7.4.1二项分布 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.1 二项分布 7.4 二项分布与超几何分布 1. 离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， 3. 方差的性质： 则称 为随机变量X的方差，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 2. 方差的计算公式： 复习回顾 求离散型随机变量方差的步骤 (1)明取值：理解随机变量 X 的意义，写出 X 的所有取值； (2)求概率：求出 X 取每个值的概率； (3)画表格：写出 X 的分布列； (4)求均值：计算E( X )； (5)求方差：计算D( X )． 复习回顾 思考：下列一次随机试验的共同点是什么？ (1)掷一枚硬币; (2)检验一件产品; (3)飞碟射击; (4)医学检验. 正面朝上；反面朝上 合格；不合格 中靶；脱靶 阴性；阳性 只包含两个结果 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 显然，n重伯努利试验具有如下共同特征: (1) 同一个伯努利试验重复做n次； (2) 各次试验的结果相互独立. 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 新知讲授 思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验? 如果是，那么其中的伯努利试验是什么? 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大? 重复试验的次数是多少? (1) 抛掷一枚质地均匀的硬币10次. (2) 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. (3) 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. 随机试验 是否为n重伯努利试验 P(A) 重复试验的次数 (1) (2) (3) 是 是 是 0.5 0.8 0.05 10 3 20 课堂探究 追问: (1)伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？ (2)在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？ (1) 伯努利试验做一次试验, n重伯努利试验做n次试验. (2)在伯努利试验中, 我们关注某个事件A是否发生; 在n重伯努利试验中, 我们关注事件A发生的次数X . 课堂探究 试验结果 X的值 用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，用下图的树状图表示试验的可能结果： 探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的? 课堂探究 探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的? 解： 用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，则X的概率分布列为 由于3次射击恰好1次中靶 ( 2次中靶 ) 的所有可能结果的概率相等，故为了简化表示，中靶次数X的分布列可表示为 课堂探究 连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有 中靶次数X的分布列为 思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些? 写出中靶次数X的分布列. 我们把上面这种分布称为二项分布. 课堂探究 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p). 课堂探究 思考 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗? 服从二项分布的事件A恰好发生k次的概率 正好是二项式定理 展开式的第k＋1项，故有 课堂探究 X不服从二项分布 X服从二项分布，X～B(3 , 0.4 ) X服从二项分布，X～B(5 , 0.9) X不服从二项分布 下列随机变量服从二项分布吗？如果服从二项分 布，其参数分别是什么？ （1）10件产品中有4件次品，现在从这10件产品中不放回地依次抽取3件，X表示取得的次品数。 （2）10件产品中有4件次品，现在从这10件产品中放回地依次抽取3件，X表示这三次中取得的次品数。 （3）某射手击中目标的概率为0.9 , 连续5次射击中击 中目标的次数为X。 （4）某射手击中目标的概率为0.9 , 从开始射击到击中 目标所需的射击次数X。 牛刀小试 随机变量X服从二项分布的三个前提条件： (1) 每次试验都是在同一条件下进行的； (2) 每一次试验都彼此相互独立； (3) 每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生. 只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算. 总结提升 例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求: (1) 恰好出现5次正面朝上的概率； (2) 正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率. 解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，则 X～B(10，0.5). (2) 正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为 (1)恰好出现5次正面朝上的概率为： 典例精讲 一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下: (1) 明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生 的概率p； (2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； (3) 设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p). 总结提升 典例精讲 例2 如图是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放人，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落人底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0，1，2，‧‧‧，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. 典例精讲 典例精讲 例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 解1： 若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0, 3:1或3:2. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为 因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利. 实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利. 典例精讲 若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为 解2： 同理，若采用5局3胜制，则X~B(5, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为 思考 为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率? 采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影响甲获胜；同样，采用5局3胜制赛满5局，若前3局获胜，那后2局的胜负并不影响甲获胜，若前4局胜3局，那第5局的胜负也不影响甲获胜. 所以赛满3局或5局，均不会不影响甲最终获胜的概率. 例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 典例精讲 对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值和方差等数字特征，因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的. 探究 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，那么X的均值和方差各是什么? 我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上. 根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X, 我们猜想E(X)＝np. 我们不妨从简单开始, 先考察n较小的情况. (1)当n＝1时，X分布列为 P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)当n＝2时，X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2. E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p. D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p). 由此可猜想， 若X~B(n, p)，则有 课堂探究 若X~B(n, p)，则有 下面对均值进行证明. 证明： 课堂探究 解： 课本76页 1. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数. (1) 求X的分布列； (2) E(X)＝_______，D(X)＝_________. 巩固练习 解： 课本77页 2. 鸡接种一种疫苗后, 有80%不会感染某种病毒. 如果5只鸡接种了疫苗, 求: (1) 没有鸡感染病毒的概率； (2) 恰好有1只鸡感染病毒的概率. 巩固练习 解： 课本77页 3. 判断下列表述正确与否，并说明理由: (1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12, 0.25)； (2) 100 件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6, 0.1). 每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(3, 0.6). (1) 正确. 理由如下： 每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件. (2) 错误. 理由如下： 巩固练习 1、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 ，方差为________. 解： 当堂检测 解： 2、某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求: (1) 其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2) 其中恰有3次击中目标的概率； (3) 其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率. 当堂检测 1. 二项分布： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p). 若X~B(n, p)，则有 2. 二项分布的均值与方差： 课堂小结 $