仍满足 知识6双曲线的渐近线核心性质 双曲线（）的渐近线相关结论，均为常考定值/定点结论 （1）焦点到任意一条渐近线的距离为定值 （2）以两焦点为直径的圆，与渐近线在第一象限的交点坐标为 （3）过双曲线上任一点作两渐近线的平行线，围成的平行四边形面积为定值 （4）过双曲线上任一点作两渐近线的垂线，则 （5）过双曲线上任一点作切线，交两渐近线于两点，则是中点，且， 知识7蒙日圆 蒙日圆定义：过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，所有切线交点的轨迹构成的圆 （1）椭圆的蒙日圆：椭圆（）的蒙日圆方程为 （2）双曲线的蒙日圆：双曲线（）的蒙日圆方程为 知识8阿基米德三角形 阿基米德三角形：由圆锥曲线的一条弦，与过弦两端点的两条切线所围成的三角形 1．焦点三角形（弦过抛物线焦点） （1）垂直性质：，；中线性质：轴 （2）面积最值：的最小值为 （3）角度与线段关系：， 2．一般三角形（弦不经过抛物线焦点） （1）中线性质：底边上的中线平行于抛物线的对称轴 （2）定点推轨迹：若弦过抛物线内部定点，则点的轨迹为直线 （3）轨迹推定点：若点轨迹为直线，则弦过定点 （4）面积最值：阿基米德三角形的面积最大值为 由题知，直线的方程为，设，，联立，整理得，则，又，则，则，结合韦达定理知， 1．（2025·辽宁丹东·二模）已知椭圆的右焦点为经过点的直线的倾斜角为且直线交该椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． ，， 则， 整理得，则离心率 由题意可知，且当直线的斜率为0时，， ，则； 2．（2024·河北石家庄·二模）抛物线有一性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么类比抛物线，对于椭圆，若存在实数，使得成立，则实数（    ） A． B． C． D． 当直线的斜率不为0时， 故可设直线的方程为，由消去，整理得， 设，，所以，， 由得， ， ，， ， 即，． 3．（2024·甘肃平凉·一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 由已知抛物线焦点到准线的距离为，即，则抛物线方程为，，所以直线方程为，即，设直线与抛物线交点，，联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 4．（2025·广西崇左·一模）（多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． ，，，，，设，，则，， A．，范围是，故A正确； B．设，则，故B错误； C．设为原点，则；故C正确； D．和的最大值为，最小值为 ，所以的最大值为，最小值为，，故D正确. 5．（2025·广东揭阳·三模）已知F是椭圆的一个焦点，P是C上的任意一点，则称为椭圆C的焦半径．设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的取值范围是________． 存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则此时， 因为，由题意可得，，不等式左边恒成立，则， 两边平方整理得：，解得（舍或． 椭圆的离心率的最小值为．椭圆的离心率的取值范围是，． 故答案为：，． 6．（2024·江苏盐城·一模）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，.由题意，，，则中，由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即． 7．（2024·广东河源·二模）（多选）已知椭圆的焦点分别为，，点P在椭圆上，且不与椭圆顶点重合，则下列说法正确的有（   ） A．椭圆离心率为 B．的周长为 C．可以是钝角 D．当时，的面积为 椭圆方程为，焦点在轴上，因此：，，； 选项A：离心率公式为，选项A正确； 选项B：根据椭圆定义，椭圆上任意一点 到两焦点的距离之和为，两焦点之间的距离为，因此三角形周长为，选项B正确； 选项C：设，，，则：，，点积 为：，而由椭圆方程，代入点积中：，点积非负，则说明最大为直角(当时)，不可能是钝角，选项C错误；选项D：设，，由椭圆的定义可知， 依据余弦定理：，又因为，代入上式：，而三角形面积公式为，代入，则，选项D错误. 8．（2025·黑龙江黑河·一模）（多选）已知分别是椭圆上的左、右焦点，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，连接，，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为 B．线段的长为 C．的面积为 D．椭圆上存在一点到直线的距离最大，最大距离为 椭圆的长半轴长，焦点，直线的方程为， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，由消去得，设， 则，，B错误； 对于C，点到直线的距离，，C正确； 对于D，设平行于直线且与椭圆相切的直线方程为，由， 得，由，解得， 直线与直线的距离为，直线与直线的距离为， 因此椭圆上存在一点到直线的距离最大，最大距离为，D正确. 9．（2024·陕西榆林·二模）（多选）如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则；B．若，则的值为1； C．的面积； D．若，则当时，取得最小值2. A：，， ，即，，故A正确； B：在第一象限，且，， ， 即，故B错误；C：设椭圆的焦距为，，，则，，解得，，，即， ，，， ，故C正确； D：设椭圆的焦距为，则，，解得，， 在中，根据余弦定理可得：，整理得， 即，， 当且仅当时取等号，故D错误. 10．（2025·辽宁辽阳·一模）（多选）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为 D．直线l与双曲线交于A，B两点，若AB的中点坐标是，则直线l的方程为 A：双曲线，则，，故渐近线方程为，即， 双曲线，，，故渐近线方程为，即，A正确； B：由题意得，，，由双曲线的定义得，， ， ，，故的周长为，B正确； C：对称性不妨设在右支上，设，则，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以的面积为，故C错误； D：令，则，作差得， 所以，而，， 所以，可得，且点在直线上， 所以直线为，即为，经验证符合题意，D正确， 11．（2024·广东惠州·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线l与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A、B，，四边形的周长p与面积S满足，则该双曲线的离心率为______． 由题知，，四边形的是平行四边形，， 联立解得，，，， ，又， ，即.由余弦定理可得，化简得， . 故答案为： 12．（2024·广东中山·模拟预测）已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（    ） A． B．1 C． D．2 如下图所示：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为；易知，解得； 又，利用勾股定理可得， 即，整理可得， 即，即，所以. 13．（2025·湖北咸宁·模拟预测）已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 设椭圆与双曲线的焦距，， 由题意，，，，，，，，则，，，解得，设，则，，，在上单调递增，． 14．（2025·江西抚州·二模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（    ） A． B． C． D． 设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为， 由椭圆和双曲线的定义可知，设，，， 椭圆和双曲线的离心率分别为，， 因是它们的一个公共点，且，则由余弦定理可得： ……① 在椭圆中，由定义知，①式化简为：……② 在双曲线中，由定义知，①式化简为：……③ 由②③两式消去得：，等式两边同除得， 即，由柯西不等式得，. 15．（2025·河南信阳·二模）已知椭圆和双曲线的对称中心均为坐标原点，左、右焦点均为，，与在第一象限有交点，若，则与的离心率之差的取值范围是______. 不妨设椭圆：，双曲线：，与的离心率分别为，，由椭圆的定义，有：，由，故，由双曲线的定义，有：，故，因此，两边同时除以，有，故，由于，故，所以 ，不妨令，，所以原式等于，在时，单调递减，故. 故答案为：. 16．（2024·陕西汉中·模拟预测）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______． 设的半焦距为c（），则，又，所以，又直线与的一条渐近线平行，所以，所以，所以，所以，所以，又，当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为． 故答案为： 17．（2025·江苏南通·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，点在上且位于第一象限，且，延长交轴于点，记的内切圆为，的内切圆为．若圆与外切，求椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 由于圆与外切，且都与相切，所以切点在两圆连心线上， 设两圆,与分别相切于点，因为， 所以可得四边形与四边形都是正方形，且它们的边长相等， 即四边形与四边形是全等四边形， 则两内切圆,的半径相等，从而可得到， 所以为的中点，即的横坐标为， 设的纵坐标为，则有， 由于，可得， 即， 化简得：，解得或（舍去）， 因为，所以可解得， 18．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 由题意知，，.如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以，所以，从而可知内切圆的圆心C在直线 上.因为的斜率为，所以倾斜角为，因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 19．（2025·湖北黄石·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为___________． 由题意有：，设，与圆分别切于点，所以，因为，又因为，所以，所以，由切线性质可知 ，所以，所以，又点与点的横坐标相同，所以点与点的横坐标之比为. 故答案为：2. 20．（2025·山东济南·一模）已知椭圆，左､右焦点分别为，离心率为，椭圆上两点（在轴上方），满足，设点关于轴的对称点为，记的外接圆半径为，的内切圆半径为，则的值为__________. 不妨设 ，则 ， 根据椭圆的定义可知：， 根据余弦定理得： ， ， 联立两式可得：， 化简得： ， 再由离心率 代入化简得：， 再化简得： ，解得：，即，所以可知点 为椭圆的上、下顶点，且 ，再由余弦定理： ，又由余弦定理得： ，在三角形中， 则有，即三角形外接圆半径满足：则有，，，则，则， 故答案为：. 21．（2025·江苏镇江·二模）双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一点，若的内切圆圆心为，则外接圆的半径为_____________________ 设的内切圆圆心为，半周长为，，， 设内切圆与的切点为，则，， 由切线长性质，， 两式相减得，由双曲线的定义可得，， 由题意，则有，且，则，，则，， 即，则，设外接圆的半径为，由正弦定理，，故外接圆的半径为. 故答案为：. 22．（2024·辽宁阜新·一模）已知双曲线，其左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为___________． 如图： 由题可知， 化简得，即.因为，所以，所以， 所以双曲线，设点，则点P在以O为圆心，c为半径的圆上， 所以点P的坐标满足，解得，即. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为. 当点在第一象限时，联立，得，所以或，所以.所以，所以直线的斜率为.根据双曲线的对称性，可得当点在第四象限时，直线的斜率为.直线的斜率为. 故答案为： 23．（2025·四川遂宁·一模）已知双曲线，若双曲线上不存在以点为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 由题意知点必在双曲线上或两支之间，则，得； 假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由两式作差得:, 即，因为不存在该中点弦，所以，得； 综上，可得.故. 24．（2025·河北邯郸·模拟预测）（多选）已知双曲线的右顶点为，过点A作的一条切线与双曲线交于点B，若AB中点为P，且，过点A作的另一条切线与双曲线交于点D，设直线AB，AD的斜率分别为，，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线方程为 B．双曲线的离心率 C． D．过定点 设，，将，代入双曲线方程得：①，②， ①-②得：，即， 由题可知，，，所以， 又因为是AB中点，所以，，即，所以，则 ，故B正确; 由题得，，所以双曲线方程为，故A正确； 圆M的圆心为，半径为r，设切线方程为， 则，即，则，是上述方程的两根，根据韦达定理可得，故C错误; 由，则，，设AD的中点为Q，由①可得：，即：，，因为，，所以③，④，因为， 将③④分别代入，则：，即⑤， ，即⑥， ⑤-⑥得：，所以直线BD过定点，故D正确. 25．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为______. 设，又因为，所以，则，则，由，两式相减得， 即，因为，所以，所以， ，所以，解得， 所以，所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 26．（2025·广东广州·模拟预测）已知A、B、P为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线PA、PB的斜率记为，则的最小值为_____ ∵满足（O为坐标原点），∴A，B关于原点对称， 设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），则，， 直线PA，PB的斜率记为m，n，满足mn4， 则，即的最小值为． 故答案为：． 27．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知A、B是椭圆与双曲线的公共顶点，P是双曲线上一点，PA，PB交椭圆于M，N．若MN过椭圆的焦点F，且，则双曲线的离心率为______． 由题意可知： 如图，设，可得直线的斜率分别为， 因为点在双曲线上，则，整理得， 27．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知A、B是椭圆与双曲线的公共顶点，P是双曲线上一点，PA，PB交椭圆于M，N．若MN过椭圆的焦点F，且，则双曲线的离心率为______． 所以，设点，可得直线的斜率， 因为点在椭圆上，则，整理得，所以，即，可得，所以直线与关于轴对称，又因为椭圆也关于轴 对称，且过焦点，则轴，令，则，因为，，则， 解得，所以双曲线的离心率. 故答案为：. 28．（2025·贵州贵阳·三模）设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 由题意，可知在中，， 故在中，由余弦定理，即，化简得，因，则得故 渐近线方程为，方程为，与渐近线联立，得，；点到的距离所以平行四边形OAPB的面积. 29．（2025·江苏苏州·三模）双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（   ） A． B．1 C． D．2 30．（2025·浙江嘉兴·二模）已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（   ） A．2 B． C．1 D． 因，则.将代入双曲线方程，则 .则，则由对称性可得，则，.由题可得四边形ABCD为矩形，则四边形ABCD面积为. 从而.则.又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线l方程联立，可得或， 则，.令，可得直线l与x轴交点为 .则.因为双曲线C上任意一点，则.则. 31．（2024·四川资阳·一模）（多选）设双曲线的左、右焦点分别为，点P在第一象限并且在双曲线的渐近线上，且满足，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形为平行四边形，则下列选项中正确的是（   ） A．C的离心率为B．四边形的面积为 C．D．点Q到双曲线的两条渐近线的距离之积为 由四边形为平行四边形，所以的横坐标分别为，且P点在上，所以 ，又因为，所以，即， 由，解得，故；对于A，离心率，A正确对于B，，B正确对于C，，同理，所以，C错误对于D，点，渐近线为，根据点到直线的距离公式，得，D正确． 32．（2025·福建宁德·二模）（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则（    ） A．若到渐近线的距离为1，则 B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 C．若，则点的纵坐标为 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为 选项A：因到渐近线的距离为1，故，故，故A正确； 选项B：如图，的内切圆的圆心为，分别与切于点,则, 由双曲线的定义可得，故， 故，即，又，故，故, 故的内切圆的圆心总在定直线上，故B正确； 选项C：设，则，， 因，故，故， 代入可得得，得，故C正确；选项D：当点坐标为时，切线方程为，双曲线的渐近线方程为，联立得，联立得， 故，得，此时渐近线方程为，故D错误， 33．（2025·河南平顶山·二模）已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别是，离心率为，点是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，若点满足，则的最小值为__________. 设半焦距为，延长交于点，由于是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且是的中点. 根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，所以是的中位线，所以， 又双曲线的离心率为，故，所以，又，所以， 所以双曲线的方程为，根据题意，知所求的是双曲线右支上一点到直线的距离的最小值的平方.设与直线平行双曲线的切线方程为，联立，消去，可得，所以，所以或1， 当时，切点坐标为与已知矛盾，当时，切点坐标为，所以， 所以切点到直线的距离为，所以的最小值为. 故答案为：. 34．（2025·河南南阳·二模）法国著名的数学家蒙日首先发现，椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，则的焦距的取值范围为（   ） A． B． C． D． 由题意知，圆为椭圆的“蒙日圆”， 如图，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角， 则点在圆外，又动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，得，所以， 则，即， 则的焦距的取值范围为． 35．（2025·山西阳泉·三模）法国数学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆，且的离心率为，则的“蒙日圆”的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 对于椭圆，其两条互相垂直的切线的交点为，由题干 信息，可得在椭圆“蒙日圆”上，又“蒙日圆”圆心在，则“蒙日圆”半径为， 即椭圆的“蒙日圆”方程为：. 对于椭圆，若焦点在轴上，由题可得 ，，，则“蒙日圆”方程为：； 对于椭圆，若焦点在轴上，由题可得 ，，，则“蒙日圆”方程为：. 36．（2025·广西来宾·模拟预测）（多选）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，已知椭圆E的蒙日圆半径为，过圆C上的动点M作椭圆E的两条切线，交圆C于P，Q两点，直线交椭圆E于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ）． A．椭圆E的离心率为 B．若椭圆E过点，则椭圆E的方程为 C．若点D在椭圆E上，将直线，的斜率分别记为，，则 D．的面积的最大值为 由题意可知：蒙日圆必过点，蒙日圆方程为， 对于A，蒙日圆为，则，则， 则，所以椭圆E的离心率为，A正确； 对于B，根据题意得，又椭圆E过点，故，所以，，则椭圆E的方程为，B错误；对于C，，则是圆的直径，经过原点，则A，B两点关于原点对称，设，，，则，C正确；对于D，直径，点M到的距离小于等于，则的面积的最大值为，D正确， 37．（2025·山东东营·二模）（多选）在椭圆（双曲线）中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线）的蒙日圆.已知双曲线的蒙日圆方程为为坐标原点，点在双曲线上，与双曲线的蒙日圆交于点，则（    ） A．若点的坐标为，且的蒙日圆的半径为1，则的方程为 B．若点的坐标为，则的蒙日圆面积最大值为 C．的最小值为 D．若为的中点，则的离心率的最大值为 对于A，若点在上，则有，又因为，联立解 得，故A正确；对于B，由 ， 当且仅当等号成立，所以的蒙日圆的面积，故B错误； 对于C，由，当且仅当为双曲线的左，右顶点时取到等号，故C正确；对于D，若为线段的中点，此时，由C选项的结论可得，，解得，又，所以，故，故D正确. 38．（2025·河北张家口·一模）在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，则的周长为______. 由双曲线可知，.则的蒙日圆圆心为，半径为，其蒙日圆方程为，由已知可得，所以为圆的直径， 所以.又，所以. 所以的周长为. 故答案为：. ∵，∴，，∴，由题意知，，解得：， 又∵M在上，∴，解得：，∴，∴. 39．（2025·河南郑州·一模）已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（    ） A． B． C． D． 40．（2024·黑龙江鸡西·三模）（多选）如图所示，抛物线，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设，，，则下列结论正确的有（    ） A．若AB的斜率为1，则＝8 B． C． D．若AB的斜率为1，则 由，焦点，A：的方程为，与抛物线联立，得，消去x，得，所以，则，正确；B：由抛物线焦点弦中通径最短，此时，则，正确；C：设为，与抛物线的方程联立，得 消去y，得，所以，，正确；D：当AB的斜率为1时，结合C分析，则，设过A的切线方程为，代入， 所以，，则， ∴过点A的切线方程为，同理过B的切线方程为， 联立，解得，正确． 41．（2025·云南玉溪·一模）（多选）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 对于A，焦点到抛物线的准线的距离为，故A错误；设，对于B，当直线垂直于轴，可得，所以，得；当直线不垂直于轴，设方程为，由，得，则，，，B正确；对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ，又，所以，C错误； 对于D， 不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点，设，则， 因，则，得，则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为，与联立得， 解得，所以，可得：，所以，D正确. 42．（2025·广西柳州·一模）（多选）设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（   ） A．l始终与圆P相离 B．无最值 C．存在点P，使得 D．时，P到l的距离为3 对于A，因抛物线的准线，则，解得，故． 设，则，那么P到l的距离为，即l与圆相离，故A正确； 对于B，设点，则， 因，则四边形AMPN的面积为， 可得，故B正确； 对于C，因为，AP的斜率为，而OP的斜率为， 两者相等当且仅当，而这与题意矛盾，所以与不可能垂直，故C错误；对于D，运用反向思考，若点P到l的距离为3，则易得，由对称性，不妨取，则，由已知，且，可得O，M，P三点共线，由，可得， 此时PM斜率为，而AM的斜率为， 此时，，即AM与PM不垂直，这与题意矛盾，故D错误． 43．（2025·江苏扬州·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，过分别作抛物线的切线，且相交于点，若交轴于点，则下列说法正确的有（    ） A．点在抛物线的准线上 B． C． D．若，则的值为 由题意知，故l：，与抛物线联立， 可得，则， 设，，则． 对于A，由抛物线可得， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 同理可得直线的方程为， 联立解得．又，故点P在抛物线的准线上，故A正确； 对于B， ，故，故B错误； 对于C，直线l的方程为，则，直线的方程为，可得 所以，故则FQ⊥BQ，故C正确； 对于D，由，直线l的方程为，与抛物线联立可得， 解得，则， 则， 得，故D正确． $