6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】教材知识归纳 1．两个计数原理 两个计数原理 目标 策略 过程 方法总数 分类加法计数原理 完成一件事 有两类不同的方案 在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 ______种不同的方法 分步乘法计数原理 需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 ______种不同的方法 【答案】 2.补充解释： 1.分类加法计数原理中各种方案之间相互排斥，各方案都能独立解决该问题；并且任何一类方案中任何一种方法也相互排斥．从计数上看，各方法数的和就是完成这一件事的方法总数． 2.分步乘法计数原理定义中的“完成一件事”指的是将完成这件事划分成几个步骤， 各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事情才算完成．从计数上看，各步的方法数的积就是完成这一件事的方法总数． 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点爬到相对的顶点，则其中经过条棱的路线共有（    ）条.    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据分类加法计数原理直接计算即可. 【详解】从顶点出发有条路线，分别经过，，. 经过有条路线，经过有条路线，经过有条路线. 根据分类加法计数原理可知，从顶点到顶点，经过条棱的路线共有条， 故选：B. 2．我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“lucky”数，例如105和213，则所有的“lucky”数有（　　） A．48个 B．30个 C．21个 D．18个 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、数字排列问题 【分析】根据题意，按首位数字为，分类讨论，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】当首位数字为1时，后两位相加为5，“lucky”数分别是105，150，114，141，123，132共6个； 当首位数字为2时，后两位相加为4，“lucky”数分别是204，240，213，231，222，共5个； 当首位数字为3时，后两位相加为3，“lucky”数分别是303，330，312，321，共4个； 当首位数字为4时，后两位相加为2，“lucky”数分别是402，420，411，共3个； 当首位数字为5时，后两位相加为1，“lucky”数分别是501，510，共2个； 当首位数字为6时，后两位相加为0，“lucky”数分别是600，共1个； 由分类计数原理得，共有个. 故选：C. 3．已知，，则可表示不同的点的个数是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可． 【详解】这件事可分为两步完成：第一步，在集合中任取一个值有3种方法； 第二步，在集合中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有（个）不同的点． 故选：D 4．用0，1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（   ） A．243 B．252 C．261 D．648 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】0，1，2，…，9共能组成个三位数，其中无重复数字的三位数有个，所以有重复数字的三位数有个． 故选：B 5．将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】如图，若先染有5种色可选，有4种色可选，有3种色可选，有2种色可选， 则不同染色方法共有（种）． 故选：D. 6．现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ） A． B． C．20 D．9 【答案】A 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、判断事件计数的原理 【分析】将此事分为5步，每一步均为1名同学选择讲座，后由分步计数原理可得答案. 【详解】将完成此事分为5步.第1步为第一名同学完成选择，有4种方法；第2步为第二名同学完成选择，有4种方法；；第5步为第五名同学完成选择，有4种方法. 则由分步计数原理可知，不同选法的种数位为：. 故选：A 7．已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（    ） A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理可得. 【详解】由图知，从地到地的道路有2条，从地到地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从地经过地到地不同的路线共有条； 从地不经过地到地的路线有1条. 根据分类加法计数原理可得，从地到地不同的路线共条. 故选：C. 8．用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）    A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】C 【知识点】涂色问题、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分类相加计数原理，先分四种颜色都用和只有三种颜色两种情况，再根据分步乘法计数原理，将涂色过程分成若干步，每一步确定一个区域的颜色，再根据相邻区域不同色的条件，确定每一步的涂色方案数，最后将各步方法数相乘得到总的涂色方案数. 【详解】设四种颜色分别为1、2、3、4， （1）四种颜色都用： 先涂区域，有4种填涂方案，不妨设涂颜色1， 再涂区域，有3种填涂方案，不妨设涂颜色2， 再涂区域，有2种填涂方案，不妨设涂颜色3， 若区域填涂颜色2，则区域填涂颜色1、4或4、3， 若区域填涂颜色4，则区域填涂颜色1、3或4、3， 共4种不同的填涂方法.由分步乘法计数原理可得，共有种不同的涂法. （2）四种颜色只用其中的三种颜色： 即当同色，同色，同色，共有种不同的涂法. 综上所述，根据分类相加计数原理可得，共有种不同涂法. 故选：C 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 D．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 【答案】AC 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分类加法计数原理、分步乘法计数原理的知识判断出正确答案. 【详解】对于A，从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题，故A正确. 对于B，分步乘法计数原理是指完成所有的步骤才是完成整件事情，故B错误. 对于C，分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题，故C正确. 对于D，求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分步计数问题，故D错误. 故选：AC. 10．现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 【答案】ABD 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步与分类计数原理计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有74种不同的选法，所以选项C错误. 【详解】A. 从中任选1个球，有种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出1个球，有种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出2个球，有种不同的选法，所以该选项正确. 故选：ABD 11．用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 【答案】ACD 【知识点】数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由特殊位置优先的原则，结合两个计数原理逐个判断即可. 【详解】对于AB，四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字的四位数个，A正确， B错误； 对于C，若个位数为0，则有个，若个位数不为0，则有个， 所以可以组成无重复数字的四位偶数个，C正确； 对于D，四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字且大于2000的四位数个，D正确． 故选：ACD 三、填空题 12．5本不同的书分给甲、乙、丙三人（允许有人分不到书），则甲分得1本书的概率为______． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用古典概型概率公式，结合特殊元素优先法列式计算即得. 【详解】5本书都可以分给甲、乙、丙三个人的任意一个，所以每本书有3种选择，5本书的总方法数为：. 先从5本书中选1本给甲，有5种，剩下的4本书，每本都可以分给乙或丙，每本有2种选择，方法数为， 则甲分得1本书的方法数为. 故甲分得1本书的概率为． 故答案为：. 13．如图，一条电路从处到处接通时，可构成线路的条数为________． 【答案】6 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步乘法计数原理可求解. 