7.3.1离散型随机变量的均值 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.1 离散型随机变量 的均值 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ‧‧‧ ，xn，我们称X取每一个值xi的概率 为X的概率分布列(list of probability distribution)，简称分布列. (1) 离散型随机变量的分布列 根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质: (2) 离散型随机变量的分布列的性质 复习旧知 根据X的定义，{X＝1}＝“抽到次品”，{X＝0}＝“抽到正品”，X的分布列为 解： 例5. 一批产品中次品率为 5%，随机抽取1件，定义 求X的分布列. 用表格表示如下： X 0 1 P 0.95 0.05 两点分布 题型三　两点分布 典例解析 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， 表示“失败”,定义 如果P(A)＝p，则P( )＝1－p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0 — 1分布. X 2 3 P 0.3 0.7 思考：随机变量X的分布列由下表给出, 它服从两点分布吗? 注: 只取两个不同值的随机变量并不一定服从两点分布 不服从两点分布, 因为X的取值不是0或1 1.一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球. (1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球， 求X的分布列； 　(1)由题意知， 所以X的分布列为 跟踪训练 (2)从中任意摸出2个球， 求η的分布列. 所以η的分布列为 1.设随机变量X的分布列如下： C 则P(X＝10)等于(　　) 巩固练习 7.3.1 离散型随机变量 的均值 新课程标准解读 核心素养 1.理解离散型随机变量的均值的意义、性质并能简单应用. 2.会用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题. 1.数学抽象、数学运算：离散型随机变量的均值的意义和计算. 2.数学建模：离散型随机变量的均值的实际应用. 问题1 甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示. 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢? 类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性. 假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 甲n次射箭射中的平均环数为 探究新知 探究点1、离散型随机变量的均值 当n足够大时，频率稳定于概率，所以 稳定于 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少? 由题意得，X的分布列为 解： 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 探究点2.两点分布的均值 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的均值. 由题意得，X的分布列为 解： 即点数X的均值是3.5. (1)明取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)画表格：写出X的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E(X) 2.求离散型随机变量的均值的步骤： 反思感悟 19 1.意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 2.离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平． 3.由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位． 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化． 如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化? 即E(X＋b)和E(aX)(其中a, b为常数)分别与E(X)有怎样的关系? 设X的分布列为 根据随机变量均值的定义， 类似地，可以证明 一般地，下面的结论成立： 探究点3、均值的性质 1.随机变量ξ的分布列是 ξ 1 3 5 P 0.5 0.3 0.2 (1)则Eξ= . 2.随机变量ξ的分布列是 2.4 (2)若η=2ξ+1，则Eη= . 5.8 ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2 Eξ=7.5,则a= b= . 0.4 0.1 小试牛刀 例3 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值． 题型一　求离散型随机变量的均值 典例解析 解：X的取值分别为1,2,3,4. X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6. X＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28. X＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了， 故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096. X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. 所以李明一年内参加考试次数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. 依题意，ξ的可能取值为0,1,2. 跟踪训练 2.某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果某嘉宾猜对这三道题目的概率分别为 ，， ，且三道题目之间相互独立.求该嘉宾在该环节中所得分数的分布列与均值. 根据题意，设X表示该嘉宾所得分数，则X的可能取值为－4，1，3，6. 所以X的分布列为 3 .猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示. 规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立 X的分布列如下表所示： X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 X的均值为 例4 已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． (1)由随机变量分布列的性质， E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝ 题型二 离散型随机变量的均值性质的应用 典例解析 已知随机变量ξ的分布列为 ξ －1 0 1 P m 所以E(ξ)＝－ 所以E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝ 得a＝2. 跟踪训练 例5 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案: 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施. 工地的领导该如何决策呢? 题型三 离散型随机变量的均值的应用 典例解析 解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1, X2, X3 . 采用方案1, 无论有无洪水，都损失3800元. 因此 采用方案2, 遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元. 因此 采用方案3, 有 ∴因此, 从期望损失最小的角度, 应采取方案2. 跟踪训练 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 1. 离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 2. 均值的性质： 3. 随机变量X服从两点分布，则有 课堂小结 课堂练习（课本P66） 解： 1. 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 (1) 求E(X)；(2) 求E(3X+2). 解： 2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的均值. 解： 3. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为 甲机床次品数的分布列 乙机床次品数的分布列 X1 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 X2 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 哪台机床更好? 请解释你所得出结论的实际含义. 由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好. [解题技法] 离散型随机变量分布列的求解步骤 2．有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法． (1)求n的值； (2)求随机变量X的分布列． 解：(1)因为当X＝2时，有Ceq \o\al(2,n)种坐法， 所以Ceq \o\al(2,n)＝6，即eq \f(nn－1,2)＝6， n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4. (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X， 由题意知X的可能取值是0,2,3,4， 所以P(X＝0)＝eq \f(1,A\o\al(4,4))＝eq \f(1,24)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,4)×1,A\o\al(4,4))＝eq \f(6,24)＝eq \f(1,4)， P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,4)×2,A\o\al(4,4))＝eq \f(8,24)＝eq \f(1,3)，P(X＝4)＝eq \f(9,A\o\al(4,4))＝eq \f(3,8)， 所以随机变量X的分布列为 X 0 2 3 4 P eq \f(1,24) eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(3,8) 2.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列． [解]　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝eq \f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,5))＝eq \f(3,10). (2)X的可能取值为200,300,400， 则P(X＝200)＝eq \f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq \f(1,10)，P(X＝300)＝eq \f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq \f(3,10)， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－eq \f(1,10)－eq \f(3,10)＝eq \f(3,5). 故X的分布列为 X 200 300 400 P eq \f(1,10) eq \f(3,10) eq \f(3,5) (2016·全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得右面柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？ 解：(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4，0.2,0.2. 从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 所以X的分布列为 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68， 故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)． 当n＝19时， E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040； 当n＝20时， E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19. $