7.1.2全概率公式 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式 1. 条件概率： 在事件A发生的条件下，事件B发生的 概率称为条件概率，即 由条件概率公式可得 2. 概率的乘法公式： 3. 概率的加法公式： 如事件B，C互斥，则有 复习回顾 直接法、缩小样本空间法 4. 求条件概率： 思考1 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 ，那么第2次摸到红球的概率是多大? 如何计算这个概率呢? 因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 . 但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响. 下面我们给出严格的推导. 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 下面， 再看一个求复杂事件概率的问题. 问题导入 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1, 2. 如图示，那么事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2. 问题导入 R2＝R1R2∪B1R2. 利用概率的加法公式和乘法公式，得 问题导入 上述过程采用的方法是: 按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 我们称上面的公式为全概率公式. 全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 抽象公式 特殊与一般 例4 某学校有 A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 设A1＝“第1天去A餐厅”, B1＝“第1天取B餐厅”, A2＝“第2天去A餐厅”, 则 解： 典例精讲 总结提升 思考2 你能根据例4归纳全概率公式的使用步骤吗？ 用符号表示事件 划分样本空间 表示所求事件与样本空间内互斥事件的关系 计算概率 例5 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率. 设B＝“任取一个零件为次品”, Ai＝“零件为第i台车床加工” (i＝1, 2, 3), 则 解： 典例精讲 例5 第1台次品率为6%，第2，3台5%.第1，2，3台加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率. 典例精讲 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1, 2, 3)台车床加工的概率，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率，即 （2） 思考3 例5中P(Ai)，P(Ai|B)的实际意义是什么? P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率，当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率. 如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额. 将例5中的问题(2) 一般化，可以得到贝叶斯公式.（选学内容，不作考试要求） 贝叶斯公式： 课堂探究 例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的. (1) 分别求接收的信号为0和1的概率； (2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率. 解： 典例精讲 解： 例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的. (1) 分别求接收的信号为0和1的概率； (2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率. 典例精讲 牛刀小试 牛刀小试 解： 课本52页 1. 现有12道四选一 的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25. 张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率. 设A＝“选到有思路的题”, B＝“选到的题做对”, 则由全概率公式, 可得 巩固训练 解： 课本52页 2. 两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%. 将两批产品混合，从混合产品中任取1件. (1) 求这件产品是合格品的概率； (2) 已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.（选做） 设A＝“取到合格品”, Bi＝“取到的产品来自第i批”(i＝1, 2), 则 巩固训练 18 巩固训练 18 19 巩固训练 19 20 巩固训练 20 全概率公式： 课堂小结 使用步骤： 用符号表示事件⇒划分样本空间⇒表示所求事件与样本空间内互斥事件的关系⇒计算概率 条 件 概 率 概率乘法公式 概率加法公式 条件概率公式 (二)基本知能小试 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)应用全概率公式时，各个事件并不一定互斥． (　　) (2)对任意事件B⊆Ω，全概率公式P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)·P(B|Ai)都成立． (　　) 答案： (1)×　(2)√ 2．已知事件A，B，且P(A)＝eq \f(1,3)，P(B|A)＝eq \f(1,5)，P(B|eq \x\to(A))＝eq \f(2,5)，则P(B)等于 (　　) A.eq \f(3,5)　　　　　　　 B.eq \f(1,5) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,15) 解析：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\to(A))P(B|eq \x\to(A)) ＝eq \f(1,3)×eq \f(1,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(2,5)＝eq \f(1,3).故选C. 答案：C　 3．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为________． 解：设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}， Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1,2. 由题意P(A1)＝eq \f(2,5)，P(A2)＝eq \f(3,5)，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88， 由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 4．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%, 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？ 解：设事件 B 为“任取一件为次品”，事件Ai为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3，则 P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.2， P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，P(B|A3)＝0.01. 由全概率公式得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3) ＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013. 5. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率． 解：设A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被i人击中}，i＝1,2,3，则 P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1． P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36， P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41， P(B3)＝0.4×0.5×0.7＝0.14. 由全概率公式得 P(A)＝P(B1)P(A |B1)＋ P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝0.36×0.2＋0.41 ×0.6＋0.14 ×1＝0.458. 即飞机被击落的概率为0.458. $