【详解】从处到处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路； 第二步，后一个并联电路接通有3条线路． 由分步乘法计数原理知电路从处到处接通时，可构成线路的条数为（条）． 故答案为：6. 14．10080有________个不同的正因数. 【答案】72 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意，对10080进行因数分解，结合分步乘法计数原理，即可得到结果. 【详解】， 10080的每一个正因数都可以表示为，其中，且为整数， 对于有6种可能的选法，即， 对于有3种可能的选法，即， 对于有2种可能的选法，即， 对于有2种可能的选法，即， 由分步乘法计数原理可得，10080的正因数有个， 故答案为：72. 四、解答题 15．求三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数． 【答案】36 【知识点】分类加法计数原理 【分析】设较小的两边长为，且，根据构成三角形的条件，分类讨论，即可求解． 【详解】设较小的两边长为，且， 则． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； …； 当时，． 所以不同三角形的个数为． 16．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？ 【答案】(1)122 (2)63000 (3)4860 【知识点】实际问题中的计数问题、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）利用分类加法计数原理将三个年级人数相加即可； （2）利用分步乘法计数原理将三个年级人数相乘即可； （3）结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理分为三类，每一类分成两步相乘再求和即可. 【详解】（1）从高一选1人作为总负责人有50种选法； 从高二选1人作为总负责人有42种选法； 从高三选1人作为总负责人有30种选法． 由分类加法计数原理，可知共有50（种）选法． （2）从高一选1名负责人有50种选法； 从高二选1名负责人有42种选法； 从高三选1名负责人有30种选法． 由分步乘法计数原理，可知共有（种）选法． （3）①从高一和高二中各选1人作为中心发言人，有（种）选法； ②从高二和高三中各选1人作为中心发言人，有（种）选法； ③从高一和高三中各选1人作为中心发言人，有（种）选法． 故共有（种）选法． 17．如图有四个编号为的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？ 【答案】260 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、分类加法计数原理 【分析】分类涂色，，同色和不同色，每类再分步，计算可得． 【详解】分为两类：第一类：若，同色，则有5种涂法，有4种涂法，有1种涂法（与相同），有4种涂法． 故． 第二类：若不同色，则有5种涂法，有4种涂法，有3种涂法，有3种涂法． 故（种）． 综上可知不同的涂法共有（种）． 18．甲、乙、丙、丁四位医生报名参加，，，四个社区医院的义诊活动，每个人都要报名且只能去一个社区医院. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)若甲、乙报同一个社区医院，丙不报社区医院，共有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)256 (2)48 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）根据分步乘法计数原理直接计算可得结果； （2）将甲、乙看作一个整体，再结合丙的特殊要求进行分步乘法计算即可. 【详解】（1）由题意知，甲可报名参加，，，四个社区医院任意一个，共有4种选择，同理乙、丙、丁同样有4种选择， 共有报名方法为. （2）将甲、乙看作一个整体，共有4种报名方法，丙不报社区医院，即有3种报名方法，丁有4种报名方法， 则共有报名方法种. 19．在这个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 【答案】(1) (2) 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题 【分析】（1）分个位数为和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解； （2）分千位数为或和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解. 【详解】（1）当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； 当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数， 综上所述，能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； （2）当千位数为或时， 则能组成个无重复数字且不大于3450的四位数； 当千位数为，百位数为，十位数为时，则符合题意的数只有一个； 当千位数为，百位数为，十位数不为时， 则十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种； 当千位数为，百位数不为， 则百位数有种选法，十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种， 综上所述，能组成个无重复数字且不大于3450的四位数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】教材知识归纳 1．两个计数原理 两个计数原理 目标 策略 过程 方法总数 分类加法计数原理 完成一件事 有两类不同的方案 在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 ______种不同的方法 分步乘法计数原理 需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 ______种不同的方法 2.补充解释： 1.分类加法计数原理中各种方案之间相互排斥，各方案都能独立解决该问题；并且任何一类方案中任何一种方法也相互排斥．从计数上看，各方法数的和就是完成这一件事的方法总数． 2.分步乘法计数原理定义中的“完成一件事”指的是将完成这件事划分成几个步骤， 各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事情才算完成．从计数上看，各步的方法数的积就是完成这一件事的方法总数． 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点爬到相对的顶点，则其中经过条棱的路线共有（    ）条.    A． B． C． D． 2．我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“lucky”数，例如105和213，则所有的“lucky”数有（　　） A．48个 B．30个 C．21个 D．18个 3．已知，，则可表示不同的点的个数是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 4．用0，1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（   ） A．243 B．252 C．261 D．648 5．将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 6．现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ） A． B． C．20 D．9 7．已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（    ） A．5 B． C．7 D．8 8．用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）    A．72 B．96 C．120 D．144 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 D．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 10．现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 11．用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 三、填空题 12．5本不同的书分给甲、乙、丙三人（允许有人分不到书），则甲分得1本书的概率为______． 13．如图，一条电路从处到处接通时，可构成线路的条数为________． 14．10080有________个不同的正因数. 四、解答题 15．求三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数． 16．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？ 17．如图有四个编号为的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？ 18．甲、乙、丙、丁四位医生报名参加，，，四个社区医院的义诊活动，每个人都要报名且只能去一个社区医院. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)若甲、乙报同一个社区医院，丙不报社区医院，共有多少种不同的报名方法？ 19．在这个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $