2.4.2 第2课时 平面与平面垂直课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

2.4.2 第2课时 平面与平面垂直 定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 图形语言表示 符号语言表示 a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直. 线面垂直 线线垂直 面面垂直 想一想：你还记得平面与平面垂直的判定定理吗？ 说一说：设与分别是平面α，β的法向量，若平面, 与有什么关系，尝试用坐标表示出来. 显然，要证明两个平面垂直，可以证明两个平面的法向量的数量积为 0. 例1 如图，已知平面α，β，直线AB⊥平面α，且AB⊂平面β． 求证：平面α⊥平面β． 分析：只需证明平面α，β的法向量相互垂直． 一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直. 运用向量方法对面面垂直的判定定理进行了证明. 例2 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD，∠BCD=90°，∠ADB=30°，E，F分别是AC，AD的中点. 求证：平面BEF⊥平面 ABC. 要证明两个平面的法向量垂直，首先要确定这两个平面的法向量. 你有什么思路？与同学交流试试. ， ②假设向量n1=(x1，y1，z1)，n2=(x2，y2，z2) 分别是平面ABC、BEF的法向量； ③在平面ABC、BEF分别找两条相交直线与n1，n2垂直，然后根据坐标运算确定相应坐标. ①如图，建立空间直角坐标系 5 证明：如图，以点B为原点，分别以的方向为y轴、z轴的正方向，并取相同的单位长度，建立空间直角坐标系. 设A(0，0，a)，则 B(0，0，0)，C，D(0，a，0)， E，F. 于是=(0，0，-a)，===. 6 设n1=(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量， 则 取x1=1，得y1=-1，z1=0， 则n1=(1，-1，0)是平面ABC的一个法向量. 设n2=(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量， 则 7 取x2=1，得y2=1，z2=-， 则n2=(1，1，-)是平面BEF的一个法向量. 因为n1·n2=(1，-1，0)·(1，1，-)=0， 所以平面BEF⊥平面ABC. 8 求平面的法向量的具体步骤： 建系→求方向向量→设法向量→列方程组→定值求解 1.建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标 2.求出平面内两条相交直线的方向向量坐标 3.设平面法向量坐标 4.利用向量数量积为0(垂直)列出两个方程 5.给定平面法向量坐标其中的一个值,求另外两个值 归纳总结 1.若平面α，β的法向量分别为a=(2，-1，0)，b=(-1，-2，0)，则α与β的位置关系是（ ） A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 解：a·b=-2+2+0=0，∴a⊥b，∴α⊥β. 础巩 B 2.已知平面α的法向量为a=(1，2，-2)，平面β的法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k等于（ ） A.4 B.-4 C.5 D.-5 解：∵α⊥β，∴a⊥b， ∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5. D 3.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点． 求证：平面AED⊥平面A1FD1． 证明： 3. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点． 求证：平面AED⊥平面A1FD1． 证明： 3.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点． 求证：平面AED⊥平面A1FD1． (1)向量法：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔____________⇔ . (2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. n1⊥n2 n1·n2=0 注意：利用法向量证明面面垂直时，往往结合几何图形去寻找特殊情况下的法向量，先建立坐标系、将法向量的坐标直接写出.若不便写出时，先设出坐标，根据垂直关系，数量积为0，列方程组求解. 平面与平面垂直的判定方法 $