第5卷 函数的性质（教师讲解卷）广东省（“3+证书”考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》专辑，立足于广东省“3+证书”考试数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》 第5卷 函数的性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 3.函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【真题精讲】 1．（2026·广东·真题T04）下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 2.（2026·广东·真题T15）已知偶函数在上是增函数，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3.（2025·广东·真题T15）已知表示与的最大值，，若，，当时，求函数的最小值（   ） A．4 B．1 C．0 D．2 【举一反三】 1．下列函数为偶函数的是（     ） A． B． C． D． 2．函数的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称 3．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4．若在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（   　） A． B． C． D． 5．已知函数为奇函数，.若，则____________ 【拓展提升】 一、选择题 1．下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知奇函数在上是减函数，且，则在上的最小值为（ ） A -3 B. -2 C. 0 D. 3 3．已知定义在R上的函数是奇函数，满足：，则=（    ） A． B． C． D．5 4．已知定义在上的函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是号（   ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 二、填空题 6．已知定义在区间上的函数为偶函数，则 . 7．函数在上的最大值为 ． 8．函数的单调递减区间是 ． 9．已知函数在定义域R上是减函数，且，那么a的取值范围是 ． 10．若是定义在R上的减函数，则的取值范围是 ． 二、解答题 11．已知函数的图像经过点. （1）求的值； （2）设函数，求不等式的解集. 12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是函数图像上一点，点、分别在轴和轴上，四边形为矩形． (1)求矩形的面积； (2)若矩形的周长为，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》专辑，立足于广东省“3+证书”考试数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》 第5卷 函数的性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 3.函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【真题精讲】 1．（2026·广东·真题T04）下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以不是奇函数，故A错误； 函数定义域为，关于原点对称， 因为，满足奇函数的定义，所以是奇函数，故B正确； 函数的定义域为，关于原点对称, 因为，所以不是奇函数，故C错误； 函数的定义域为，关于原点不对称，所以不是奇函数，故D错误， 故选：B. 2.（2026·广东·真题T15）已知偶函数在上是增函数，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】因为偶函数在上是增函数，且， 所以函数在上是减函数，且， 又， 所以，解得. 即实数的取值范围为. 故选：A. 3.（2025·广东·真题T15）已知表示与的最大值，，若，，当时，求函数的最小值（   ） A．4 B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，结合二次不等式的解法和分段函数的表示方法，先表示出函数，结合函数在每段区间上得值域，比较即可求得函数的最小值. 【详解】由题意，令，即， 所以，分解因式得，解得或， 令，即， 所以，分解因式得，解得， 所以当时，， 所以当或时，函数的值域为； 当时，函数的值域为； 综上所述，当时，函数取得最小值1. 故选：B. 【举一反三】 1．下列函数为偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义及正弦函数、指数函数、对数函数、二次函数的性质判断即可. 【详解】对于选项A：，定义域为，定义域关于原点对称，，所以该函数不是偶函数，故A错误； 对于选项B：，定义域为，定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，所以该函数不是偶函数，故B错误； 对于选项C：，定义域为，定义域关于原点对称，，所以该函数不是偶函数，故C错误； 对于选项D：，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以该函数为偶函数，故D正确. 故选：D. 2．函数的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以是奇函数， 奇函数图像关于原点对称. 故选：A. 3．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题知函数是定义域为的奇函数，由奇函数的性质可得结果. 【详解】由题知函数是定义域为的奇函数，由奇函数的性质知， 且当时，，故当时，，即， 故，即. 故选：A. 4．若在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（   　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为是二次函数， 所以函数的图像开口向上，对称轴为直线， 又函数在区间上是增函数， 所以，解得. 即实数的取值范围是. 故选：A. 5．已知函数为奇函数，.若，则____________ 【答案】 【分析】由，得，由为奇函数得，可求得，再利用得到答案. 【详解】因为，， 所以， ， 因为为奇函数， 所以，由，得， 因为，所以. 故答案为：6. 【拓展提升】 一、选择题 1．下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项判断即可. 【详解】A选项定义域为，，为偶函数； B选项定义域为，，为奇函数； C选项定义域为，，为偶函数； D选项定义域为，且，为非奇非偶函数. 故选：B. 2．已知奇函数在上是减函数，且，则在上的最小值为（ ） A -3 B. -2 C. 0 D. 3 【答案】B 【分析】由奇函数在上是减函数可知在上也是减函数，再利用单调性求最值即可. 【详解】因为是奇函数且在上是减函数， 所以在上也是减函数， 所以在上的最小值为， 又因为是奇函数，， 所以. 故选：B. 3．已知定义在R上的函数是奇函数，满足：，则=（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质，得到，求得，再根据，求得，即可求解. 【详解】因为在R上是奇函数， 故，得到. 且，，. 得到，而， 则，所以. 即. 故选：D. 4．已知定义在上的函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据判断出函数为偶函数，再结合单调性由不等式得到，解绝对值不等式求自变量的取值范围即可. 【详解】由可知，函数为偶函数， 且函数在上单调递增，则在上单调递减， 则由可得：， 即，即， 故选：A． 5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是号（   ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义，结合函数解析式代入求值可判断AB；结合偶函数及二次函数的性质可判断CD. 【详解】∵函数是定义在上的偶函数，∴， ∵当时，， ∴，， ，， ∴，，故A正确，B错误； 当时，，其对称轴，开口向下， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∵函数是定义在上的偶函数，其图象关于轴对称， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在上不是单调函数，在上单调递增，故CD错误， 故选：A. 二、填空题 6．已知定义在区间上的函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称的性质，列式即可得解. 【详解】因为定义在区间上的函数为偶函数， 所以，解得. 故答案为：. 7．函数在上的最大值为 ． 【答案】10 【分析】利用二次函数的性质得出对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可. 【详解】函数的图象是开口向上，对称轴为直线的抛物线， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 函数在上的最大值为10. 故答案为：10. 8．函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性直接求二次函数的单调递减区间. 【详解】由题意得,开口向上, 对称轴, 所以函数在上单调递减. 故答案为:. 9．已知函数在定义域R上是减函数，且，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数的单调性结合一元二次不等式的求法即可得解. 【详解】因为函数在定义域R上是减函数，且， 所以，即，解得， 故a的取值范围是. 故答案为：. 10．若是定义在R上的减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性列出式子，解不等式组即可求解． 【详解】由题意知，分段函数在各分段上递减，且在处左端点不小于右端点， 可得， 解得，所以． 故答案为：. 二、解答题 11．已知函数的图像经过点. （1）求的值； （2）设函数，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数中即可求解； （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ∵函数的图像经过点， ∴，解得； 【小问2详解】 由（1）知，，且， 若，则，即， ∵函数在R上为单调递增函数， ∴，解得， ∴不等式的解集为. 12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是函数图像上一点，点、分别在轴和轴上，四边形为矩形． (1)求矩形的面积； (2)若矩形的周长为，求点的坐标． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）设，再由矩形的性质可得，再由矩形的面积公式列式即可求值. （2）联立方程组，求解即可. 【详解】（1）如图，设，因为四边形为矩形， 所以， 因为，是函数图像上一点， 所以，即， 所以矩形面积为， （2）由（1）可知， 由矩形的周长为，得， 联立方程组，整理得， 解得或， 所以点的坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $