6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2) 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 (2) 第六章 计数原理 1 复习回顾 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 公式 用来计算完成一件事的方法种数 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事，只须一种方法就可完成这件事. 只有各个步骤都完成了，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）. 相加 相乘 类类独立 步步相依 不重不漏 缺一不可 分类、 分步、 分类计数原理与分步计数原理的区别与联系: N＝m1＋m2＋…＋mn N＝m1×m2×…×mn 例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅 , 分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？ 例题分析 解: 从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上, 可分两个步骤完成： 第1步, 从3幅画中选出1幅挂在左边墙上, 有3种选法； 第2步, 从剩下的2幅画中选1副挂在右边墙上, 有2种选法 . 根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是： 思考：能否用树状图法列举一下不同的挂法？ N=3×2＝6 例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅 , 分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？ 例题分析 左边 右边 相应的挂法 甲 乙 丙 乙 丙 左甲右乙 左甲右丙 左乙右甲 左乙右丙 左丙右甲 左丙右乙 甲 乙 甲 丙 分类加法和分步乘法计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题. 区别在于: 分类加法计数原理针对的问题中，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事； 分步乘法计数原理针对的问题中，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事. 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1 ~9，最多可以给多少个程序命名？ 例题分析 分析: 要完成的一件事情是 “给一个程序模块命名”, 可以分三个步骤完成: 第1步： 第2步： 第3步： 选首字符 选中间字符 7+6=13 9 选最后一个字符 9 解: 由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为 7＋6＝13. 后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9. 由分步乘法计数原理，不同名称的个数是 13×9×9＝1053， 即最多可以给1053个程序模块命名. 有时既要分类又要分步 (分两类) 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1 ~9，最多可以给多少个程序命名？ 例题分析 解: 首字符用A~G给程序命名的个数为 7×9×9＝567. 首字符用U~Z给程序命名的个数为 6×9×9＝486. ∴总的不同名称的个数是 567＋486＝1053. 思考：你还能给出不同的解法吗? 先分步再分类 例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成. 问： (1) 一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ 例题分析 第1位 第2位 第3位 第8位 2种 2种 2种 2种 …… 解: (1)根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是 2×2×2×2×2×2×2×2=28=256. 例6 因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成. 问： (2)计算机汉字国际码（GB码）包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 例题分析 (2)由(1)知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符. 前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法. 根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是 256×256=65536 这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763. 因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示. 课堂练习 课本P7 1. 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0~9中的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个? 解：104＝10000 (个). 2. 从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法? 解：5×4＝20 (种). 3. 从1, 2, ‧‧‧, 19, 20中任选一个数作被减数，再从1, 2, ‧‧‧, 10中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式? 解：20×10＝200 (个). 课堂练习 课本P7 4. 在1, 2, ... , 500中，被5除余2的数共有多少个? 被5除余2的一位数 被5除余2的二位数 被5除余2的三位数 2个 9×2=18个 4×10×2=80个 N＝2＋18＋80＝100（个） 分析：被5除余2的数个位需为7或2. 课堂练习 课本P7 变式 在1，2，3，…，200这些自然数中，各个数位上都不含 数字8的自然数共有多少个？ 不含8的一位数 不含8的二位数 不含8的三位数 8个 8×9=72个 1×9×9+1=82个 N＝8＋72＋82＝162（个） 课堂练习 课本P7 5. 由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以 重复)? 解：5×5×5＝ 125 个 . 变式：由数字0, 1, 2, 3, 4可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)? 解：4×5×5＝ 100 个 . 变式：由数字0, 1, 2, 3, 4可以组成多少个三位数(各位上的数字不可重复)? 解：4×4×3＝ 48个 . 百位 十位 个位 补充练习 1. 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？ 分析：完成的是哪一件事？ “组成个位数字大于十位数字的两位数”. 解：个位数字是0，则十位数字可以是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，故有9个； 个位数字是1，则十位数字可以是2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，故有8个； …. 则一共有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个）. 补充练习 4 4 3 甲 乙 丙 工程学 2. 某大学有生物学、化学、医学、物理学、工程学五个强项专业,甲、乙、丙三名高中毕业生选择专业，如果每名同学只选一个专业.若他们选择的专业各不相同且甲不选工程学，共有 种选择. 解：根据分步乘法计数原理， 共有4×4×3=48种选择. 补充练习 3. 有3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数 为35还是53？ 解：3个班分别从5个风景点中选择一处游览，分三步完成： 第1步，第1个班选景点，有5种选法； 第2步，第2个班选景点，有5种选法； 第3步，第3个班选景点，有5种选法. 补充练习 4. 已知集合M={1,−2,3}，N={−4,5,6,−7,8}，从两个集合中各取 一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中， 可表示第一二象限内不同的点的个数是 . 分析：点坐标（横坐标非零，纵坐标大于零）. 解：①集合M中元素作横坐标： 横坐标可选1, −2, 3; 纵坐标可选5, 6, 8. 根据分步乘法计数原理，有3×3=9个. ②集合N中元素作横坐标： 横坐标可选−4, 5, 6, −7, 8; 纵坐标可选1, 3. 根据分步乘法计数原理，有5×2=10个. 课堂小结 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点: 一、要完成的“一件事”是什么; 二、需要分类还是分步. 分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数， 最后用分类加法计数原理求和，得到总数. 分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数. 下节课见！ $