第2卷 充要条件（教师讲解卷）广东省（“3+证书”考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》专辑，立足于广东省“3+证书”考试数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》 第2卷 充要条件 （教师讲解卷） 【概念回顾】 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 【真题精讲】 1．（2026·广东·真题T12）已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2.（2025·广东·真题T08）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2024·广东·真题T09）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【举一反三】 1．“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．已知且，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【拓展提升】 一、选择题 1．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．对于结论“”成立的充分条件，以下说法错误的是（   ） A． B．集合N中的元素都是集合M的元素 C．集合M中的元素是集合N的元素 D． 3．在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．设是三个集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 二、填空题 6．“向量”是的 条件. 7．已知集合，且，若是的充分条件，则实数的取值范围 . 8．“或”是“”的 条件. 9．已知集合，，则“”是“”的 条件 10．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的 条件 二、解答题 11．已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围； 12．已知，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》专辑，立足于广东省“3+证书”考试数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 广东省“3+证书”考试《数学真题同源卷》 第2卷 充要条件 （教师讲解卷） 【概念回顾】 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 【真题精讲】 1．（2026·广东·真题T12）已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法和充分必要条件即可得解. 【详解】或， 所以“”推不出“”；“”可以推出“”； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 2.（2025·广东·真题T08）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】充分性：若，则成立，所以“”是“”的充分条件； 必要性：若，则或，即当时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3.（2024·广东·真题T09）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可. 【详解】因为时，，充分性成立， 而时，解得或， 必要性不成立， 故是的充分不必要条件. 故选:A． 【举一反三】 1．“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】因为， 则或， 即或. 而， 则. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 2．“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解得或，再根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】“”推出“”，故充分条件成立，“”时可能是，故必要条件不成立. 故选：C. 3．已知且，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断. 【详解】“”时，若，则，不能得到“”， “”时，若，则，不能得到“”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．已知，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合不等式的性质，及充分性和必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若，又，那么一定成立，即充分性成立； 若，又恒成立，所以，即必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：A. 5．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由分式不等式和充分必要条件的定义即可判断. 【详解】， ∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【拓展提升】 一、选择题 1．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据绝对值不等式以及充分不必要条件判断即可. 【详解】因为，所以有或， 那么有能够推出， 而不能推出， 故选：A. 2．对于结论“”成立的充分条件，以下说法错误的是（   ） A． B．集合N中的元素都是集合M的元素 C．集合M中的元素是集合N的元素 D． 【答案】B 【分析】根据子集及充分条件的概念判断即可. 【详解】对于A，若，则，故是的充分条件； 对于B，若集合N中的元素都是集合M的元素，则， 如，此时不能推出， 故“集合N中的元素都是集合M的元素”不是的充分条件； 对于C，若集合M中的元素是集合N的元素，则， 故“集合M中的元素是集合N的元素”是的充分条件； 对于D，若，则， 故是的充分条件. 故选：B. 3．在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】通过空间中直线与直线的位置关系分析得出结论即可. 【详解】因为空间中两直线垂直，分为相交垂直，异面垂直两种， 所以两直线互相垂直不能推出两直线相交. 反过来，两直线相交所成的角的范围是，不一定是垂直， 即两直线相交不能推出两直线垂直. 所以“两直线互相垂直”是“两直线相交”的既非充分又非必要条件. 故选：. 4．设是三个集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由交集的性质结合充分条件与必要条件的概念进行分析即可. 【详解】若， 则，但， 所以由，不一定有，所以充分性不成立， 反之，由，一定可得，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 5．在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】由充要条件的定义及正弦定理即可得解. 【详解】在中，若成立，根据正弦定理，可得. 在三角形中，大边对大角，所以等价于， 所以. 因为等价于，且，， 所以. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 二、填空题 6．“向量”是的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】利用反向量的相关知识判断. 【详解】两向量相加为零向量，说明两向量是相反向量，模的大小相等方向相反， 所以能推出，但推不出， 故答案为：充分不必要 7．已知集合，且，若是的充分条件，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】先求解不等式再判断即可. 【详解】由题知得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 8．“或”是“”的 条件. 【答案】充要 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】命题“若或，则”是真命题， 命题“若，则或”是真命题， 所以“或”是“”的充要条件. 故答案为：充要 9．已知集合，，则“”是“”的 条件 【答案】充分不必要 【分析】解一元二次不等式可得，再根据充分条件与必要条件的定义即可求解. 【详解】因为，，所以. 故“”是“”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要条件. 10．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的 条件 【答案】充要 【分析】利用反向量的相关知识判断. 【详解】当，则且或且， 此时方程表示的曲线一定为双曲线，则充分性成立； 若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立， 故答案为：充要 二、解答题 11．已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围； 【答案】 【分析】利用充要条件的知识列出不等式求解即可. 【详解】解：令，， ∵是的充分不必要条件， ∴，∴， 解得． 12．已知，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】利用充要条件的知识列出不等式求解即可. 【详解】解：∵由，得，由是的充分不必要条件知：有解，故， 即原不等式可化为：，解得：，设，， 是的充分不必要条件，是B的真子集,则且等号不同时成立，解得：，故的取值范围是，故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $