6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）（培优教学课件）数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦分类加法与分步乘法计数原理，通过汽车号码扩容、生活计数问题导入，以座位编号、选专业等实例构建问题链，引导从具体情境抽象出原理，搭建生活到数学的学习支架。 其亮点在于情境化问题驱动与对比式小结，如用高考志愿选专业、书架取书等实例，结合原理异同点表格总结，发展数学抽象与逻辑推理素养。教学方法注重探究与变式训练，帮助学生明确原理区别，教师可依托资料提升教学效率与学生理解深度。

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 （第1课时） 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册·高二 章节导读 两个计数原理 排列与组合 二项式定理 分步乘法计数原理 分类加法计数原理 两个计数原理的综合运用 二项式定理 二项式系数的性质 排列 排列数 组合 组合数 两个计数原理的简单运用 学 习 目 标 1 2 3 通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义，发展数学抽象素养 正确理解“完成一件事”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”，提升数学抽象的核心素养 能通过具体实例，说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理之间的联系与区别，发展逻辑推理等素养. 新知导入 随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号码序号需要扩容，那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？ 这就需要“数出”某种汽车号码牌序号组成的方案下所有可能的序号数，这就是计数。 新知导入 幼儿数玩具 体育老师需计算班际篮球比赛的场次 红、黄、绿三面旗帜组成航海信号 如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法.但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗？ 能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢? 下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法. 新知探究 问题1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码? 第一类方案 用大写的英文字母编号：可编出 26种 不同的号码; 第二类方案 用阿拉伯数字编号：可编出 10种 不同号码; 总共能编出 26+10=36种 不同的号码. 有2类编号方案： 新知探究 探究 你能说一说这个问题的特征吗? 　　首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示．因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．这两类号码数相加就得到号码的总数． （1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； （2）分别计算各类号码的个数； （3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数． 追问 上述计数过程的基本环节有哪些？ 这就是分类加法计数原理. 定义新知 　　完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法． 分类加法计数原理： 注意：两类不同方案中的方法互不相同. 典例解析 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如右表. A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 分析：要完成的事情是“选一个专业” .因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件. 解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所. 在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为 变式1 在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10. 这种算法有什么问题？ 典例解析 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 数学 解：这种算法有问题，因为问题强调的是这名同学的专业选择，故并不需要考虑学校的差异，所以这名同学可能的专业选择种数应当为 “类类独立，不重不漏” 典例解析 变式2 在填写高考志愿表时，这名名高中毕业生了解到，除了A，B两所大学外，C大学也有有一些自己感兴趣的强项专业，如右表. A大学 B大学 C大学 生物学 数学 金融学 化学 会计学 自动化 医学 信息技术学 经济学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ N =5+4+3=12 解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所. 在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，在C大学中有3种专业选择方法. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为 新知探究 问题2 完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 共有 N = m1+m2+m3 种不同方法 新知探究 分类加法计数原理的推广： 　　完成一件事有n类不同方案， 在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2类方案中有 m2 种不同的方法， …… 在第 n类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法． 追问 如果完成一件事情有 n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 新知探究 问题3 用A,B,C,D,E,F这6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1,A2,…,B1,B2…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 追问 前一个问题和这个问题，完成的事情都是“给一个座位编号”，这两个问题有何不同？ 这两个问题中编号的要求不同， 在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码． 但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤． 新知探究 问题2 用A,B,C,D,E,F这6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1,A2,…,B1,B2…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 法一：列举法：将编号一个一个列举出来，注意顺序，注意不要遗漏 法二：树状图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B1 B2 B3 B4 B5B6 B7 B8 B9 与字母A对应的编号有9种 追问 能用树状图列出所有可能的号码吗？ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5A6 A7 A8 A9 9种 ...... 新知探究 探究 你能说一说这个问题的特征吗? 这就是分步乘法计数原理 　　上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成．因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的．　　　　 上述计数过程的基本环节是： （1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步； （2）分别计算各步号码的个数； （3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数. 定义新知 　　一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m×n 种不同的方法. 分步乘法计数原理： 注意：①无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数. ②各个步骤相互依存, 只有各个步骤都完成了, 这件事才算完成, 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,. 典例分析 例2 某班有男生30名，女生24名.从中选出男、女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 分析: 要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步，选女生． 解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法； 第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为 N＝30×24= 720. 变式 该班另有10名任课老师，若要从中增派1名老师作为领队，共有多少种不同的选法？ …… 第3步，从10名任课教师中选出1人，有10种不同选法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为 N＝30×24×10= 7200. 新知探究 问题4 完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，做第 3 步有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 共有 N = m1×m2×m3 种不同方法 新知探究 追问 如果完成一件事情需要 n 个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 分步乘法计数原理的推广： 　　完成一件事需要有n个步骤， 做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2步有 m2 种不同的方法， …… 做第 n步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法． 典例分析 例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1层、 第2层、 第3层各取1本书,有多少种不同取法? 思考 分别是在完成一件什么事？怎么完成？是方法的分类还是过程的分步？ 分析: (1)要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（分类加法） 分析: (2)要完成的一件事是“从书架第1层、第2层、第3层中各取1本书”，可以分三个步骤完成.（分步乘法） 典例分析 例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1层、 第2层、 第3层各取1本书,有多少种不同取法? 解：(1)从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类方案, 从第1层中任取一本计算机书, 有4种方法; 第2类方案, 从第2层中任取一本文艺书, 有3种方法; 第3类方案：从第3层中任取一本体育书, 有2种方法. 根据分类加法计数原理, 不同取法种数是N = 4+3+2= 9 典例分析 例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1层、 第2层、 第3层各取1本书,有多少种不同取法? (2)从书架的第1 , 2 , 3层各取1本书, 可以分成三个步骤完成： 第1步: 从第1层中任取一本计算机书, 有4种方法; 第2步:从第2层中任取一本文艺书, 有3种方法; 第3步:从第3层中任取一本体育书, 有 2 种方法； 根据分步乘法计数原理, 不同取法种数是N=4×3×2=24 典例分析 例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. 变式 从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 需先分类再分步. 第一类：从一、二层各取一本,有 第二类：从一、三层各取一本,有 第三类：从二、三层各取一本,有 根据两个基本原理，不同的取法总数是 N=4×3+4×2+3×2=26 答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法. 4×3=12种方法； 4×2=8种方法； 3×2=6种方法； 巩固练习 课本P5 1. 填空题 (1) 一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________； (2) 从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_________. 9 6 巩固练习 课本P5 3. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书. (1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? (2) 从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法? 4. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名. (1) 从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法? (2) 从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法? 解：(1) 11种；(2) 30种. 解：(1) 12种；(2) 60种. 分类加法计数原理 题型一 题型探究 【例1】(1)若， ，且，，则满足条件的不同的有序自然数 对 有( ) D A. 4个 B. 5个 C. 12个 D. 15个 [解析] 当时，,1,2,3,4,5，共有6种可能； 当时， ,1,2,3,4，共有5种可能； 当时， ,1,2,3，共有4种可能. 利用分类加法计数原理，得共有 （种）可能， 故满足条件的不同的有序自然数对 有15个. 分类加法计数原理 题型一 题型探究 【例1】(2)如图，在由开关组与 组成的并联电路（规定 只能合上其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的不同 方法有( ) C [解析] 要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，在由开关组A与B组成的并联电路中， 只要合上其中的任一开关，接通电源，灯泡就会发光. 因此接通电源使灯泡发光的方法有 （种）. 分类加法计数原理 题型一 题型探究 解题感悟 1.分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”. 2.利用分类加法计数原理计数的解题步骤 分步乘法计数原理 题型二 题型探究 【例2】(1) 现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，将一条长裤与一件上衣 配成一套，则不同的配法有( ) B A. 7种 B. 12种 C. 64种 D. 81种 [解析] 第一步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法； 第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法. 根据分步乘法计数原理，共有 （种）不同的配法. 分步乘法计数原理 题型二 题型探究 【例2】(2)人们习惯把最后一位是6的多位数叫做“吉祥数”，则无重复数字的四位吉 祥数共有_____个. 448 [解析] 第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同的选法； 第二步，确定百位，除去6和千位数字，有8种不同的选法； 第三步，确定十位，除去6和千位、百位上的数字，有7种不同的选法. 故共有 （个）无重复的“吉祥数”. 分步乘法计数原理 题型二 题型探究 提分笔记 利用分步乘法计数原理解题的一般思路 （1）分步：将完成一件事的过程分成若干步. （2）计数：求出每一步中的方法数. （3）结论：将每一步中的方法数相乘得出结果. 课堂达标 1.某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有( ) C A. 3种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 [解析] 分三类，买1本书、买2本书、买3本书，各类的方法依次有3种、3种、1种， 故购买方法有 （种）. 课堂达标 2.如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱从顶点爬到顶点 ，则其中经过3条棱的路线 共有___条. 6 [解析] 经过,有2条路线；经过,有2条路线；经过 ，有2条路线. 根据分类加法计数原理知,从顶点到顶点 经过3条棱的路线共有 (（(条). 课堂达标 3.现有甲、乙、丙、丁四名大学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从， ， 三个基地中任选一个，若甲不去 基地，则不同的选法有____种. 54 [解析] 甲有两个基地可选，乙、丙、丁各有三个基地可选， 根据分步乘法计数原理，不同的选法有 （种）. 课堂达标 4.甲、乙两个篮球运动员在球衣号分别为6，8，9，18的四件球衣中各随机选一件， 则甲选的是偶数号球衣的不同选法有___种. 9 [解析] 甲从4件球衣中选1件偶数号球衣的选法有3种， 乙从甲选完后剩余的3件球衣中选1件的选法有3种， 则甲选的是偶数号球衣的不同选法有 （种）. 课堂小结 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 区别 注意 都是用来计算“完成一件事”的不同方法种数的问题 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 两个原理的异同点： 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事 只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 感谢聆听! $