6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(3) 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 (3) 第六章 计数原理 1 复习回顾 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 公式 用来计算完成一件事的方法种数 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事，只须一种方法就可完成这件事. 只有各个步骤都完成了，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）. 相加 相乘 类类独立 步步相依 不重不漏 缺一不可 分类、 分步、 分类计数原理与分步计数原理的区别与联系: N＝m1＋m2＋…＋mn N＝m1×m2×…×mn 例题分析 例8 通计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试. 程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线), 以便知道需要提供多少个测试数据. 一般地，一个程序模块由许多子模块组成. 如图是一个具有许多执行路径的程序模块, 它有多少条执行路径？ 另外 , 为了减少测试时间 , 程序员需要设法减少测试次数, 你能帮助程序员设计一个测试方法, 以减少测试次数吗? 分析： 整个模块的任意一条执行路径都分两步完成: 第1步是从开始执行到A点 ; 第2步是从A点执行到结束. 第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成; 第2步可由子模块4、子模块5中任何一个完成. 因此, 分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理. 解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为 18+45+28=91 子模块4、子模块5中的子路径条数共 38+43=81 又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为 91×81=7371 例题分析 在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块，这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常，总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172. 再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为：3×2=6. 如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常，这样，测试整个模块的次数就变为：172+6=178. 显然，178与7371的差距是非常大的. 例题分析 例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如下图所示． 0 冀 A JR005 省、自治区、直辖市简称 发牌机关代号 序号 其中，序号的编码规则为： (1) 由 10 个阿拉伯数字和除 O,I 外的 24 个英文字母组成； (2) 最多只能有 2 个英文字母． 如果某地级市发牌机关采用 5 位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数. 按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母. 例题分析 解: 由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数. 根据序号编码规则，5位序号可以分为三类： 没有字母，有1个字母，有2个字母. (1) 第1类：当序号中没有字母时，序号的每一位都是数字， 确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为 10×10×10×10×10=100000 例题分析 (2) 第2类：当序号中有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类. 当第1位是字母时, 分5个步骤确定一个序号中的字母和数字: 第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法; 第2～5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法, 根据分步乘法计数原理,号牌张数为 24×10×10×10×10=240000 同样，其余四个子类号牌也各有240000张. 根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为 240000+240000+240000+240000+240000=1200000 5×24×104＝1200000 例题分析 (3) 第3类：当序号中有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位. 当第1位和第2位是字母时, 分5个步骤确定一个序号中的字母和数字: 第1, 2步，从24个字母中选1个放在第1位、第1位，各有24种选法 ; 第3～5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法 , 根据分步乘法计数原理,号牌张数为 24×24×10×10×10=576000 同样，其余九个子类号牌也各有576000张. 例题分析 综合(1)(2)(3), 根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为 100000+1200000+5760000=7060000. 10×24×24×103＝5760000 于是，这类号牌张数一共为576000×10=5760000. 课堂练习 课本P11 解：展开后共有3×3×5＝45项. 1. 乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5) 展开后共有多少项? 解：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45 (个). 2. 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个? 3. 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式? 解：进出商场的不同方式有6×5＝30(种). 课堂练习 课本P11 4. 任意画一条直线，在直线上任取n个分点. (1) 从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段? (2) 从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量? 解： 课堂练习 课本P7 4. 在1, 2, ... , 500中，被5除余2的数共有多少个? 被5除余2的一位数 被5除余2的二位数 被5除余2的三位数 2个 9×2=18个 4×10×2=80个 N＝2＋18＋80＝100（个） 分析：被5除余2的数个位需为7或2. 组数问题 课堂练习 课本P7 变式 在1，2，3，…，200这些自然数中，各个数位上都不含 数字8的自然数共有多少个？ 不含8的一位数 不含8的二位数 不含8的三位数 8个 8×9=72个 1×9×9+1=82个 N＝8＋72＋82＝162（个） 组数问题 课堂练习 课本P7 5. 由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以 重复)? 解：5×5×5＝ 125 个 . 变式：由数字0, 1, 2, 3, 4可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)? 解：4×5×5＝ 100 个 . 变式：由数字0, 1, 2, 3, 4可以组成多少个三位数(各位上的数字不可重复)? 解：4×4×3＝ 48个 . 百位 十位 个位 组数问题 课堂练习 课本P7 变式：由数字0, 1, 2, 3, 4可以组成多少个能被2整除的三位数(各位上的数字不可重复)? 解：12+9+9＝ 30个 . 百位 十位 个位 组数问题 个位是0 个位是2 个位是4 4×3×1=12个 3×3×1=9个 3×3×1=9个 2. 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？ 分析：完成的是哪一件事？ “组成个位数字大于十位数字的两位数”. 解：个位数字是0，则十位数字可以是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，故有9个； 个位数字是1，则十位数字可以是2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，故有8个； …. 则一共有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个）. 课堂练习 课本P11 组数问题 解决组数问题的方法 (1)对于组数问题，一般按特殊位置（一般是末位和首位）由谁“占领”分类，分类中再按特殊位置（或者特殊元素）优先的方法分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解. (2)解决组数问题，应注意其限制条件.有些条件是隐藏的，要善于挖掘. 组数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则. 方法总结 1. 高三年级的三个班要到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有( ) A.16种 B.18种 C.37种 D.48 补充练习 抽取与分配问题 C N=4×4×4－3×3×3=37（个）. 2. 把3个不同的小球放入5个不同的盒子，若每个盒子至多放一个小球，则共有多少种方法? 补充练习 抽取与分配问题 N=5×4×3=60（个）. 解决抽取（分配）问题的方法 (1)当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法： ①直接法.直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的，就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行. ②间接法.先去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，再减去所有不符合条件的抽取方法数. 方法总结 课堂小结 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点: 一、要完成的“一件事”是什么; 二、需要分类还是分步. 分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数， 最后用分类加法计数原理求和，得到总数. 分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数. 下节课见！ $